Risoluzione dei triangoli qualunque

Appunti di matematica
Risoluzione dei triangoli qualunque
Per risolvere un triangolo qualsiasi devono essere noti tre elementi di cui
almeno un lato.
Si possono presentare quattro casi:
1° caso - Noti due angoli e un lato.
Elementi noti: α, β , a
Elementi da trovare: γ, b, c
− Calcolo di
γ
L’angolo γ sarà:
γ = 180° − (α + β )
− Calcolo di b e c
b=a
Dal teorema dei seni si ricava:
senβ
senγ
, c=a
senα
senα
Esempio 1
Risolvere il triangolo qualunque ABC dati a=6 , α=45° e β =30°; trovare
γ, b, c.
− L’angolo γ sarà:
γ = 180° − (α + β ) ⇒ γ = 180° − (45° + 30°) = 180° − 75° = 105° ⇒ γ = 105°
1
senβ
sen30°
1 2
2
⇒b=6
= 6⋅ 2 = 6⋅ ⋅
= 6⋅
=3 2,
− Dalla formula b = a
senα
sen45°
2 2
2
2
2
b =3 2
2+ 6
senγ
sen105°
2+ 6 2
4
− Dalla formula c = a
⇒c=6
=6
= 63 ⋅
⋅
=
senα
sen45°
42
2
2
2
= 3⋅
2+ 6
= 3 1+ 3 , c = 3 1+ 3
2
(
)
(
)
prof.ssa Caterina Vespia
1
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2° caso - Noti due lati e l’angolo compreso.
b
Elementi noti: a, b, γ
γ
Elementi da trovare: α, β , c
a
− Calcolo di c
c = a 2 + b 2 − 2ab ⋅ cos γ
Dal teorema del coseno si ricava:
− Calcolo di
β
b
senβ = senγ da cui si ricava β.
c
Dal teorema dei seni si ha:
− Calcolo di α
L’angolo α sarà:
α = 180° − ( β + γ )
Esempio 2
6 − 2 , b = 2 e γ = 30° ;
Risolvere il triangolo qualunque ABC dati a =
trovare α,
β, c.
− Dalla formula c = a + b − 2ab ⋅ cos γ ⇒ c = a + b − 2ab ⋅ cos γ ⇒
2
c2 =
(
2
2
) ( )
6− 2 +
2
2
2 −2
(
(
6− 2
)
= 6−4 3 + 2 + 2− 2 2 3 −2 ⋅
c 2 = 4 − 2 3 ⇒ c = 4 − 12 =
− Dalla formula sen β =
)
2
2
2 ⋅ cos30° =
3
= = 10 − 4 3 − 6 + 2 3 = 4 − 2 3
2
4+ 4
4− 4
−
= 3 −1
2
2
b
sen γ ⇒ sen β =
c
2
sen 30° =
3 −1
2
(
)
3 +1 1
⋅ =
3 −1
2
6+ 2
4
⇒ β = 105°
− L’angolo α sarà: α = 180° − (γ + β ) ⇒ α = 180° − (30° + 105°) = 45° ⇒ α = 45°
prof.ssa Caterina Vespia
2
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3° caso - Noti i tre lati.
c
b
Elementi noti: a, b, c
Elementi da trovare: α, β , γ
a
− Calcolo di α
Dal teorema del coseno si ha:
− Calcolo di
γ
b2 + c2 − a2
cos α =
da cui si ricava α.
2bc
c
senγ = senα da cui si ricava γ.
a
Dal teorema dei seni si ha:
− Calcolo di β
L’angolo β sarà:
β = 180° − (α + γ )
Esempio 3
Risolvere il triangolo qualunque ABC dati a=2, b= 1 + 3 e c= 6 ; trovare α,β,γ.
2
2
(1 + 3) + ( 6 ) − 4 =
b2 + c 2 − a 2
− Dalla formula cos α =
⇒
2bc
2 (1 + 3 ) 6
=
=
1+ 3 + 2 3 + 6 - 4
2
(
6 +3 2
)
=
/2
/2
(
(
)
3 +3
6 +3 2
=
) (
(
) ( 6 − 3 2) =
2 )⋅ ( 6 − 3 2 )
3 +3 ⋅
6 +3
3 2 + 3 6 −9 2 − 3 6
−6 2
2
=
⇒ α = 45°
2 =
6 −18
2
−12
− Dalla formula senγ =
c
6
6 2 2 3
3
senα ⇒ senγ =
sen 45° =
⋅
= 2 =
⇒
a
2
2 2
4
2
γ = 60°
− L’angolo β sarà:
β = 180° − (α + γ ) = 180° − (45° + 60°) = 180° −105° = 75° ⇒ β = 75°
prof.ssa Caterina Vespia
3
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4° caso - Noti due lati e un angolo opposto ad uno di essi..
α
b
Elementi noti: a, b,α
Elementi da trovare: γ, β, c
a
Supposto α ≠ 90° e a ≠ b (altrimenti il triangolo sarebbe rispettivamente
rettangolo o isoscele e quindi facilmente risolvibile ), si ha:
− Calcolo di β
Dal teorema dei seni si ha:
b
a
b
=
⇒ senβ = senα da cui si ricava β.
a
senα senβ
1) Se senβ >1 ⇒ impossibile, perché -1<senβ <1
2) Se senβ ≤1 ⇒ si può ricavare β
In particolare:
− se senβ =1 ⇒ β=90° ⇒ se α>90°⇒ impossibile (perché α+β+γ=180°)
se α<90°⇒ 1 sola soluzione
− se 0<senβ<1 ⇒
se a>b ⇒ 1 soluzione
se a<b ⇒ se α≥90°⇒ impossibile
se α<90°⇒ 2 soluzioni β1 e β2
− Calcolo di
γ
L’angolo γ sarà:
γ = 180° − (α + β )
− Calcolo di c
Dal teorema dei seni si ha:
c
a
=
⇒
senγ senα
c=a
senγ
senα
Esempio 4
Risolvere il triangolo qualunque ABC dati a=12 , b=12 2 e α=30°; trovare c,
β, γ.
− Dalla formula
a
b
b
12 2
=
⇒ senβ = senα ⇒ senβ =
sen30° =
senα senβ
a
12
prof.ssa Caterina Vespia
4
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12 2 1
2
⋅ =
2
12 2
b
Poiché
senα <1 , a<b e α<90°⇒ 2 soluzioni β1 = 45° e β2 = 135°
a
=
− L’angolo γ sarà:
γ 1 = 180° − (α + β ) ⇒ γ = 180° − (45° + 30°) = 180° − 75° = 105° ⇒ γ 1 = 105°
γ 2 = 180° − (α + β ) ⇒ γ = 180° − (135° + 30°) = 180° −165° = 15° ⇒ γ 2 = 15°
− Dalla formula
c
b
=
⇒
senγ senβ
c=b
senγ
senβ
6+ 2
senγ 1
sen105°
4
1) c1 = b
⇒ c1 = 12 2 ⋅
= 12 2
=
senβ1
sen 45°
2
2
= 12
3
2⋅
6+ 2 2
⋅
=6
41
2
(
)
6 + 2 ⇒ c1 = 6 ( 6 + 2 )
6− 2
senγ 2
sen15°
4
2) c2 = b
⇒ c2 = 12 2 ⋅
= 12 2 ⋅
=
senβ 2
sen135°
2
2
= 12
3
2⋅
6− 2 2
⋅
= = 6 ( 6 − 2 ) ⇒ c2 = 6 ( 6 − 2 )
4
2
prof.ssa Caterina Vespia
5