“tecniche del costruire” la trigonometria nella topografia

UNIVERSITA’ “D’ANNUNZIO” PESCARA-CHIETI
FACOLTA’ DI ARCHITETTURA
LAUREA TRIENNALE
“TECNICHE DEL COSTRUIRE”
LA TRIGONOMETRIA NELLA
TOPOGRAFIA
DISPENSE DEL CORSO DI TOPOGRAFIA DEL PROF. PAOLO DI CESARE
ANNO ACCADEMICO 2005/2006
TRIGONOMETRIA
La trigonometria è una parte della geometria che trova applicazione in tutti i problemi
numerici di risoluzione di calcoli di superfici, sia piane che curve. Note sono pertanto le sue
distinzioni in trigonometria piana o sferica. La trigonometria storicamente nasce per risolvere i
problemi legati alla risoluzione dei triangoli, da cui il nome, che sin dall’antichità servivano ai
tecnici per calcolare le superfici dei terreni. Inizialmente si riuscivano a misurare con una certa
precisione solo gli angoli retti mentre per gli altri ci si trovava in difficoltà perché gli strumenti di
misura permettevano basse precisioni che si ripercuotevano in errori consistenti nella misura delle
superfici e, di conseguenza, ovvie contestazioni. Le misure, quindi, avvenivano solo per superfici
rettangolari, o meglio, quadrate. Classico esempio è la castrametazione romana che suddivideva i
terreni in superfici quadrate di cento iugeri le quali non potevano tenere conto della situazione
morfologica del terreno. Solo con il successivo perfezionamento degli strumenti si riuscirono a
misurare gli angoli con una precisione accettabile per cui nacque la trigonometria. Il principio su cui
si basa la trigonometria è quello di permettere la risoluzione dei triangoli mediante la conoscenza
degli elementi di quello che viene definito il
cerchio trigonometrico. Questo è un cerchio di
raggio unitario ed il cui centro coincide con
l’origine degli assi cartesiani. Se dal centro del
cerchio si traccia un raggio, questo individua un
punto P sulla circonferenza ed un angolo α . In
topografia gli angoli vengono misurati a partire
dall’asse y ed in senso orario. Tracciando la
perpendicolare all’asse y partendo da punto P si
trova il suo piede nel punto H. Il segmento PH si
definisce seno dell’angolo α e si scrive senα ed
il segmento OH coseno dell’angolo α e si
scrive cos α .
Se dal punto A, intersezione della
circonferenza con l’asse delle y, si traccia la retta
tangente alla circonferenza, questa interseca il
raggio nel punto T ed il segmento AT si definisce
tangente dell’angolo α e si scrive tan α . Se si
opera allo stesso modo con l’asse delle x si
ottiene la cotangente dell’angolo α e si scrive
cot gα . Vediamo ora le relazioni tra le funzioni
trigonometriche. I triangoli OHP e AOT sono
simili perché tutti e tre gli angoli sono uguali per
cui i lati risulteranno il proporzione e si otterrà
AT HP
=
che
da cui sostituendo i valori delle
OA OH
tan α
senα
funzioni si avrà
=
cioè
1
consα
senα
tan α =
consα
2
2
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OAP si ha che HP + OH = OP
cioè, sostituendo i valori delle funzioni
sen 2α + cos 2 α = 1
Se si considerano i triangoli simili ATO e OBS si possono scrivere le proporzioni
tan α
1
=
da cui
1
cot gα
1
tan α =
cot gα
AT OB
,
=
OA BS
ovvero
I triangoli rettangoli
L’utilità delle funzioni trigonometriche consiste nella loro conoscenza numerica che, nota per
i segmenti del cerchio trigonometrico, può essere estesa anche
ad altri segmenti che fanno parte di altre figure. Se si
sovrappone un triangolo rettangolo in cui un angolo è pari ad
α si ottiene una similitudine tra il triangolo OHP ed il
triangolo OMN. Perché hanno l’angolo α in comune ed un
angolo retto ciascuno per cui per il terzo criterio i due
triangoli sono simili e di conseguenza i lati saranno in
proporzione e si potrà scrivere la proporzione
MN OM ON
ON
=
=
da cui MN =
HP e si ha che
HP OH OP
OP
ON
OM =
HO ora il lato MN è il cateto del triangolo, il lato
OP
OR l’ipotenenusa, OP = 1 ed HP = senα da cui deriva che
MN = ON ⋅ senα
da cui deriva la prima regola degli angoli rettangoli:
“Un cateto è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto (al cateto)”
Dalla proporzione precedente si può ricavare anche il lato MO , altro cateto, mediante la
ON
formula OM =
HO , ma ricordando che OH = cos α si ha
OP
MO = ON ⋅ cosα
che si traduce nella:
“Un cateto è uguale all’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente (al
cateto)”
Se ora mettiamo in relazione il precedente triangolo
OMN con OAT, potremo scrivere la proporzione
MN AT
AT
=
da cui MN =
MO . Ricordando che
MO OA
OA
OA = 1 e AT = tan α si avrà che
MN = MO ⋅ tan α
Che darà:
“Un cateto è uguale all’altro cateto per la
tangente dell’angolo opposto (al primo cateto)”
Ricavando il cateto MO dalla precedente avremo che
MO = MN ⋅
1
= MN ⋅ cot gα
tan α
da cui
“Un cateto è uguale all’altro cateto per la cotangente dell’angolo adiacente (al
primo cateto)”
In questo modo abbiamo individuato le regole per la risoluzione dei triangoli rettangoli che ci
permettono di trovare tutti i suoi elementi. E’ ovvio che dalle formule precedenti si possono
ricavare anche quelle inverse per trovare il valore dell’ipotenusa.
I triangoli qualunque
La trigonometria permette di risolvere anche i triangoli qualunque e non solo quelli rettangoli.
Vediamo con quali mezzi.
Il teorema dei seni
Dato un triangolo è sempre
possibile disegnare il cerchio ad
esso circoscritto. Consideriamo
l’angolo α che insiste sull’arco AB.
Tracciamo ora il diametro AO che
interseca la circonferenza nel punto
D. Questo individua l’angolo ADB
che, insistendo sullo stesso arco AB
sarà pari ad α . L’angolo ABD,
essendo angolo alla circonferenza
che insiste sull’arco AD il cui
angolo l centro è l’angolo piato AOD sarà pari ad un angolo retto per cui il triangolo ABD è un
triangolo rettangolo da cui si può ricavare dalle regole precedentemente esposte che
AB
AB
=
= AD = 2 R cioè il rapporto tra un lato ed il seno dell’angolo opposto è pari al
senADB senACB
valore del diametro del cerchio circoscritto al triangolo.
Lo stesso risultato si consegue anche se il triangolo è
ottusangolo, ma se ne omette la dimostrazione. Se si procede
come per il lato AB anche per il lato AC, con lo stesso metodo si
raggiunge
la
formula
AC
AC
=
= CD = 2 R
senADC senABC
. Uguagliando le formule
precedenti perché entrambe
uguali a 2R si ottiene che
AB
AC
=
da
cui
senACB senABC
deriva il teorema dei seni per
un triangolo qualunque come quello indicato in figura:
a
b
c
=
=
senα senβ senγ
Il teorema di Nepero
Diretta conseguenza del teorema dei seni è il teorema di Nepero.
Se il teorema dei seni si scrive in forma di proporzione a : b = senα : senβ ad essa si può
(a − b) : a = ( senα − senβ ) : senα
applicare le due regole del comporre e dello scomporre ottenendo
(a + b) : a = ( senα + senβ ) : senα
(a − b) ( senα − senβ )
=
ed applicando le formule
Dividendo membro a membro si avrà che
(a + b) ( senα + senβ )
di prostaferesi1 la formula precedente si trasforma in
α −β
tan
( a − b)
2
=
α +β
( a + b)
tan
2
che è la formula di Nepero. In topografia la formula precedente viene applicata quando in un
triangolo qualunque sono noti duellati e l’angolo compreso. Per risolvere il problema si individuano
la semisomma e la semidifferenza degli angoli α e β indicandoli con M ed N:
α +β
;
M =
2
α −β
N=
.
2
Ma il valore di M è noto perché α + β + γ = 200 g da cui α + β = 200 g − γ e dividendo entrambi i
membri per 2 da cui
α + β 200 g − γ
γ
M =
=
= 100 g − .
2
2
2
(a − b) tan N
La formula di Nepero diventa
=
da cui si può ricavare il valore di N dalla
(a + b) tan M
tan N =
( a − b)
tan M
( a + b)
.
Ricavati i valori di M ed N gli angoli α e β si possono ricavare effettuando la somma e la
differenza dei valori trovati perché
α + β α − β α + β + α − β 2α
M +N =
+
=
=
=α
2
2
2
2
α + β α − β α + β − α + β 2β
M −N =
−
=
=
=β
2
2
2
2
1
Le formule di prostaferesi che sono state utilizzate in questa dimostrazione sono:
senα − senβ = 2 cos
α +β
sen
α −β
2
2
α +β
α −β
cos
senα + senβ = 2 sen
2
2
e
1Il teorema di Carnot
Il teorema di Carnot si applica nelle stesse condizioni
del teorema di Nepero, quando si conoscono due lati e
l’angolo compreso. Vediamo la dimostrazione.
Si consideri il triangolo trigonometrico come indicato
in figura, si tracci l’altezza relativa al lato a dal vertice
A e si individua il punto H.
Il segmento AB è stato diviso in due segmenti CH ed
HB. Conoscendo gli elementi del triangolo si possono
ricavare le loro lunghezze perché il triangolo iniziale è
stato diviso in due triangoli rettangoli dei quali si conoscono le ipotenuse ed un angolo ciascuno per
cui si avrà CH = b ⋅ senγ e HB = c ⋅ senβ che porta alla
conoscenza del lato CB.
a = b ⋅ cos γ + c ⋅ cos β .
Allo stesso modo si potranno conoscere anche gli altri
due lati.
b = a ⋅ cos γ + c ⋅ cos α
c = b ⋅ cos α + a ⋅ cos β .
Se si moltiplica la prima equazione per a, la seconda per
–b e la terza per –c si ottiene che sommate membro a
membro daranno:
+ a 2 = ab ⋅ cos γ + ac ⋅ cos β
− b 2 = −ab ⋅ cos γ − bc ⋅ cos α
− c 2 = −bc ⋅ cos α − ac ⋅ cos β
a 2 − b 2 − c 2 = −2bc ⋅ cos α
Ricavando a 2 dalla precedente si otterrà il Teorema di Carnot o Teorema di Pitagora generalizzato.
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc ⋅ cos α
Il teorema di Carnot si utilizza per conoscere il lato mentre il Teorema di Nepero per conoscere gli
angoli. Infatti, se si ricava con la formula inversa il coseno dell’angolo con Carnot il suo valore può
essere indifferentemente pari ad α o al suo angolo supplementare 200 − α con ovvia
indeterminazione, cosa che, invece, non accade applicando il teorema di Nepero.
FORMULE DI BRIGGS
Le formule di Briggs derivano da quelle di bisezione. Si usano quando di un triangolo sono noti i tre
lati. Se ne mette la dimostrazione e se ne forniscono i valori. Ricordando che
a+b+c
p=
2
si ha:
sen
α
2
cos
tan
α
2
( p − b )( p − c )
=
α
2
=
bc
=
p( p − c )
bc
( p − b )( p − c )
p( p − a )
Il calcolo dell’area dei triangoli
Per calcolare l’area di un triangolo qualunque si analizzano due casi fondamentali:
1. se si conoscono due lati e l’angolo compreso;
2. se si conoscono i tre lati.
1° caso:
La superficie del triangolo sarà data dalla:
CB ⋅ AH
S=
.
2
CB = a
AH = c ⋅ senβ
che sostituiti daranno:
a ⋅ c ⋅ senβ
S=
2
“L’area di un triangolo è pari al semiprodotto dei lati per il seno dell’angolo
compreso”
1° caso:
Si utilizza il teorema di Erone della quale si omette la dimostrazione:
S=
in cui p =
a+b+c
.
2
p( p − a )( p − b )( p − c )