Dimostrazione del teorema dei seni

Scienze e Tecnologie delle costruzioni
Sezione A Misure e rilievi
Unità 3 Geometria dei triangoli
Approfondimento A3.1 − Dimostrazione del teorema dei seni
1
Uguaglianza tra il diametro della circonferenza circoscritta al triangolo e il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo opposto
Nel triangolo qualsiasi ABC trac- Si ottiene
ciamo la circonferenza circoscritta
a
b
e, partendo dal vertice C, trac- 2R =
e 2R =
ciamo il diametro CD.
senα
senβ
Formiamo 2 triangoli rettangoli:
CDA retto in A e CDB retto in B Quindi
(angoli alla circonferenza che insistoa
b
no sul diametro).
2R
=
=
Inoltre:
senα
senβ
• l’angolo CDA = β (insiste sull’arco
AC);
• l’angolo CDB = α (insiste sull’arco
BC).
Nello stesso triangolo qualsiasi ABC, partendo dal vertice B,
tracciamo il diametro BE.
C
Formiamo 2 triangoli rettangoli:
γ
BCE retto in C e BAE retto in A
(angoli alla circonferenza che insistoa
b
no sul diametro).
Inoltre:
O
• l’angolo BEA = γ (insiste sull’arco
α
β
c
A
B
AB);
• l’angolo BEC = α (insiste sull’arco
β α
CB).
D
A
ipotenusa
α
γ
α
EB
O
c
AB
CB
EB
CD
a
c
e 2R =
2R =
senα
senγ
Quindi
a
CA
senβ =
=
senα
a
2R
ipotenusa
© 2014 Franco Lucisano Editore • Scienze e Tecnologie delle costruzioni
c
b
=
=
=
CD
senγ
Associando le due uguaglianze si
ottiene:
B
b
c
2R =
β
Per definizione il seno di un angolo è
cateto opposto
2R
2R
Si ottiene
a
=
c
=
quindi, nei due triangoli rettangoli:
senα =
2R
senγ =
a
b
a
=
senα
γ
E
CB
senα =
2R =
C
Per definizione il seno di un angolo è
cateto opposto
quindi, nei due triangoli rettangoli:
senβ
senγ