Limiti di funzioni particolari

Limiti di funzioni particolari
Nome funzione
Equazione
Costante
y=k
(retta orizzontale)
Limiti importanti
collegati
Grafico
lim k = k
x → x0
lim k = k
x→∞
Identità
(o proporzionalità
diretta)
lim x = x0
y=x
(bisettrice I III
quadr.)
x → x0
lim x = +∞
x → +∞
lim x = −∞
x → −∞
Potenza
(per es. grado 2)
lim x 2 = x0
2
y=x
(parabola)
2
x → x0
lim x 2 = +∞
x →∞
1 1
=
con x ≠ 0
x → x0 x
x0
1
lim
= +∞
x→0 + x
1
lim−
= −∞
x→0
x
1
lim
=0
x→∞ x
1
 1
lim  −  = − con x ≠ 0
x → x0
x0
 x
lim
Proporzionalità
inversa
1
x
(iperbole equilatera
con equazione
riferita agli asintoti)
Proporzionalità
inversa
1
x
(iperbole equilatera
con equazione
riferita agli asintoti)
y=
y=−
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Manuela Pucci
 1
lim+  −  = −∞
x →0 
x
 1
lim  −  = +∞
x →0 − 
x
 1
lim  −  = 0
x →∞
 x
Limiti di funzioni particolari
lim log a x = log a x0 con x > 0
x → x0
lim log a x = −∞
x→0 +
Logaritmica
lim log a x = 0
y = log a x
a >1
x →1
lim log a x = +∞
x → +∞
lim log a x = non esiste
x→0 −
lim log a x = non esiste
x → −∞
lim log a x = log a x0 con x > 0
x → x0
lim log a x = +∞
x→0 +
Logaritmica
lim log a x = 0
y = log a x
0 < a <1
x →1
lim log a x = −∞
x → +∞
lim log a x = non esiste
x→0 −
lim log a x = non esiste
x → −∞
lim a x = a x0
x → x0
Esponenziale
y = ax
a >1
lim a x = 1
x →0
lim a x = +∞
x → +∞
lim a x = 0
x → −∞
lim a x = a x0
x → x0
Esponenziale
y = ax
0 < a <1
lim a x = 1
x →0
lim a x = 0
x → +∞
lim a x = +∞
x → −∞
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Teoremi sui limiti
Siano lim f ( x ) = l e lim g ( x ) = m due limiti dove x0 l m sono numeri reali finiti oppure
x → x0
x → x0
+ ∞ o − ∞ . Allora si possono calcolare anche i limiti delle funzioni:
f (x )
g (x )
f (x ) ± g (x )
f (x ) ⋅ g (x )
f (x )
g (x )
rispettivamente come:
l
l±m
l⋅m
lm
m
con l e m numeri finiti (ed m ≠ 0 per la sola terza funzione), mentre se uno o entrambi sono infiniti
per il calcolo si procede utilizzando l’aritmetizzazione dell’infinito*:
Somma
algebrica
(con n ∈ ℜ )
Risultato
Prodotto
n + (+ ∞ )
+∞
n ⋅ (+ ∞ )
+∞
n − (+ ∞ )
−∞
n ⋅ (− ∞ )
−∞
n + (− ∞ )
−∞
− n ⋅ (+ ∞ )
−∞
n − (− ∞ )
+∞
− n ⋅ (− ∞ )
+∞
(+ ∞ ) + (+ ∞ )
+∞
0 ⋅ (+ ∞ )
[0 ⋅ ∞]
(+ ∞ ) + (− ∞ )
[∞ − ∞]
0 ⋅ (− ∞ )
[0 ⋅ ∞]
(− ∞ ) + (+ ∞ )
[∞ − ∞]
(+ ∞ ) ⋅ (+ ∞ )
(− ∞ ) + (− ∞ )
−∞
(+ ∞ ) ⋅ (− ∞ )
(con n>0)
Risultato Quoziente Risultato
(con n>0)
n
±∞
±∞
n
−n
±∞
±∞
−n
0
±∞
Potenza
(con n>0)
Risultato
0
n0
+1
±∞
− n0
−1
0
(− n )0
+1
m∞
00
[0]
0
0n
0
±∞
0
±∞
0−n
∞ **
segno da
calcolare
+∞
±∞
±∞
∞ 
∞ 
 
± ∞0
[∞ ]
−∞
0
±n
0
(± ∞ )n
∞
segno da
calcolare
n (+∞ )
+∞
n (−∞ )
0
(+ ∞ ) − (+ ∞ )
[∞ − ∞]
(− ∞ ) ⋅ (+ ∞ )
−∞
±n
0
(+ ∞ ) − (− ∞ )
+∞
(− ∞ ) ⋅ (− ∞ )
+∞
0
0
(− ∞ ) − (+ ∞ )
(− ∞ ) − (− ∞ )
−∞
[∞ − ∞]
∞ **
segno da
calcolare
0
0
 
0
0
[ ]
1∞
1(±∞ )
m∞
0 (±∞ )
(±∞ )
(+ ∞ )
±∞
* NOTA IMPORTANTE: l’infinito è un concetto e non un numero per questo non avrebbe
senso un’operazione che lo contiene come suo operatore.
Solo per risolvere i limiti e utilizzando i teoremi su indicati, definiamo quali sono i risultati
di “operazioni” contenenti l’infinito cioè “aritmetizziamo” l’infinito.
** il calcolo di questo limite si approfondirà più avanti.
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Forme indeterminate
I sette risultati (indicati in parentesi quadre nella tabella) sono detti forme indeterminate o di
indeterminazione e sono:
0 ∞
, , 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , ( 1∞ , 0 0 , ∞ 0 )
0 ∞
nei quali le parentesi quadre hanno proprio il significato “forma indeterminata”. In questo caso la
forma indeterminata deve essere ridotta utilizzando metodi “algebrici” o altri metodi che vedremo
in seguito.
NOTA IMPORTANTE: ottenere una forma indeterminata non significa che il limite non esiste
ma solo che il suo valore è indeterminato e non ottenibile con le regole precedenti.
Riduzioni algebriche di forme indeterminate
0
0
1. si scompone in fattori sia il numeratore che il denominatore ricercando il fattore ( x − x0 )
2. si semplifica
3. si riapplicano i teoremi sui limiti
A questo punto il limite può essere o subito risolvibile o si può ottenere di nuovo una forma
indeterminata da dover ancora ridurre.
Nota: se sono presenti radicali, prima di scomporre è necessario razionalizzare.
∞
∞
1. si mette in evidenza la x (con grado massimo) sia a numeratore che a denominatore
2. si semplifica
3. si riapplicano i teoremi sui limiti
A questo punto il limite può essere o subito risolvibile o si può ottenere di nuovo una forma
indeterminata da dover ancora ridurre.
∞−∞
È una forma atipica che non ha un metodo univoco in quanto la sua riduzione dipende dai
particolari elementi che compongono il limite perciò di volta in volta sarà necessario o fare il
minimo comune denominatore (in presenza di più frazioni algebriche) o la razionalizzazione (in
presenza di radicali) o altro.
0⋅∞
Tale forma indeterminata si riporta ad una delle prime due con una delle seguenti formule:
f (x ) ⋅ g (x ) =
f (x )  0 
= 
1
0
g (x )
oppure
f (x ) ⋅ g (x ) =
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g (x )  ∞ 
= 
1
∞ 
f (x )