1 Sostituzioni trigonometriche 2 Certi integrali di funzioni irrazionali

ALCUNE UTILI SOSTITUZIONI PER IL CALCOLO DI INTEGRALI
Andrea Scapellato
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Sostituzioni trigonometriche
√
a2 − x2 , si pone x = a sin t da cui
√
a2 − x2 = a cos t.
√
√
2. Se l’integrale contiene il radicale x2 − a2 , si pone x = a sec t da cui x2 − a2 = a tan t.
√
√
3. Se l’integrale contiene il radicale x2 + a2 , si pone x = a tan t da cui x2 + a2 = a sec t.
1. Se l’integrale contiene il radicale
Notiamo che le sostituzioni trigonometriche non sono sempre vantaggiose. È più comodo, talvolta, al posto delle
sostituzioni trigonometriche, fare uso delle sostituzioni iperboliche che hanno proprietà analoghe.
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Certi integrali di funzioni irrazionali
1. Integrali del primo tipo:
ˆ
1
√
dx
(mx + n) ax2 + bx + c
Si effettua la sostituzione
1
= t.
mx + n
2. Integrali del secondo tipo:
ˆ p
ax2 + bx + c dx
Dal trinomio ax2 + bx + c si ricava un quadrato completo e ci si riconduce ad uno dei seguenti due integrali:
ˆ p
xp 2
a2
x
a2 − x2 =
a − x2 +
arcsin + C,
∀C ∈ R,
(a > 0),
2
2
a
ˆ p
p
xp 2
A x2 + A =
x + A + ln x + x2 + A + C,
∀C ∈ R.
2
2
3. Integrali del terzo tipo:
ˆ
√
Pn (x)
dx
ax2 + bx + c
dove Pn (x) è un polinomio di grado n. Si pone
ˆ
ˆ
p
Pn (x)
1
√
= Qn−1 (x) ax2 + bx + c + λ √
dx,
2
2
ax + bx + c
ax + bx + c
dove Qn−1 (x) è un polinomio di grado n − 1 a coefficienti indeterminati e λ un numero. I coefficienti del
polinomio Qn−1 (x) e il numero λ vengono determinati derivando la relazione precedente.
4. Integrali del quarto tipo:
ˆ
(x −
α)n
√
1
dx
ax2 + bx + c
Questi integrali si trasformano in integrali del terzo tipo con l’aiuto della sostituzione
1
= t.
x−α
1
5. Integrali del quinto tipo:
ˆ

R x,

p1 p2
q
q
1
2
ax + b
ax + b
,
, ... dx
cx + d
cx + d
Si calcolano avvalendosi della sostituzione
ax + b
= zn
cx + d
dove n è il minimo comune multiplo dei numeri q1 , q2 , ... .
6. Integrali dei binomi differenziali:
ˆ
xm (1 + bxn )p dx
Condizioni di Čebyšëv. L’integrale precedente si esprime con una combinazione finita di funzioni elementari
solamente nei tre casi seguenti:
(a) se p è un numero intero;
m+1
(b) se
è un numero intero. Qui si ricorre alla sostituzione a + bxn = z s , dove s è il denominatore della
n
frazione p;
m+1
(c) se
+ p è un numero intero. Qui si ricorre alla sostituzione ax−n + b = z s , dove s è il denominatore
n
della frazione p.
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Integrazione delle funzioni trigonometriche
Integrali del tipo:
ˆ
R(sin x, cos x) dx
dove R è una funzione razionale. Si possono presentare due casi:
1. Si opera la sostituzione
tan
x
=t
2
da cui
2t
1 − t2
2
,
cos
t
=
,
dx =
dt.
2
2
1+t
1+t
1 + t2
Così gli integrali assegnati si trasformano in integrali di funzioni razionali con la nuova variabile t.
sin x =
2. Se si verifica l’identità
R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x)
allora si può ricorrere alla dodtituzione
tan x = t
da cui
sin x = √
t
,
1 + t2
cos x = √
2
1
,
1 + t2
dx =
1
dt.
1 + t2
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Sostituzioni trigonometriche e iperboliche
Spesso le sostituzioni trigonometriche e iperboliche sono utili al fine di calcolare integrali del tipo
ˆ
p
R x, ax2 + bx + c dx
dove R è una funzione razionale. Trasformando il trinomio di secondo grado ax2 + bx + c in una somma o in una
differenza di quadrati, l’integrale proposto viene ricondotto ad uno degli integrali seguenti:
√
´
1. R(z, m2 − z 2 ) dz,
√
´
2. R(z, m2 + z 2 ) dz,
√
´
3. R(z, z 2 − m2 ) dz.
Questi ultimi integrali possono essere calcolati, rispettivamente, per mezzo delle seguenti sostituzioni:
1. z = m sin t oppure z = m tanh t;
2. z = m tan t oppure z = m sinh t;
3. z = m sec t oppure z = m cosh t.
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