ALCUNE UTILI SOSTITUZIONI PER IL CALCOLO DI INTEGRALI Andrea Scapellato 1 Sostituzioni trigonometriche √ a2 − x2 , si pone x = a sin t da cui √ a2 − x2 = a cos t. √ √ 2. Se l’integrale contiene il radicale x2 − a2 , si pone x = a sec t da cui x2 − a2 = a tan t. √ √ 3. Se l’integrale contiene il radicale x2 + a2 , si pone x = a tan t da cui x2 + a2 = a sec t. 1. Se l’integrale contiene il radicale Notiamo che le sostituzioni trigonometriche non sono sempre vantaggiose. È più comodo, talvolta, al posto delle sostituzioni trigonometriche, fare uso delle sostituzioni iperboliche che hanno proprietà analoghe. 2 Certi integrali di funzioni irrazionali 1. Integrali del primo tipo: ˆ 1 √ dx (mx + n) ax2 + bx + c Si effettua la sostituzione 1 = t. mx + n 2. Integrali del secondo tipo: ˆ p ax2 + bx + c dx Dal trinomio ax2 + bx + c si ricava un quadrato completo e ci si riconduce ad uno dei seguenti due integrali: ˆ p xp 2 a2 x a2 − x2 = a − x2 + arcsin + C, ∀C ∈ R, (a > 0), 2 2 a ˆ p p xp 2 A x2 + A = x + A + ln x + x2 + A + C, ∀C ∈ R. 2 2 3. Integrali del terzo tipo: ˆ √ Pn (x) dx ax2 + bx + c dove Pn (x) è un polinomio di grado n. Si pone ˆ ˆ p Pn (x) 1 √ = Qn−1 (x) ax2 + bx + c + λ √ dx, 2 2 ax + bx + c ax + bx + c dove Qn−1 (x) è un polinomio di grado n − 1 a coefficienti indeterminati e λ un numero. I coefficienti del polinomio Qn−1 (x) e il numero λ vengono determinati derivando la relazione precedente. 4. Integrali del quarto tipo: ˆ (x − α)n √ 1 dx ax2 + bx + c Questi integrali si trasformano in integrali del terzo tipo con l’aiuto della sostituzione 1 = t. x−α 1 5. Integrali del quinto tipo: ˆ R x, p1 p2 q q 1 2 ax + b ax + b , , ... dx cx + d cx + d Si calcolano avvalendosi della sostituzione ax + b = zn cx + d dove n è il minimo comune multiplo dei numeri q1 , q2 , ... . 6. Integrali dei binomi differenziali: ˆ xm (1 + bxn )p dx Condizioni di Čebyšëv. L’integrale precedente si esprime con una combinazione finita di funzioni elementari solamente nei tre casi seguenti: (a) se p è un numero intero; m+1 (b) se è un numero intero. Qui si ricorre alla sostituzione a + bxn = z s , dove s è il denominatore della n frazione p; m+1 (c) se + p è un numero intero. Qui si ricorre alla sostituzione ax−n + b = z s , dove s è il denominatore n della frazione p. 3 Integrazione delle funzioni trigonometriche Integrali del tipo: ˆ R(sin x, cos x) dx dove R è una funzione razionale. Si possono presentare due casi: 1. Si opera la sostituzione tan x =t 2 da cui 2t 1 − t2 2 , cos t = , dx = dt. 2 2 1+t 1+t 1 + t2 Così gli integrali assegnati si trasformano in integrali di funzioni razionali con la nuova variabile t. sin x = 2. Se si verifica l’identità R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x) allora si può ricorrere alla dodtituzione tan x = t da cui sin x = √ t , 1 + t2 cos x = √ 2 1 , 1 + t2 dx = 1 dt. 1 + t2 4 Sostituzioni trigonometriche e iperboliche Spesso le sostituzioni trigonometriche e iperboliche sono utili al fine di calcolare integrali del tipo ˆ p R x, ax2 + bx + c dx dove R è una funzione razionale. Trasformando il trinomio di secondo grado ax2 + bx + c in una somma o in una differenza di quadrati, l’integrale proposto viene ricondotto ad uno degli integrali seguenti: √ ´ 1. R(z, m2 − z 2 ) dz, √ ´ 2. R(z, m2 + z 2 ) dz, √ ´ 3. R(z, z 2 − m2 ) dz. Questi ultimi integrali possono essere calcolati, rispettivamente, per mezzo delle seguenti sostituzioni: 1. z = m sin t oppure z = m tanh t; 2. z = m tan t oppure z = m sinh t; 3. z = m sec t oppure z = m cosh t. 3