Definizione
Definizione di
di seno
seno ee coseno
coseno
introduzione
introduzione
In matematica esistono due funzioni molto utili
che sono il seno e il coseno di un angola α ( alfa)
Si dice seno dell’angolo alfa
Si dice coseno dell’angolo alfa
Si scrive
Si scrive
sen α
cos α
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Definizione
Definizionedidiseno
senoeecoseno
coseno
seno
seno
Dato un triangolo rettangolo ABC ed un angolo
Si definisce seno
dell’angolo α il rapporto tra
il cateto opposto e
l’ipotenusa del triangolo
A
α
B
C
sen α =
Cateto opposto
ipotenusa
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=
C.O.
I.
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Definizione
Definizionedidiseno
senoeecoseno
coseno
seno
seno
Dato un triangolo rettangolo ABC ed un angolo
Si definisce coseno
dell’angolo α il rapporto tra
il cateto adiacente e
l’ipotenusa del triangolo
A
α
B
C
sen α =
Cateto adiacente
ipotenusa
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=
C.A.
I.
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Definizione
Definizionedidiseno
senoeecoseno
coseno
coseno
coseno
La funzione seno e coseno di un angolo qualsiasi si trovano tramite
una calcolatrice scientifica.
Intanto sul display in
alto scritto in piccolo
vi deve essere lascitta
DEG ( gradi in
inglese)
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Definizione
Definizionedidiseno
senoeecoseno
coseno
coseno
coseno
Poi a seconda del tipo di calcolatrice si procede ne seguente modo:
Supponiamo di voler trovare il seno di 30°
Si preme il tasto sin e dopo il numero 30
e quindi = si ottiene il valore 0,5
In altre calcolatrici si procede così:
Si preme il numero 30 e dopo il tasto sin e
quindi = si ottiene il valore 0,5
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Definizione
Definizionedidiseno
senoeecoseno
coseno
esempio
esempio
Dato questo triangolo HBD il
seno si definisce per questo
triangolo:
D
α
sen α =
C.O.
I.
=
(ipotenusa)
sen α =
H
HB
(Cateto opposto)
B
DB
HB
DB
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Definizione
Definizionedidiseno
senoeecoseno
coseno
esempio
esempio
Dato questo triangolo HBD il
coseno si definisce per questo
triangolo:
D
α
cos α =
C.A.
I.
=
(ipotenusa)
sen α =
H
DH
(Cateto adiacente)
B
DB
HB
DB
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Definizione
Definizionedidiseno
senoeecoseno
coseno
esempio
esempio
Se si conosce l’ipotenusa e l'angolo, i due
cateti si calcolano con la formula inversa
c
sen α =
α
a
bc
ac
bc = ac sen α
b
cos α =
ab
ac
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ab = ac cos α
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Definizione
Definizionedidiseno
senoeecoseno
coseno
Scomposizione
Scomposizionedidiun
unvettore
vettore
Nel caso della scomposizione di un vettore nelle due direzioni che
sono gli assi Y e X le componenti le possiamo chiamare Vy e Vx
Y
Vy
Vx
X
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Definizione
Definizionedidiseno
senoeecoseno
coseno
Scomposizione
Scomposizionedidiun
unvettore
vettore
Se conosciamo l’angolo e il vettore V le possiamo calcolare
V è l’ipotenusa Vy cateto
opposto e Vx il cateto adiacente
e quindi le due componenti si
possono calcolare con le
formule
Infatti se consideriamo il
triangolo evidenziato in giallo
Y
Vy
V
α
Vx
X
sen α =
cos α =
Vy
V
Vx
V
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Vy = V sen α
Vx = V cos α
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Definizione
Definizionedidiseno
senoeecoseno
coseno
Scomposizione
Scomposizionedidiun
unvettore
vettore
Applichiamo al triangolo le funzioni seno e coseno. Se
conosciamo l’angolo e il peso, le componenti si possono
calcolare nel seguente modo.
Applichiamo al triangolo le funzioni seno e
coseno.
a
Componente
parallela
P//
Componente
perpendicolare
P⊥
bc = ac sen α
ab = ac cos α
P// = P sen α
P⊥ = P cos α
α
P peso
b
P//
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c
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Definizione
Definizionedidiseno
senoeecoseno
coseno
esempio
esempio
Una persona , per tirare una cassa, applica tramite una fune una forza di 500N . L'angolo
che la fune forma con il piano orizzontale è di 50°. Questa forza può essere scomposta una
una verticale Fv e una orizzontale Fo. Calcola i valori di queste componenti
F
F
Fv
Fv
α
Fo
Fo = F cos α
Fv = F sen α
Fo
sen 50° = 0,76
cos 50° = 0,64
Fo = F cos α
Fv = F sen α
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= 500N 0,64 = 320N
= 500N 0,76 = 380 N
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Calcolo
Calcolodella
dellarisultante
risultantecon
conlelecomponenti
componenti
Dati due vettori V1 e V2 attraverso le
loro componenti possiamo trovare la
risultante R
V2y
Ry
V2
V1
R
V1x
V2x
V1y
Rx
Come si vede dalla figura,
la somma delle componenti
V1x e V2x danno la
componente Rx.
Lo stesso per la
componente verticale
Rx = V1x +V2x + …..
Ry = V1y + V2y+ ….
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Calcolo
Calcolodella
dellarisultante
risultantecon
conlelecomponenti
componenti
Questa relazione è valida per qualsiasi numero di componenti e
in qualunque modo sia messi i vettori.
Rx = V1x +V2x + …..
Ry = V1y + V2y+ ….
Conoscendo le componenti della rissulatante questa si può
calcolare con il teorema di Pitagora ( si tratta di un triangolo
rettangolo)
R = Rx2 + Ry2
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Calcolo
Calcolodella
dellarisultante
risultantecon
conlelecomponenti
componenti
Facciamo un esempio numerico
Y
F1 = 70N α1= 60°
F2= 120N α2=160°
F3= 60N α3= 40°
Troviamo i se e cos con la calcolatrice:
V3
α2=160°
Sen 60°=0,86
Cos 60°= 0,5
V1
Sen 160°= 0,34
Cos 160°= - 0,93
α3 = 40°
V2
α1= 60°
Sen 40°= 0,64
Cos 40°= 0,76
X
Facciamo notare che il coseno di 160° è negativo, ciò significa che il
verso della sua componente V2x è opposto all'asse X
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Calcolo
Calcolodella
dellarisultante
risultantecon
conlelecomponenti
componenti
Facciamo un esempio numerico
Y
V3
Sempre dalla figura si vede che
anche Rx deve essere negativo
Passiamo al calcolo:
α3 = 40°
F1x= F1 cos 60° =70Ν 0,5 =35 Ν
F2x= F2 cos 120°= 120Ν (−0,93) = −111Ν
F3x = F3 cos 40° = 60Ν 0,76 = 45Ν
α2=160°
V2
Ry
V1
α1= 60°
X
Quindi
Rx = F1x+ F2x + F3x= 35-111+45 = -31
Rx
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Calcolo
Calcolodella
dellarisultante
risultantecon
conlelecomponenti
componenti
Calcoliamo ora le componenti Y
Y
F1y= F1 sen 60° =70Ν 0,86 =60Ν
F2y= F2 sen 120°= 120Ν 0,34 = 40Ν
F3y = F3 sen 40° = 60Ν 0,64 = 38Ν
V3
α3 = 40°
α2=160°
V2
Ry
Quindi
Ry = F1y+ F2y + F3y= 60+40+38= 138
V1
α1= 60°
X
R = Rx2 + Ry2 =
(-31)2 + (138)2
Rx
R = 961+19044 = 141 N
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