Esercizi sulle funzioni goniometriche

3^C – Per deprimerci un po'...
Problema 1 (PNI 2007)
 si
Considera i triangoli di base AB=1 e il cui vertice C varia in modo che l'angolo CAB

mantenga doppio dell'angolo ABC
. Riferito il piano ad un conveniente sistema di coordinate,
determina l'equazione del luogo geometrico g descritto da C. Rappresenta g tenendo conto delle
 =36 ° , allora AC =  5−1 .
limitazioni geometriche. Dimostra che, se ABC
2


Traccia di soluzione: poni A0 , 0 , B 1 , 0 , C  x , y  . Avrai B=
, A=2
 . Se tracci
l'altezza relativa al lato AB, puoi ricavare che: tg =
y
y
e tg 2 =
. Esprimendo tg 2 
1−x
x
in funzione di tg  tramite le formule di duplicazione, otterrai: 3 x 2− y 2−4 x1=0 , che è
l'equazione di g. Si tratta di una iperbole di centro 2/3 , 0 , fuochi sull'asse delle ascisse,
semiassi a=1/3 , b=1/  3 , asintoti di coefficienti angolari m=± 3 . Le limitazioni
geometriche ti portano a considerare solo il ramo sinistro dell'iperbole. Per l'ultima parte, traccia
 e osserva che i triangoli ABC e ACM sono simili.
la bisettrice AM dell'angolo BAC
Problema 2 (PNI 2007 sup)
Dato il punto A2 , 0 , determina l'equazione del luogo dei punti P del piano che verificano la
condizione PO 22 PA2=8 . Detto B l'ulteriore punto del luogo avente x=2 , calcola
l'ampiezza dell'angolo acuto formato dalla retta OB con la tangente alla circonferenza in B.
8
2
2
Risposte: il luogo è la circonferenza di equazione x  y − x=0 . Dalla formula dell'angolo
3
compreso tra due rette, otteniamo =60 ° .
Problema 3 (ord 1988)
Considera un triangolo ABC avente i lati AC =a e BC =2 a . Costruisci, dalla parte opposta a C
rispetto alla retta AB, il triangolo rettangolo ABD il cui cateto BD sia uguale alla metà del cateto

AB. Studia l'area del quadrilatero ACBD al variare dell'angolo ACB
.

Traccia di soluzione: poni ACB=
x . Se tracci l'altezza BH relativa al lato AC, dovresti ricavare
che l'area del triangolo ABC è data da S 1=a 2 sen x . Dal teorema di Pitagora, puoi ottenere
2
AB 2=5 a 2−4 a 2 cos x . Quindi l'area del quadrilatero è S tot =a  sen x−cos x5/ 4

5
che, con la “formula dell'angolo aggiunto” può essere scritta S tot =a 2    2 sen x−  .
4
4
Problema 4 (ord 1972)
Data una circonferenza di diametro AB=2 r , prendi su di essa, da parti opposte di AB, due punti
2
AD −CD
 =/3 e ABD=

C e D tali che ABC
. Esprimi la quantità y=
BC 2
2
in funzione di a e
studiane il grafico.
Traccia di soluzione: osservando che i triangoli ABC e ABD sono rettangoli, puoi ricavare
AD=2 r sen  , BC =2 r sen /6 . Se tracci il diametro passante per C (o per D), ottieni un
altro triangolo rettangolo, da cui ricavi CD=2 r sen/3 . La funzione richiesta è
y=3 sen2 −2  3 sen  cos −3 cos 2  che, utilizzando prima le formule di duplicazione e poi la
“formula dell'angolo aggiunto”, può essere scritta y=−2  3 sen2 /3 .
Quesito 1 (PNI 2009 sup)
Un turista, che osserva un lago scozzese dalla cima di un fiordo alto 100 metri, vede spuntare la
testa di un mostro acquatico in un punto per il quale misura un angolo di depressione di 18,45°. Il
mostro, che nuota in linea retta allontanandosi dall'osservatore, si immerge, per riemergere cinque
minuti più tardi in un punto per cui l'angolo di depressione vale 14,05°. Con che velocità, in metri
all'ora, sta nuotando il mostro?
R : v≃1.200 m/ h
Quesito 2 (PNI 2010 sup)
In cima ad una roccia a picco su un fiume è stata costruita una torretta di osservazione alta 11 metri.
Le ampiezze degli angoli di depressione per un punto situato sulla riva opposta del fiume, misurate
rispettivamente dalla base e dalla sommità della torretta, sono pari a 18° e 24°. Determina la
larghezza del fiume in quel punto.
R : l≃91 m
Quesito 3 (PNI 2010 str)
Due osservatori si trovano ai lati opposti di un grattacielo, a livello del suolo. La cima dell'edificio
dista 1.600 metri dal primo osservatore, che la vede con un angolo di elevazione di 15°. Se il
secondo individuo si trova a 650 metri dalla cima del grattacielo, qual è la distanza tra i due
osservatori?
R : d ≃2.046 m
Quesito 4 (ord 1983)


Studia la funzione y=sen x cos  x−  e disegnane il grafico.
3
6

Suggerimento: basta osservare che la funzione può essere scritta come y=2 sen  x  .
3