Probabilita

Calcolo delle Probabilità
pr - 1
Che collegamento c’è tra gli strumenti statistici
per lo studio dei fenomeni reali e il calcolo
delle probabilità?
Vedremo che non sempre la conoscenza delle caratteristiche di un fenomeno può
essere conseguita osservando tutta la popolazione ma deve essere estratto un
campione (rilevazione parziale)
La STATISTICA INDUTTIVA o INFERENZIALE
intende descrivere non tanto ciò che traspare dalle manifestazioni osservate
(rilevazioni parziali), ma quello che emergerebbe qualora la rilevazione fosse
estesa all’insieme di tutte le manifestazione del fenomeno.
L’incertezza che deriva dalla parzialità della rilevazione
è dominata dalla TEORIA DELLE PROBABILITÀ
pr - 2
1
TERMINOLOGIA
EVENTI: entità caratterizzate da aleatorietà, qualcosa che può
verificarsi oppure no
La Juventus vincerà il campionato anche quest’anno?
Gli eventi si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino
E1 =“La Juventus vincerà il campionato anche quest’anno”
Si chiama evento complementare ad E il verificarsi di tutto ciò
che non è E e si indica con E
E1 =“La Juventus non vincerà il campionato quest’anno”
Si indica con la lettera dell’alfabeto greco l’insieme di tutti i possibili
risultati di un esperimento, per esperimento si intende una prova il cui esito è
incerto. Viene anche chiamato evento certo o spazio campionario
E1=Vincerà la Juve, E2=Vincerà la Lazio, E3=Vincerà la Roma, E4=Vincerà il Parma,
E5=Vincerà il Milan…. è l’insieme di tutti gli eventi Ei, per i=1,….,18
pr - 3
TERMINOLOGIA
Al verificarsi di un evento verrà associata una PROBABILITA’
P(E1)=Probabilità che la Juventus vinca il campionato
Se chiedessimo di assegnare questa probabilità a un tifoso
della Juve, a un tifoso dell’Inter (che pensa sempre che
quest’anno sia quello buono), a un tifoso del Torino, o a una
persona oggetiva, tecnicamente preparata a livello calcistico
otterremmo 4 valori diversi di probabilità
Come è possibile assegnare correttamente la probabilità agli
eventi?
pr - 4
2
PROPRIETA’ FORMALI
La probabilità non è mai un numero negativo, verrà assegnata
probabilità 0 agli eventi che ci si aspetta che non si verifichino
(evento quasi impossibile) e probabilità 1 agli eventi che ci si
aspetta che si verifichino (evento quasi certo)
Siccome ogni evento è contenuto in
Ei
0 < P(Ei) < P(
P( )=P(“tutto quello che può accadere”)=P(“evento certo”)=1
pr - 5
PROPRIETA’ FORMALI
Se due eventi E1 e E2 non possono verificarsi
contemporaneamente (la loro intersezione coincide con
l’insieme vuoto) diremo che sono incompatibili,
E1
E2
P( E1
E2 ) 0
Probabilità che vinca il campionato la Juve e anche l’Inter?
Siccome non possono vincere entrambe, gli eventi sono
incompatibili, la probabilità della loro intersezione è uguale a 0
pr - 6
3
PROPRIETA’ FORMALI
Se si vuole calcolare la probabilità che si verifichi l’evento
E1 oppure l’evento E2 (E1 unito E2) e i due eventi sono
incompatibili allora la probabilità dell’unione è uguale alla
somma delle probabilità
P( E1
E2 )
P( E1 ) P ( E2 )
Probabilità che vinca il campionato una squadra romana?
Siccome non possono vincere entrambe, gli eventi sono incompatibili,
la probabilità della loro unione è uguale alla probabilità che vinca la
Roma, più la probabilità che vinca la Lazio.
pr - 7
ASSIOMI
E’ possibile riassumere quanto visto fino ad ora negli
assiomi di Kolmogorov
1. E
, P( E ) 0
2. P ( ) 1
3. Se E1 E2
allora P ( E1
E2 )
P( E1 ) P ( E2 )
pr - 8
4
ALCUNE REGOLE
E
E
quindi P( E ) P ( E ) 1
e dunque P( E ) 1 P ( E )
Se E1
allora P ( E1
E2 )
E2
P( E1 ) P( E2 ) P E1
E2
pr - 9
EVENTI ELEMENTARI
Insiemi contenenti un solo elemento
In generale lo spazio campionario viene descritto in termini di eventi elementari
1,
2 ,...,
n
Se gli eventi elementari sono tutti equiprobabili, cioè
P
1
P
2
........ P
n
Allora la probabilità di un evento qualsiasi E composto da più
eventi elementari
P E
# casi favorevoli (all'evento)
# casi possibili (dell'esperimento)
pr - 10
5
PROBABILITA’ CONDIZIONATA
Dati due eventi E1 ed E2 di cui se ne conoscono le probabilità P(E1)
e P(E2) ci chiediamo se la probabilità del verificarsi dell’uno
varia sapendo che si è verificato l’altro
P( E1 | E2 )
P ( E1 E2 )
con P ( E2 ) 0
P ( E2 )
ESEMPIO:
Lancio di un dado
E1 = ‘estrarre un numero pari’ ; E2 = ‘estrarre un numero >=4’
P(E1) =3/6 ; P(E2)=3/6
La probabilità di estrarre un numero pari cambia se si sa che il numero estratto è >=4?
P( E1 | E2 )
P( 4,6 )
P( E1 E2 )
P( E2 )
P( 4,5,6 )
2/6
36
2
3
1
2
pr - 11
EVENTI INDIPENDENTI
Due eventi E1 e E2 si diranno indipendenti se la probabilità del verificarsi
dell’uno rimane invariata sapendo che si è verificato l’altro, cioè
P ( E1 | E2 )
P ( E1 ) e P ( E2 | E1 )
P ( E2 )
P ( E1 E2 ) P( E1 ) P( E2 )
Se due eventi sono indipendenti
P ( E1 E2 )
P ( E1 E2 )
Infatti
= P( E1 ) e P( E2 | E1 )
= P( E2 )
P( E1 | E2 )
P ( E2 )
Eventi compatibili ma indipendenti!
Eventi compatibili ma indipendenti!
P ( E1 )
ESEMPIO: Mazzo di 40 carte
E1 = ‘estrarre una carta di denari’ P(E1) = 10/40 ; E2 = ‘estrarre un asso’ P(E2)=4/40
La probabilità di estrarre una carta di denari cambia se si sa che la carta estratta è un asso?
P ( E1 | E2 )
P ( E1
E2 )
P ( E1 E2 )
P ( E2 )
P (asso di denari)
P (asso)
P ( E1 ) P ( E2 )
10 4
40 40
1 40
4 40
1
4
10
40
1
40
pr - 12
6
EVENTI INDIPENDENTI
Eventi compatibili ma indipendenti!
Eventi compatibili ma indipendenti!
ESEMPIO 2: Mazzo di 40 carte
E1 = ‘estrarre una carta di denari’ P(E1) = 10/40 ; E2 = ‘estrarre una figura’ P(E2)=12/40
La probabilità di estrarre una carta di denari cambia se si sa che la carta estratta è una figura?
P ( E1 | E2 )
P ( E1
E2 )
P ( E1 E 2 )
P ( E2 )
P (figura di denari)
P (figura)
P ( E1 ) P ( E2 )
figura
non figura
10 12
40 40
denari
3
7
10
3 40
12 40
3
12
10
40
3
40
non denari
9
21
30
12
28
40
condizionate di riga
figura
non figura
denari
0.25
0.25
non denari
0.75
0.75
pr - 13
LEGGI DI DE MORGAN
E1
E2
E1
E2
E1
E2
E1
E2
L’operazione di “complementazione” scambia
l’operazione di unione con l’operazione di
intersezione e viceversa
pr - 14
7