dialogo fra uomo e natura
attraverso
la probabilità
Dott. Paolo Risso – SISRI Fellow
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«La probabilità che si può fallire
nella lotta non deve dissuaderci dal
supporto di una causa che riteniamo
giusta.»
ABRAHAM LINCOLN - 1839
«Nella misura in cui le leggi della
matematica si riferiscono alla realtà,
esse non sono certe; e nella misura
in cui sono certe, esse non si
riferiscono alla realtà.»
ALBERT EINSTEIN - 1922
La storia dello studio delle probabilità
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Il gioco d’azzardo è un fenomeno assai diffuso nella
Francia del 1600 e soprattutto impedito dalla legge.
I giochi si sono evoluti e complicati visto l’aumento del
numero dei giocatori. Conseguentemente aumenta il
volume di denaro movimentato.
Nasce la necessità di calcolare, meglio computare, in
maniera matematica le “chances”. Inoltre in caso di
interruzione Un tale argomento risulta essere di
grande interesse nei “Salon” dell’epoca.
La storia dello studio delle probabilità
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I “Salon” sono incontri conviviali che seguono l’idea del poeta Orazio “aut
delectare aut prodesse est”. Un mecenate, o un personaggio di spicco, della
cultura e della ricerca scientifica invita alcuni ospiti, esperti in un determinato
campo, a partecipare a discussioni e cercare di risolvere insieme problemi e
questioni.
Antoine Gombaud, Chevalier de Méré, un cultore della matematica, del
gioco d’azzardo, e del pensiero politico introduce nel suo “Salon” la
risoluzione alcuni problemi matematici legati al calcolo delle probabilità nel
gioco e nella finanza.
In queste occasioni viene data la possibilità d’incontrarsi ad alcune figure
importanti del panorama matematico/scientifico: Padre Mersenne, Pascal,
Fermat.
Uno dei problemi affrontati è quello chiamato “Problema dei Punti o delle
Parti”, in inglese si tradurrebbe in con la parola stake ossia interesse.
La storia dello studio delle probabilità
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il “Problema dei Punti”
Due giocatori A, B equamente abili disputano una serie di partite. Vince il gioco
chi, per primo, raggiunge un totale N di vincite.
I giocatori, però, devono sospendere il gioco prima che questo abbia naturale
termine.
Se al momento della sospensione un giocatore avesse vinto a partite e l'altro b, e
la posta in gioco fosse di X denari, come dovrebbe essere ripartita fra i due
giocatori in modo tale che la ripartizione sia equa?
La storia dello studio delle probabilità
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Approccio alla Pacioli, del 1494
Data la posta in gioco X
Stabilito un numero N di vincite per prendere tutta la posta X
Dato il numero di vittorie dei due giocatori come a e b, con a > b
Si puà dividere la vincita nel seguente modo:
d=
X
a+b
A riceverà d*a denari mentre B riceverà d*b denari
E’ equo questo risultato ?
La storia dello studio delle probabilità
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Approccio alla Pacioli, del 1494
Data la posta in gioco 24 denari
6 il numero di vittorie da raggiungere
I due giocatori hanno il punteggio a=5 e b=3
Si può dividere la vincita nel seguente modo: d = 3
Quindi A riceverà 15 denari mentre B riceverà 9 denari
La storia dello studio delle probabilità
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Il limite di tale approccio starebbe nel considerare
solo quanto già avvenuto, non cosa potrebbe
accadere nel futuro, in quanto il risultato potrebbe
ribaltarsi o cambiare di proporzioni
Inoltre tale metodo non dividerebbe i soldi in maniera
veramente equa.
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Soluzione di Pascal e Fermat del 1654
La storia dello studio delle probabilità
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Soluzione di Pascal e Fermat del 1654
Il punteggio di 5 a 3 per A
se A vincesse ancora una volta allora gli spetterebbe l’intera posta
se B vincesse il punteggio diventerebbe 5 a 4
ad A spetterebbe almeno metà della posta, ossia 12 denari, visto che nella
metà dei casi avrebbe vinto il gioco.
Il punteggio di 5 a 4 per A
se A vincesse ancora una volta allora gli spetterebbe l’intera posta
se B vincesse il punteggio diventerebbe 5 a 5
Allora ad A andrebbero, oltre ai 12 denari già stabiliti, almeno la metà dei
12 rimanenti, ossia 12+6= 18.
La storia dello studio delle probabilità
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Soluzione di Pascal e Fermat del 1654
Il punteggio di 5 a 5
se A vincesse ancora una volta allora gli spetterebbe l’intera posta
se B vincesse ancora una volta allora gli spetterebbe l’intera posta
Quindi, se interrompesse sul 5 a 5 si dividerebbe equamente la posta
rimanente 6, ossia 3 denari a testa.
Ricapitolando i casi possibili, se il gioco venisse interrotto sul 5 a 3 per A, ad A
andrebbero 12+6+3=21 denari, mentre a B ne spetterebbero solo 2421=3.
La storia dello studio delle probabilità
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Soluzione di Pascal e Fermat del 1654
Un approccio diverso per ottenere lo stesso risultato è questo:
P(5;3)
P(6;3)
P(5;4)
P(5;5)
P(6;4)
P(6;5)
P(5;6)
Ricapitolando i casi possibili, se il gioco venisse interrotto sul 5 a 3 per A, ad A
andrebbero 3 modi per vincere, mentre a B solo 1.
Anche in questo caso arriveremmo a dire che ad A andrebbero 21 denari ed
aB3
La storia dello studio delle probabilità
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La novità di tale approccio è il considerare non solo
quanto già avvenuto, ma cosa potrebbe accadere nel
futuro, in quanto il risultato potrebbe ribaltarsi o
cambiare di proporzioni. Si introduce il concetto di
probabilità
Inoltre tale metodo dividerebbe davvero i soldi in
maniera veramente equa, sulla base di come si evolve
la partita nel futuro, in funzione del passato già
avvenuto.
La storia dello studio delle probabilità
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Il calcolo di probabilità che si basa sul numero di casi favorevoli rispetto ai
casi totali prende il nome di approccio classico o a priori. Ad esempio,
nell'esperimento “lancio di un dado", i possibili eventi elementari
sono : {1;2;3;4;5;6}, ciascuno con probabilità 1/6.
In molte situazioni però non è possibile fornire una stima a priori di tutti casi
possibili, senza contare il fatto che la probabilità di ciascun evento potrebbe
anche non esser uguale.
E’ infatti possibile anche desumere le probabilità dall’osservazione e dallo
studio dei fenomeni, misurandone tutte le occorrenze. Tale approccio si
definisce frequentista o a posteriori.
Nel 1713 Bernoulli dimostra che i due approcci sono equivalenti.
La storia dello studio delle probabilità
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Ad esempio l’approccio classico ci aiuta a calcolare quale sia la probabilità
di estrarre un re, di un qualsiasi seme, da un mazzo di 52 carte:
4/52
Ad esempio se abbiamo delle buone ragioni per ritenere che un dado sia
truccato, non essendo per esempio costruito con materiale omogeneo, non
potremo ritenere equiprobabili l'uscita dei sei numeri per cui non potremo
assegnare alla probabilità di uscita del numero 1 il valore 1/6 . L'alternativa
è quella di ripetere il lancio del dado un numero elevato di volte, calcolare la
frequenza relativa dell'uscita di 1 ed assumere per definizione tale valore
come probabilità dell'evento.
Gli ambiti applicativi sono molteplici: medicina, psicologia, economia,
meccanica quantistica e in tutte le scienze per le quali si possono
utilizzare metodi statistici.
La storia dello studio delle probabilità
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Dal 1700 al 1900 lo studio delle probabilità prende piede in
maniera più importante, essa gioca un ruolo fondamentale nello
studio della natura, dell’economia e degli eventi umani. Tuttavia
un’impostazione assiomatica della teoria stenta ad imporsi.
L'impostazione assiomatica della probabilità venne proposta da
Kolmogorov nel 1933 nell’opera Concetti fondamentali del
calcolo delle probabilità, sviluppando la ricerca che era ormai
cristallizzata sul dibattito fra quanti consideravano la
probabilità come limiti di frequenze relative (impostazione
frequentista) e quanti cercavano un fondamento logico della
stessa. La sua impostazione assiomatica si mostrava adeguata a
prescindere dall'adesione a una o all'altra scuola di pensiero.
La storia dello studio delle probabilità
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La probabilità di un evento E si esprime come P(E) e
soddisfa i seguenti assiomi.
Primo:
Secondo:
Terzo:
P(E) Î R, P(E) ³ 0
"E Î F
P(W) =1
¥
P(E1 È E2 È × × ×) = å P(E )
1
i=1
La storia dello studio delle probabilità
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Esempio:
Esprimiamo in funzione degli assiomi il caso di una
moneta che può avere solo evento testa H o croce T
F = {0,{H},{T},{H,T}}
P(0) = 0
P({H,T}) =1
P({H})+ P({T}) =1
La storia dello studio delle probabilità
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La storia dello studio delle probabilità
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A metà del 1700 Laplace sviluppa parallelamente a Bayes il calcolo di
probabilità che si basa sull’induzione prendendo poi storicamente il nome di
approccio bayesiano.
Essi hanno fornito un metodo molto potente di correggere una probabilità
alla luce di nuove informazioni. Pertanto, se vi è una stima preliminare di
probabilità del verificarsi di un evento e se si hanno nuove informazioni
(supplementari), si può ottenere l'esatta probabilità a posteriori della
produzione dell'evento. Ripetutamente applicando la formula di Bayes, ogni
volta che si hanno nuove informazioni, si possono correggere le probabilità
meno affidabili in modo che, finalmente si arrivi alle probabilità
probabilmente molto affidabile.
La storia dello studio delle probabilità
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P(A|B) è la probabilità che si verifica A dato che già si è verificato B,
chiamata anche probabilità condizionata:
P(A Ç B)
P(A | B) =
P(B)
Si ha quindi che probabilità condizionata di A dato B si ottiene
dividendo il numero dei casi favorevoli ad (A∩B) al numero dei casi
favorevoli a B, con P(B) ≠ 0. Naturalmente P(B) > 0, se P(B) fosse nullo la
probabilità condizionata non avrebbe senso: non è infatti possibile
definire la probabilità condizionata rispetto ad un evento impossibile.
Nel caso A e B non fossero condizionati, allora la avremmo probabilità
incondizionata definita:
P(A | B) = P(A)P(B)
La storia dello studio delle probabilità
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Il teorema della probabilità condizionata si può anche scrivere
come:
P(A | B)P(B) = P(AÇ B) = P(B | A)P(A)
Un tipico esempio di applicazione delle formula di Bayes è
quello della diagnostica medica: se A è una malattia e B è un
sintomo, possiamo ottenere la probabilità che, osservato il
sintomo, si abbia la malattia, una volta date P(A) – che può
essere ricavata dall’incidenza della malattia nella popolazione
in esame, P(B|A), che esprime la probabilità che in pazienti
malati si osservi il sintomo.
La storia dello studio delle probabilità
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Esempio:
Una malattia colpisce 1 persona su 100.
Un test dà esito positivo nel 98% dei casi su persone
effettivamente malate e nello 0,5% dei casi su persone
che invece stanno bene.
La storia dello studio delle probabilità
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P(M|P): probabilità che la persona sia malata posto che il test sia positivo
M:1/100: prob di incidenza della malattia P:98/100: efficacia test sui malati,
riconoscere il malato quando lo è
non M: 99/100 (cioè 1-1/100): prob di essere “sani” P su non M: 5/1000 test
positivo sui sani, errore del test sui sani
1 98
980
100 100
P(M / P) =
=
= 66.4%
1 98 99 5
1472
+
100 100 100 1000
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Formulazione moderna della soluzione di Pascal e Fermat
La speranza di vittoria di A è legata al verificarsi di almeno una fra le seguenti
successioni di eventi:
{E1} ; {E2,E1} ; {E2,E2,E1}
E1 è l'evento “A guadagna un punto”
E2 è l'evento “B guadagna un punto”
Poichè (E1) ed (E2) hanno probabilità 1/2 , per la regola delle probabilità
composte di eventi indipendenti, si avrebbe che (E1), (E2,E1), (E2,E2,E1)
avrebbero rispettivamente probabilità 1/2 , 1/4, 1/8.
Quindi la probabilità di vittoria di A è, per la regola sulla probabilità totale
per eventi incompatibili, 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8.
Un’equa ripartizione dei 24 è effettuata suddividendo la posta in parti
proporzionali alle probabilità di vittoria dei due giocatori: 21 danari ad A e
3 a B.
