Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità
pr - 1
Che collegamento c’è tra gli strumenti statistici
per lo studio dei fenomeni reali e il calcolo
delle probabilità?
Vedremo che non sempre la conoscenza delle caratteristiche di un fenomeno può
essere conseguita osservando tutta la popolazione ma deve essere estratto un
campione (rilevazione parziale)
La STATISTICA INDUTTIVA o INFERENZIALE
intende descrivere non tanto ciò che traspare dalle manifestazioni osservate
(rilevazioni parziali), ma quello che emergerebbe qualora la rilevazione fosse
estesa all’insieme di tutte le manifestazione del fenomeno.
L’incertezza che deriva dalla parzialità della rilevazione
è dominata dalla TEORIA DELLE PROBABILITÀ
pr - 2
1
TERMINOLOGIA
EVENTI: entità caratterizzate da aleatorietà, qualcosa che può
verificarsi oppure no
La Juventus vincerà il campionato anche quest’anno?
Gli eventi si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino
E1 =“La Juventus vincerà il campionato anche quest’anno”
Si chiama evento complementare ad E il verificarsi di tutto ciò
che non è E e si indica con E
E1 =“La Juventus non vincerà il campionato quest’anno”
Si indica con la lettera dell’alfabeto greco Ω l’insieme di tutti i possibili
risultati di un esperimento, per esperimento si intende una prova il cui esito è
incerto. Viene anche chiamato evento certo o spazio campionario
E1=Vincerà la Juve, E2=Vincerà la Lazio, E3=Vincerà la Roma, E4=Vincerà il Parma,
E5=Vincerà il Milan…. Ω è l’insieme di tutti gli eventi Ei, per i=1,….,18
pr - 3
TERMINOLOGIA
Al verificarsi di un evento verrà associata una PROBABILITA’
P(E1)=Probabilità che la Juventus vinca il campionato
Se chiedessimo di assegnare questa probabilità a un tifoso
della Juve, a un tifoso dell’Inter (che pensa sempre che
quest’anno sia quello buono), a un tifoso del Torino, o a una
persona oggetiva, tecnicamente preparata a livello calcistico
otterremmo 4 valori diversi di probabilità
Come è possibile assegnare correttamente la probabilità agli
eventi?
pr - 4
2
PROPRIETA’ FORMALI
La probabilità non è mai un numero negativo, verrà assegnata
probabilità 0 agli eventi che ci si aspetta che non si verifichino
(evento quasi impossibile) e probabilità 1 agli eventi che ci si
aspetta che si verifichino (evento quasi certo)
Siccome ogni evento è contenuto in Ω
( Ei ⊂ Ω )
0 < P(Ei) < P(Ω) =1
P(Ω)=P(“tutto quello che può accadere”)=P(“evento certo”)=1
pr - 5
PROPRIETA’ FORMALI
Se due eventi E1 e E2 non possono verificarsi
contemporaneamente (la loro intersezione coincide con
l’insieme vuoto) diremo che sono incompatibili,
E1 ∩ E2 = ∅ ⇔ P( E1 ∩ E2 ) = 0
Probabilità che vinca il campionato la Juve e anche l’Inter?
Siccome non possono vincere entrambe, gli eventi sono
incompatibili, la probabilità della loro intersezione è uguale a 0
pr - 6
3
PROPRIETA’ FORMALI
Se si vuole calcolare la probabilità che si verifichi l’evento
E1 oppure l’evento E2 (E1 unito E2) e i due eventi sono
incompatibili allora la probabilità dell’unione è uguale alla
somma delle probabilità
P( E1 ∪ E2 ) = P( E1 ) + P ( E2 )
Probabilità che vinca il campionato una squadra romana?
Siccome non possono vincere entrambe, gli eventi sono incompatibili,
la probabilità della loro unione è uguale alla probabilità che vinca la
Roma, più la probabilità che vinca la Lazio.
pr - 7
ASSIOMI
E’ possibile riassumere quanto visto fino ad ora negli
assiomi di Kolmogorov
1. ∀E ⊂ Ω, P( E ) ≥ 0
2. P (Ω ) = 1
3. Se E1 ∩ E2 = ∅ allora P ( E1 ∪ E2 ) = P( E1 ) + P ( E2 )
pr - 8
4
ALCUNE REGOLE
E ∪ E = Ω quindi P( E ) + P ( E ) = 1
e dunque P ( E ) = 1 − P ( E )
Se E1 ∩ E2 ≠ ∅
allora P ( E1 ∪ E2 ) = P( E1 ) + P( E2 ) − P ( E1 ∩ E2 )
pr - 9
EVENTI ELEMENTARI
Insiemi contenenti un solo elemento
In generale lo spazio campionario viene descritto in termini di eventi elementari
Ω = {ω1 , ω2 ,..., ωn }
Se gli eventi elementari sono tutti equiprobabili, cioè
P ({ω1}) = P ({ω2 }) = ........ = P ({ωn } )
Allora la probabilità di un evento qualsiasi E composto da più
eventi elementari
P (E) =
# casi favorevoli (all'evento)
# casi possibili (dell'esperimento)
pr - 10
5
PROBABILITA’ CONDIZIONATA
Dati due eventi E1 ed E2 di cui se ne conoscono le probabilità P(E1)
e P(E2) ci chiediamo se la probabilità del verificarsi dell’uno
varia sapendo che si è verificato l’altro
P( E1 | E2 ) =
P ( E1 ∩ E2 )
con P ( E2 ) > 0
P ( E2 )
ESEMPIO:
Lancio di un dado
E1 = ‘estrarre un numero pari’ ; E2 = ‘estrarre un numero >=4’
P(E1) =3/6 ; P(E2)=3/6
La probabilità di estrarre un numero pari cambia se si sa che il numero estratto è >=4?
P( E1 | E2 ) =
P({4,6})
P( E1 ∩ E2 )
2/6 2 1
=
=
= ≠
P( E2 )
P({4,5,6} ) 3 6 3 2
pr - 11
EVENTI INDIPENDENTI
Due eventi E1 e E2 si diranno indipendenti se la probabilità del verificarsi
dell’uno rimane invariata sapendo che si è verificato l’altro, cioè
P ( E1 | E2 ) = P ( E1 ) e P ( E2 | E1 ) = P ( E2 )
P ( E1 ∩ E2 ) = P( E1 ) ⋅ P( E2 )
Se due eventi sono indipendenti
P ( E1 ∩ E2 )
P ( E1 ∩ E2 )
Infatti
= P( E1 ) e P( E2 | E1 ) =
= P( E2 )
P( E1 | E2 ) =
P ( E2 )
Eventi compatibili ma indipendenti!
Eventi compatibili ma indipendenti!
P ( E1 )
ESEMPIO: Mazzo di 40 carte
E1 = ‘estrarre una carta di denari’ P(E1) = 10/40 ; E2 = ‘estrarre un asso’ P(E2)=4/40
La probabilità di estrarre una carta di denari cambia se si sa che la carta estratta è un asso?
P ( E1 | E2 ) =
P ( E1 ∩ E2 ) P (asso di denari) 1 40 1 10
=
=
= =
P ( E2 )
P (asso)
4 40 4 40
P ( E1 ∩ E2 ) = P ( E1 ) ⋅ P ( E2 ) =
10 4
1
⋅
=
40 40 40
pr - 12
6
EVENTI INDIPENDENTI
Eventi compatibili ma indipendenti!
Eventi compatibili ma indipendenti!
ESEMPIO 2: Mazzo di 40 carte
E1 = ‘estrarre una carta di denari’ P(E1) = 10/40 ; E2 = ‘estrarre una figura’ P(E2)=12/40
La probabilità di estrarre una carta di denari cambia se si sa che la carta estratta è una figura?
P ( E1 | E2 ) =
P ( E1 ∩ E 2 ) P (figura di denari) 3 40
3 10
=
=
=
=
P ( E2 )
P (figura)
12 40 12 40
P ( E1 ∩ E2 ) = P ( E1 ) ⋅ P ( E2 ) =
figura
non figura
10 12
3
⋅
=
40 40 40
denari
3
7
10
non denari
9
21
30
12
28
40
condizionate di riga
figura
non figura
denari
0.25
0.25
non denari
0.75
0.75
pr - 13
LEGGI DI DE MORGAN
E1 ∩ E2 = E1 ∪ E2
E1 ∪ E2 = E1 ∩ E2
L’operazione di “complementazione” scambia
l’operazione di unione con l’operazione di
intersezione e viceversa
pr - 14
7
SCHEMI DI CAMPIONAMENTO
Si supponga di estrarre una pallina da un urna
a) Estrazione con rimessa, la probabilità di
estrazione di una singola pallina rimane
costante in ogni estrazione
b) Estrazione senza rimessa, la probabilità di
estrazione di una singola pallina cambia
Si supponga di estrarre una unità da una popolazione
a) Campionamento con ripetizione (eventi
indipendenti)
b) Campionamento senza ripetizione (eventi
condizionati)
pr - 15
COEFFICIENTE BINOMIALE
In quanti modo posso estrarre in blocco (senza rimessa) k elementi da
un’insieme di n elementi?
Combinazioni di n elementi presi k alla volta
n
n!
 =
 k  ( n − k )!k !
dove
n ! = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ........ ⋅ 2 ⋅1
Proprietà:
n
n
n  n 
0! = 1,   = 1,   = n,   = 

0
1
k  n−k 
pr - 16
8
ESEMPIO: COEFFICIENTE BINOMIALE
Nell’aula oggi ci sono 20 studenti: 10 di SPC, 7 di SPM e 3 di SPE.
Decido di chiamare alla lavagna 3 studenti.
1.
Quante sono le possibili combinazioni?
2.
Qual è la probabilità che siano tutti di SPC?
3.
Se ne chiamo 1 per corso di laurea, quante sono le possibili combinazioni?
4.
Qual è la probabilità che siano uno per ognuno dei tre corsi di laurea?
 20 
1)   = 1140
3
10 
 
3
120
10 9 8
= 0.105 che è uguale a
⋅ ⋅
2)   =
20 19 18
 20  1140
 
3
 
 10  7  3 
3)     = 210
 1  1  1 
10   7  3 
    
1 1 1
210
 10 ⋅ 7 ⋅ 3 
= 0.184 che è uguale a 3!
4)      =

1140
 20 
 20 ⋅19 ⋅18 
 
3
 
SPM,SPC,SPE;
SPM, SPE, SPC;
SPC,SPM,SPE;
SPC,SPE,SPM;
SPE,SPC,SPM;
SPE,SPM,SPC
pr - 17
ESERCIZIO: ESTRAZIONE SENZA RIMESSA
Da un’urna contenente 15 palline (5 rosse, 5 verdi e 5 blu), se ne estraggono
2 senza reimmissione; calcolare la probabilità che queste siano dello stesso
colore.
Soluzione:
N=15
5 rosse; 5 verdi; 5 blu n=2 (senza reimmissione)
Trattandosi di estrazioni senza reimmissione non vi è l’indipendenza delle prove,
infatti la composizione dell’urna si modifica ad ogni estrazione. Inoltre viene
chiesta la probabilità che si estraggano due palline dello stesso colore e non di un
colore particolare. Si fa osservare che nell’urna vi sono palline di tre colori
differenti presenti in pari numero (5 rosse; 5 verdi; 5 blu), pertanto la probabilità
cercata sarà data dalla seguente espressione:
Pr{“2 dello stesso colore”} = 3 ⋅
5 4
⋅ = 0.285714
15 14
pr - 18
9
PRINCIPIO DELLE PROBABILITA’ TOTALI
Se A1 , A2 , ..., Ak sono una partizione di Ω ed E è un qualsiasi altro evento
k
P( E ) = ∑ P ( E | Ai ) P ( Ai )
i =1
Se
Seconosciamo
conosciamoleleprobabilità
probabilitàdegli
deglieventi
eventididiuna
unapartizione
partizione(a(apriori)
priori)eeconosciamo
conosciamoleleprobabilità
probabilità
condizionate
condizionatedel
delverificarsi
verificarsididiun
unqualsiasi
qualsiasialtro
altroevento
eventoagli
aglieventi
eventidella
dellapartizione,
partizione,siamo
siamosempre
sempreinin
grado
gradodidicalcolare
calcolarelalaprobabilità
probabilitàdell’evento
dell’eventostesso
stesso
Partizione di Ω
k eventi A1, A2 , ..., Ak sono una partizione se e solo se
k
∪ Ai = Ω
i
e scelti a caso due eventi Ai e A j allora Ai ∩ A j =∅
pr - 19
FORMULA DI BAYES
Se A1 , A2 , ..., Ak sono una partizione di Ω ed E è un qualsiasi altro evento
P ( Ai | E ) =
P ( E | Ai ) P ( Ai )
k
∑ P ( E | Ai ) P ( Ai )
i =1
Se
Sesappiamo
sappiamoche
chesisièèverificato
verificatol’evento
l’eventoEEsiamo
siamoiningrado
gradodidicalcolare
calcolarelalaprobabilità
probabilitàche
chesisisia
sia
verificato
verificatol’evento
l’eventoAAi.i.Dato
Datol’effetto
l’effettosiamo
siamoiningrado
gradodidicalcolare
calcolarelalaprobabilità
probabilitàdella
dellacausa
causache
che
loloha
hagenerato
generato(probabilità
(probabilitàaaposteriori).
posteriori).E’
E’come
comese
senoi
noiaggiornassimo
aggiornassimolelenostre
nostreconoscenze
conoscenze
a
seguito
del
verificarsi
dell’evento
E.
aapriori
su
A
priori su Ai a seguito del verificarsi dell’evento E.
i
La
diventauna
una probabilità
probabilitàaaposteriori
posterioriP(A
P(Ai|E)
Laprobabilità
probabilitàaapriori
prioriP(A
P(Ai)i)diventa
i|E)
pr - 20
10
ESEMPIO
pr - 21
ESEMPIO
N° cubetti
esaminati
N°
cubetti
difettosi
10
20
25
P(Ai)
P(E|Ai)
0.21
0.03
0.29
0.05
0.50
0.04
P(E)=P(E|A1)P(A1)+P(E|A2)P(A2)+P(E|A3)P(A3) =
0.04
IMPIANTO A
IMPIANTO B
IMPIANTO C
A1
A2
A3
300
400
700
1400
a) Probabilità totali
b) Formula di Bayes
P(A1|E)= [P(E|A1)P(A1)]/P(E) =
0.18
pr - 22
11