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P RIMO TEOREMA DI E UCLIDE *
In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è
equivalente al rettangolo che ha per lati l’ipotenusa e la proiezione
del cateto stesso sull’ipotenusa.
dimostrazione
Sia ABC il triangolo, rettangolo in A; sul cateto AB si costruisca il
quadrato ABDE, che indicheremo con Q. Dal punto A si conduca la
perpendicolare all’ipotenusa BC e sia F l’intersezione con il segmento BC. Su di essa, a partire da F, si prenda il segmento FG congruente
a BC e si costruisca il rettangolo BFGH, che contrassegneremo con
R, avente il lato BH congruente all’ipotenusa e l’altro lato BF congruente alla proiezione del cateto BA sull’ipotenusa.
Vogliamo dimostrare che il quadrato Q è equivalente al rettangolo
R.
Indichiamo con K, I le intersezioni delle rette AG, BH rispettivamente con la retta DE. Il quadrilatero BAKI, che indicheremo con P,
avendo i lati opposti paralleli è un parallelogramma.
Consideriamo ora i triangoli rettangoli ABC, DBI; essi sono congruenti per il primo criterio di congruenza perché:
AB ∼
= DB , lati del quadrato Q,
β∼
= α, perché complementari dello stesso angolo IBA.
Implica che sono anche congruenti le ipotenuse BC, BI; e dato che
BC ∼
= B H , allora B I ∼
= BH.
Osserviamo, poi, che il rettangolo R e il parallelogramma P, avendo
le basi BH, BI congruenti e altezze congruenti (essendo essi compresi fra le parallele HI, GK), sono equivalenti.
Analogamente, il parallelogramma P e il quadrato, avendo la stessa
base AB e altezze congruenti (perché fra le parallele BA, DK), sono
anche loro equivalenti.
Possiamo concludere che il quadrato Q e il rettangolo R, essendo
equivalenti al parallelogramma P, sono equivalenti fra loro.
Prova, se vuoi, a riscrivere la dimostrazione citando l’ipotesi, la tesi
e scrivendo i triangoli e gli angoli usando le lettere dei punti.
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La dimostrazione è stata estratta da R.Fortini, L. Cateni, Lineamenti di
geometria euclidea, 1981,Le Monnier, pp. 106-7.
