Foglio di esercizi 1 - Disequazioni irrazionali e con modulo

Foglio di esercizi 1 - Disequazioni irrazionali e
con modulo
Valentina
20-11-2009
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Svolgere le seguenti disequazioni irrazionali
·)
·)
·)
√
√
√
3x + 8 +
√
2x − 1 + 9 > 0
√
x+1
x + 10 ≥ 9 −
(1)
(2)
1 − x < 1 + |3x|
p
√
·)
4 + |1 − x2 | < x + 5
3−x
·) √
<0
x2 − 1 − 1
p
8x − x2 ≥ x
·)
(3)
·) |3x − 1| + |2x − 3| < 2 + |x + 5|
(7)
(4)
(5)
(6)
Soluzioni:
1) x ≥ 21
2) [x ≥ 15]
3) [x < 0 ∪ 0 < x ≤ 1]
4) [x >
√
√ 0]
5) − 2 < x ≤ −1 ∪ 1 ≤ x < 2 ∪ x > 3
6) [0 ≤ x ≤ 4] 7) 12 < x < 11
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Esercizi sulle funzioni
Date le seguenti funzioni determinare il campo di esistenza ed eventuali loro
zeri:
x2 − x
− 2x + 1
√
4 − x2
f (x) = 2
x + 4x + 4
1
(3x − 4) 3 − 1
f (x) = 2
3 − |1 − x|
f (x) =
x2
1
(8)
(9)
(10)
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Geometria
Alcune nozioni di geometria Euclidea:
Primo teorema di Euclide:
Data la seguente figura:
Th1:In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l’ ipotenusa e la proiezione di quel
cateto sull’ipotenusa.
Oppure riscritto in forma algebrica possiamo dire:
In un triangolo rettangolo, il cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e
la propria proiezione su di essa:
AB : CA = CA : AH
(11)
CA2 = AB · AH
(12)
cioe:
2
che è proprio la prima definiozne data, cioè il quadrato costruito su un cateto
(nel nostro caso CA) è uguale al RETTANGOLO che ha come area l’ipotenusa
(cioè AB) moltiplicata per la priezione del cateto stesso sull’ipotenusa (in questo caso AH).
Dimostrazione: Considero i triangoli ABC e ABH. Si può facilmente notare che hanno tuti gli angolo congruenti perchè, sono entrambi rettangoli e
hanno l’angolo in A in comune, quindi per differenza anche il rimanente terzo
ancolo dovrà essere conguente. Quindi i due trinagoli considerati sono SIMILI
e valgono le relazioni di similitudine, arrivando alla nostra tesi:
AB : CA = CA : AH
(13)
q.e.d.
Secondo teorema di Euclide:
Data la seguente figura:
Th1: In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti
sull’ipotenusa.
Oppure riscritto in forma algebrica migliore sarebbe:
In un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale
tra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.
HB : CH = CH : AH
(14)
infatti riscrivendo torna che:
HB · AH = CH 2
(15)
che è proprio la definizione data inizialemnte cioè l’area del rettangolo costruito
con le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa (HA ed AH) è uguale a quadrato
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costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa (CH)
Dimostrazione: Da fare per esercizio.
Esercizio!: Calcolare la misura del lato di un poligono regolare di 2n lati
inscritto in una circonferenza di raggio r noto, conoscendo il lato del poligono
regolare di n lati inscritto nella medesima circonferenza.
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