UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DELL'AQUILA
CORSI DI INGEGNERIA
A.A. 2013/2014
Analisi matematica I (canale A) ( I3D )
- Tardelli Paola (Aggiornato il 1-02-2014)
Contenuti del corso (abstract del programma):
Numeri. Insiemi, estremo superiore e inferiore. Continuita'. Formula di Newton, induzione. Numeri
complessi. Funzioni reali di una variabile reale Dominio, immagine e grafico. Funzioni pari, dispari,
monotone, limitate, periodiche, composte e invertibili. Grafici di funzioni elementari. Limiti Intorni e
proprieta'. Concetto di limite di una funzione. Teoremi fondamentali. Calcolo e limiti notevoli. Successioni
numeriche. Funzioni continue e continuita'. Calcolo differenziale Derivata di una funzione e suo significato
geometrico. Prime proprieta'. Calcolo. Teoremi di Rolle e Lagrange. Test di monotonia, ricerca del massimo e
del minimo. Studi di funzione e formula di Taylor. Integrale di una funzione continua in un intervallo,
significato geometrico, proprieta' fondamentali. Teorema fondamentale e primitive, funzione integrale e
teorema di Torricelli, teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione. Criteri di
integrabilita'. Introduzione sulle serie.
Programma esteso:
Numeri reali, razionali e naturali. Insiemi limitati superiormente e/o inferiormente, massimo e minimo,
estremo superiore e inferiore. Proprieta' di continuita' (o di completezza). Fattoriale e coefficiente binomiale
(definizione e significato combinatorio); il simbolo di somma, formula di Newton, induzione matematica.
Numeri complessi. Introduzione intuitiva, i complessi come coppie ordinate di numeri reali, somma e prodotto
di numeri complessi, inverso e coniugato, forma trigonometrica, formula di De Moivre e interpretazione
geometrica del prodotto, forma esponenziale, radice n-esima. Funzioni reali di una variabile reale Dominio,
immagine e grafico. Funzioni pari, dispari, monotone, limitate e periodiche. Funzioni componibili e funzione
composta. Funzioni invertibili e funzione inversa. Funzioni elementari, grafici di funzioni elementari
(polinomiali, valore assoluto, potenza, lineari in seno e coseno, esponenziali, logaritmiche, iperboliche).
Partendo dal grafico di una funzione data studiare l?effetto di traslazioni, simmetrie, dilatazioni, contrazioni e
valore assoluto sui grafici delle funzioni. Limiti Intorni e proprieta' fondamentali degli intorni, punti di
accumulazione e punti interni. Il concetto di limite di una funzione. Teoremi fondamentali sui limiti: teorema
di unicita' del limite, teorema della permanenza del segno, teorema del confronto, teorema sul limite della
composta. Calcolo dei limiti: teoremi sul limite della somma, del prodotto e del quoziente, forme di
indecisione, limiti notevoli; infiniti e infinitesimi. Successioni numeriche: successioni di numeri reali, definite
per ricorrenza, limiti di successioni, teorema di esistenza del limite per le successioni monotone, il numero e,
cenno alla formula di De Moivre-Stirling. Funzioni continue Continuita' in un punto e in un insieme, somma,
prodotto, quoziente e composta di funzioni continue. Tipi di discontinuita' e teorema degli zeri, teorema dei
valori intermedi (o di Darboux) e teorema di Weierstrass. Calcolo differenziale Derivata di una funzione e suo
significato geometrico, derivata destra e sinistra, punti angolosi. Prime proprieta' delle derivate: prima
espressione dellincremento finito, differenziale e suo significato geometrico, equazione della tangente al
grafico di una funzione; esempi. Calcolo delle derivate: derivate delle funzioni elementari, derivata della
somma, della composta, del prodotto e del quoziente. Teorema sulla derivata dell'inversa, caso in cui esiste il
limite della derivata. Punti stazionari: punti di massimo e minimo relativo, teorema di Fermat, punti di flesso a
tangente orizzontale. Valor medio: teoremi di Rolle e Lagrange, funzioni a derivata nulla in un intervallo. Test
di monotonia, ricerca del massimo e del minimo assoluti di una funzione in un intervallo. Studi di funzione e
formula di Taylor. Studi di funzione: derivate di ordine superiore, formula di Taylor arrestata al secondo
ordine. Concavita' e convessita' (in un insieme e in un punto) e segno della derivata seconda, punti di flesso,
asintoti, teorema di esistenza dell? asintoto obliquo. Determinazione del grafico di una funzione; teorema di
De L'Hopital. Formula di Taylor: resto e stima del resto, applicazione al calcolo dei limiti. Calcolo integrale
Integrale di una funzione continua in un intervallo [a, b] e suo significato geometrico, proprieta' fondamentali
dell'integrale, teorema della media. Teorema fondamentale e primitive, funzione integrale e teorema di
Torricelli, teorema fondamentale del calcolo integrale, primitive di funzioni continue in un intervallo. Metodi
di integrazione: integrali indefiniti, integrazioni immediate, integrazione per scomposizione, per sostituzione e
per parti, cambio di variabile negli integrali definiti. Integrali di funzioni discontinue o non limitate:
definizioni, criteri di integrabilita' ed esempi notevoli. Integrali su intervalli illimitati: definizione, criteri di
integrabilita' ed esempi notevoli. Cenni sulle serie.
Testi di riferimento:
M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 1, Zanichelli. S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di
Analisi Matematica 1, Zanichelli.
Modalità d'esame:
Prova scritta ed eventuale prova orale
Risultati d'apprendimento previsti:
Acquisire conoscenze fondamentali e raggiungere un uso consapevole di metodi di base dell'analisi
matematica
