NUMERI REALI Assiomi dei numeri reali. Insiemi separati, insiemi
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POLITECNICO DI BARI Laurea Triennale in Ingegneria CIVILE E AMBIENTALE - Corso A-K Anno Accademico 2015-2016 Programma del Corso di ANALISI MATEMATICA 1 Prof. A. Pomponio NUMERI REALI Assiomi dei numeri reali. Insiemi separati, insiemi contigui. Intervalli e loro proprietà. Rappresentazione geometrica di R e R2 . Assioma di completezza dei numeri reali. Conseguenze degli assiomi dei numeri reali. Cenni di teoria degli insiemi. Numeri naturali, interi e razionali. Estremo superiore, estremo inferiore, minimo e massimo di un insieme numerico: definizioni e caratterizzazioni. Teorema sull’esistenza dell’estremo superiore∗ . Teorema sull’esistenza del minimo di un insieme in N∗ . Illimitatezza superiore di N∗ . Proprietà archimedea dei numeri reali∗ . Proprietà di densità dei numeri razionali e irrazionali in R∗ . Principio di induzione. NUMERI COMPLESSI Definizione dei numeri complessi, unità immaginaria. Operazioni con i numeri complessi, addizione, moltiplicazione, reciproco di un numero complesso, divisione tra numeri complessi. Complesso coniugato, modulo di un numero complesso, argomenti di un numero complesso. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Formula di De Moivre∗ . Radici di un numero complesso e relativa formula∗ . PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI Funzioni e rappresentazione dei numeri reali. Funzioni reali e proprietà. Funzioni invertibili, funzioni monotone, funzioni pari, funzioni dispari, funzioni periodiche. Funzioni composte. Valore assoluto di un numero reale e proprietà. Le funzioni elementari: potenze, radici, esponenziali, logaritmiche, funzioni trigonometriche e loro inverse. Minimi e massimi locali. LIMITI DI FUNZIONI L’insieme dei numeri reali ampliato ed operazioni su tale insieme. Intorni di un punto della retta reale estesa. Punti di accumulazione di un insieme numerico. Limite di una funzione reale di variabile reale. Successioni di numeri reali. Limiti di successioni di numeri reali. Criterio del rapporto∗ . Legami tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Limite a destra e limite a sinistra. Limiti delle restrizioni∗ . Operazioni sui limiti, forme indeterminate. Limiti notevoli∗ . Limiti delle funzioni composte. Limiti delle funzioni monotone. Unicità del limite∗ . Teoremi del confronto∗ . Teorema di permanenza del segno∗ . Asintoti di un grafico. FUNZIONI CONTINUE Funzioni continue e proprietà. Teorema di permanenza del segno per funzioni continue∗ . Continuità delle funzioni composte. Proprietà delle funzioni continue in un intervallo: Teorema di Weierstrass, Teorema degli zeri di Bolzano, Teorema dei valori intermedi∗ . Continuità delle funzioni elementari. DERIVATE Definizione di derivata, derivata a destra e derivata a sinistra. Interpretazione geometrica ∗ Con dimostrazione e cinematica della derivata. Retta tangente al grafico. Regole di derivazione. Derivazione della funzione composta. Derivazione della funzione inversa∗ . Derivata delle funzioni elementari. Derivate di ordine superiore. APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Teorema di Fermat∗ . Teorema di Rolle∗ . Teorema di Lagrange∗ . Conseguenze del teorema di Lagrange. I Teoremi di de L’Hopital ed applicazioni ai limiti. Criterio di monotonia∗ . Criterio di stretta monotonia. Concavità, convessità, flessi. Criterio di convessità∗ . Rapporto tra punti di minimi e massimi relativi e derivata seconda∗ . La formula di Taylor con il resto di Peano∗ . La formula di Taylor con il resto di Lagrange. Studio del grafico di una funzione. CALCOLO INTEGRALE Partizioni di un intervallo. Somme superiori e inferiori e loro proprietà. Integrale di Riemann e funzioni integrabili secondo Riemann. Caratterizzazione delle funzioni integrabili. Integrabilità delle funzioni monotone∗ . Integrabilità delle funzioni continue e discontinue. Additività dell’integrale rispetto all’intervallo. Linearità dell’integrale. Confronto tra integrali. Teorema della media∗ . Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale∗ . Primitive di una funzione e proprietà. Formula fondamentale del calcolo integrale∗ . Integrale indefinito. Integrale di funzioni elementari. Integrale per sostituzione. Integrale di funzioni razionali. Integrale di funzioni trigonometriche. Integrazione per parti. TESTI CONSIGLIATI • M. BRAMANTI, C. PAGANI, S. SALSA: Analisi matematica 1. Zanichelli. • P. MARCELLINI, C. SBORDONE: Elementi di Analisi Matematica uno. Liguori Editore. • P. MARCELLINI, C. SBORDONE: Esercitazioni di Matematica, Vol. 1. Liguori Editore. ∗ Con dimostrazione
