Secondo Appello Invernale
Corsi di Laurea in Scienze Geologiche Facoltà di SCIENZE MM. FF. NN.
Corso di Istituzioni di Matematica II – prof. Fabio Rosso
A.A. 2006/2007 - 22 febbraio 2007
GLi esercizi sono da risolvere in modo esplicito. Nelle domande, laddove richiesto, lo studente è invitato a
giustificare la risposta.
E SERCIZIO 1: Si consideri il problema differenziale
′
u1 = −βu2
u′2 = u1 − (1 + β)u2
dove β è un parametro reale.
a) Determinare l’equazione scalare del secondo ordine lineare equivalente al sistema dato.
b) Stabilire per quali valori di β esiste un’unica soluzione di equilibrio e studiarne, in tal caso, la stabilità al
variare del parametro β.
R ISPOSTA :
a) L’equazione scalare di secondo ordine lineare equivalente al sistema dato si ottiene derivando la prima equazione ed eliminando fra questa e la seconda il termine u′2 . In tal modo si ottiene l’equazione u′′1 + (1 +
β)u′1 + βu1 = 0.
b) L’origine è l’unica soluzione di equilibrio se e solo se β 6= 0. La matrice dei coefficienti del sistema
differenziale ha autovalori −1 e −β. L’origine è un nodo proprio stabile se β > 0 e β 6= 1, una sella se
β < 0. Se invece β = 1, l’autovalore è algebricamente doppio ma geometricamente semplice e quindi la
matrice dei coefficienti è simile alla matrice di Jordan J3 . In questo caso l’origine è un nodo improprio
stabile.
E SERCIZIO 2: Calcolare
Z
(x + y 2 ) d x + 2xy d y
γ
ove γ(t) = (t, t3 ), con t ∈ [0, 1].
R ISPOSTA :
La forma differenziale integranda ω è chiusa. Anzi è addirittura esatta essendo dU = ω con U (x, y) = x2 /2+xy 2 .
Si ricava allora che l’integrale cercato vale 3/2.
E SERCIZIO 3: Un test è costituito da 10 domande a risposta multipla: ad ogni domanda ci sono 4 risposte possibili
di cui una sola esatta. Per superare il test bisogna rispondere esattamente ad almeno 8 domande. Rispondendo a
caso alle domande, qual è la probabilità di superare il test? Di quanto aumenta la probabilità di superare il test
rispondendo a caso se le risposte possibili sono 3 e non 4?
1
R ISPOSTA : La probabilità di dare k risposte esatte (in qualsiasi ordine) in n prove ripetute è
n k
p (1 − p)n−k
k
dove p è la probabilità di dare la risposta giusta. Nel caso in esame n = 10, e p = 1/4. La probabilità di superare
il test è quindi
10 k 10−k
X
10
1
3
109
= 9 ≈ 0.0004
k
4
4
4
k=8
Lo stesso calcolo con p = 1/3 fornisce una probabilità apri a 67/19683 ≈ 0.0034 e quindi la probabiltà di superare
il test aumenta di circa 8 volte
E SERCIZIO 4: Scrivere, se esiste, il piano tangente alla funzione
nel punto (0, 1).
y 2 cos x
f (x, y) = p
x2 + y 2
R ISPOSTA :
z=y
2
