ESERCIZI PROPOSTI DI MATEMATICA
Corso di Laurea Triennale in Scienze e Tecnologie Chimiche
Anno 2013–2014
COGNOME (in stampatello):
NOME (in stampatello):
MATRICOLA (numero):
NOTA: Ciascuna soluzione deve essere riportata e contenuta nello spazio sottostante il testo d’esame. Tutte le soluzioni devono essere adeguatamente motivate
dai necessari passaggi ai fini della valutazione.
1
Equazioni Differenziali
Determinare la soluzione dell’equazione differenziale
x(1 − x)
dy
= 2xy + 1 ,
dx
che soddisfa la condizione al contorno y(2) = 0.
1
2
Equazioni Differenziali
Trovare la soluzione generale x = x(t) dell’equazione differenziale ordinaria
dx
= x cos t ,
dt
e determinare la soluzione particolare per t = 0, x(0) = 2.
2
(1)
3
Equazioni Differenziali
Determinare la soluzione dell’equazione differenziale
x
dy p 2
− x + y2 − y = 0 .
dx
3
4
Equazioni Differenziali
Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale
y 0 (t) = t3 y(t)
e il dominio di definizione delle soluzioni non nulle.
4
5
Equazioni Differenziali
Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale
x00 (t) − 6x0 (t) + 9x(t) = 0
e la soluzione particolare corrispondente alle condizioni al contorno date da x(0) =
1 e x(1) = 3e3 .
5
6
Calcolo Vettoriale
Dati i vettori u = (2, 2, −1) e v=(6,-3,2) determinare:
(a) l’angolo α tra u e v;
(b) il vettore w = u × v.
6
7
Calcolo Vettoriale
√
√
Dati i vettori u = ( 3, 1/4) e v = (−1/2, 2 3), (a) determinare l’angolo α tra u
e v, e il vettore p proiezione ortogonale di v lungo il vettore w = (−1, −1); (b)
calcolare il vettore c = a × b, dove a = (1, 0, 3) e b = (−1, −1, −1).
7
8
Calcolo Vettoriale
Il vettore v = (−2, 3) forma un angolo di π/3 con la retta di versore û = (x, y).
Determinare: (a) equazione della retta; (b) coefficiente angolare m e intercetta q.
8
9
Matrici e Algebra Lineare
Data la matrice
A=
h 2
1 −1
,
(a) determinare
per quali valori di h esiste la matrice inversa A−1 ; (b) fissato
√
h = − 3, determinare A−1 .
9
10
Matrici e Algebra Lineare
Date le matrici
A=
3
1
−2 −1
,
2 −1 0
1 −1 ,
B= 3
−2 2
0
(a) calcolare la matrice inversa A−1 ; (b) verificare che AA−1 = I; (c) calcolare il
determinante di B, det(B).
10
11
Matrici e Algebra Lineare
(i) Determinare per quali valori di h la matrice
h 1 0
A= 1 h h
0 1 2
è invertibile. (ii) Determinare l’inversa A−1 per h = 1.
11
12
Matrici e Algebra Lineare
Determinare per quali valori di h la matrice
0 1 2
A = h −1 h
0 h 1
non è invertibile. Fissato h = 1, calcolarne l’inversa A−1 .
12
13
Matrici e Algebra Lineare
Data la matrice
A=
3 2
2 0
calcolare:
(a) gli autovalori di A;
(b) gli autovettori di A.
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,
14
Serie
Mediante sviluppo in serie di Taylor calcolare l’integrale
Z 1
x2 sin x2 dx
0
con un errore inferiore a 1/100.
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15
Serie
Rappresentare mediante serie di Taylor la seguente funzione:
f (x) = sin x2 .
15
16
Serie
Calcolare l’integrale
Z
1
sin2 x dx
0
mediante sviluppo in serie di Taylor della funzione integranda.
16
17
Serie
Calcolare l’integrale
Z
1
cos2 x dx
0
mediante sviluppo in serie di Taylor della funzione integranda.
17
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Gradiente
Usando la formula del gradiente determinare la√direzione di massima crescita della
funzione f (x, y) = x2 log y 2 nel punto P = (1, e).
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