Insieme
In tutto quanto segue si assume
come primitivo
il concetto di insieme.
Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole:
A, B, X, Y, … ,
gli elementi degli insiemi con lettere minuscole:
a, b, x, …
Il simbolo di appartenenza: ∈
x∈X
si legge "x appartiene ad X".
Per negare questo predicato
si utilizza la seguente scrittura
x∉X
si legge "x non appartiene ad X".
Rappresentazione di un insieme
Un insieme X si può rappresentare
elencando una ed una sola volta
tutti gli elementi appartenenti all'insieme
Esempio:
X = {a, i, u, o, e}
specificando una proprietà caratteristica
relativa agli elementi dell'insieme
Esempio:
X = {x : x è una vocale della parola aiuole}
in modo visivo mediante
i cosiddetti diagrammi di Eulero-Venn
Esempio:
Insieme vuoto : ∅
Insieme privo di elementi
Insiemi uguali : A = B
Due insiemi A e B sono uguali
se e solo se
hanno gli stessi elementi
A = B ⇔ (x ∈ A ⇔ x ∈ B)
B sottoinsieme di A
Si dice che B è sottoinsieme di A
si scrive
B ⊆ A (oppure A ⊇ B)
e si legge
"B è contenuto o è uguale ad A"
("A contiene o è uguale a B")
se ogni elemento di B è un elemento di A
∀x∈B:x∈A
Si osservi che
A = B se e solo se (A ⊆ B e B ⊆ A)
∅ ⊆ A (qualunque sia A)
Un sottoinsieme B di A diverso da A e dall'insieme vuoto
si dice sottoinsieme proprio
e si scrive
B ⊂ A (oppure A ⊃ B)
Proprietà della relazione inclusione:
Siano A, B, C insiemi qualsiasi, si ha:
A ⊆ A (proprietà riflessiva)
se A ⊆ B e B ⊆ A allora A = B (proprietà antisimmetrica)
se A ⊆ B e B ⊆ C allora A ⊆ C ( proprietà transitiva)
Insieme delle parti
L'insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme A,
compresi l'insieme vuoto ed A stesso,
si dice
insieme delle parti di A (o potenza di A)
e si indica
Esempio
Sia A = {a, b, c},
si ha
= {∅ ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
Se A contiene n elementi
allora
contiene 2n elementi
Unione
L'unione di due insiemi A e B
è l'insieme
di quegli elementi che appartengono
ad almeno uno dei due insiemi A e B
L'unione di A e B si scrive
A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B }
Esempio
A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 5, 7, 8}
A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 8}
Intersezione
L'intersezione di due insiemi A e B
è l'insieme
di quegli elementi che appartengono
sia ad A che a B
L'intersezione di A e B si scrive
A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B }
Esempio
A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 5, 7, 8}
A ∩ B = {1, 2}
Differenza
La differenza di due insiemi A e B
è l'insieme
di quegli elementi che appartengono
ad A e che non appartengono a B
La differenza di A e B si scrive
A − B = A \ B = {x : x ∈ A e x ∉ B }
Esempio
A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 5, 7, 8}
A \ B = {0, 3}
Differenza simmetrica
La differenza simmetrica di due insiemi A e B
è l'insieme
di quegli elementi che appartengono
ad A e che non appartengono a B e
di quegli elementi che appartengono
ad B e che non appartengono ad A
La differenza simmetrica di A e B si scrive
A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A)
Esempio
A = {0, 1, 2, 3}, B = {1, 2, 5, 7, 8}
A \ B = {0, 3}, B \ A = {5, 7, 8}
A ∆ B = {0, 3, 5, 7, 8}
Complementazione
Sia A un insieme,
sia B un sottoinsieme di A (ossia B ∈
)
si definisce il complementare di B rispetto ad A
l'insieme differenza di A e B e si scrive
Esempio
A = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9}, B = {1, 2, 5, 7}
Proprietà
Proprietà di idempotenza
Unione
A∪A=A
Intersezione
A∩A=A
Proprietà commutativa
Unione
A∪B=B∪A
Intersezione
A∩B=B∩A
Proprietà associativa
Unione
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Intersezione
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Proprietà distributiva
Unione
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Intersezione
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Proprietà di assorbimento
Unione
A ∪ (A ∩ B) = A
Intersezione
A ∩ (A ∪ B) = A
Proprietà involutoria
Leggi di De Morgan
Prodotto cartesiano
Siano X e Y insiemi.
L'insieme di tutte le coppie ordinate
che hanno il primo elemento appartenente ad X
ed il secondo elemento appartenente a Y
si dice
prodotto cartesiano
e si scrive
X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y}
Esempio
Siano:
X = {a, b}, Y = { , , }
X × Y = {(a, ), (a, ), (a, ), (b, ), (b, ), (b, )}
