A = B - Fabio Lamantia

FACOLTA' DI ECONOMIA – UNIVERSITA’
DELLA CALABRIA
Corso di Modelli Matematici per
l’Azienda
a.a. 2011-2012
DISPENSE SU TEORIA DEGLI
INSIEMI E NUMERI
Prof. Fabio Lamantia
INSIEMI
INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi
detti elementi dell’insieme.
Un insieme è definito quando viene dato un
criterio non ambiguo che permette di
stabilire se l’oggetto appartiene o no
all’insieme
Gli insiemi sono indicati con lettere
maiuscole, eventualmente munite di
indici:
A, B, X, Y, A1, A2, B1…
gli elementi degli insiemi con lettere
minuscole, eventualmente munite di
indici:
a, b, x, a1, a2, y1 …
Rappresentazione di un insieme
Un insieme A si può rappresentare:
• elencando tutti gli elementi che
appartengono all'insieme
Esempio: A = {a, b, c, d}
• Indicando la proprietà caratteristica
degli elementi dell'insieme
Esempio: A = {x : x è una lettera
dell’alfabeto}
A
a
b
c
d
I Diagrammi di
Eulero-Venn
Servono per
rappresentare
graficamente un
insieme.
Il simbolo di appartenenza: ∈
Per indicare che a è un elemento
dell’insieme A si scrive:
a∈A
si legge “a appartiene ad A".
Per indicare che b non è un elemento
dell’insieme A si scrive:
b∉A
si legge “b non appartiene ad A".
Confronto Tra Insiemi
Si dice che B è sottoinsieme di A e si
scrive:
B⊆A
(oppure A ⊇ B)
e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A"
("A contiene o è uguale a B")
se ogni elemento di B è un elemento di A
∀b∈B⇒b∈A
CONFRONTO TRA INSIEMI
Insieme vuoto : ∅
Insieme privo di elementi
∅ ⊆ Α (qualunque sia A)
Si dice che B è sottoinsieme proprio di A
e si scrive:
Β ⊂ Α (oppure Α ⊃ Β)
se B è un sottoinsieme di A diverso da A
stesso e dall'insieme vuoto, cioè se
∃ a∈ A : a ∉ B
Due insiemi A e B si dicono uguali se ogni
elemento di A è anche elemento di B e
viceversa:
A = B ⇔ (A ⊆ B e B ⊆ A)
Due insiemi A e B si dicono diversi se
esiste un elemento di uno dei due insiemi
che non appartiene all’altro:
A≠B
Proprietà della relazione di inclusione
Siano A, B, C insiemi qualsiasi, si ha:
• A ⊆ A (proprietà riflessiva)
• se A ⊆ B e B ⊆ A allora A = B (proprietà
antisimmetrica)
• se A ⊆ B e B ⊆ C allora A ⊆ C ( proprietà
transitiva)
Insieme delle parti
• L'insieme di tutti i sottoinsiemi di un
insieme A, compresi l'insieme vuoto ed
A stesso, si dice insieme delle parti di A
(o potenza di A) e si indica con P(A)
• Esempio: Sia A = {1, 2, 3}. Si ha che
P(A)= {∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
• Se A contiene n elementi
allora P contiene 2n elementi
OPERAZIONI TRA
INSIEMI
•
•
•
•
•
UNIONE
INTERSEZIONE
DIFFERENZA
COMPLEMENTAZIONE
PRODOTTO CARTESIANO
UNIONE TRA INSIEMI
• L'unione di due insiemi A e B è l'insieme
di quegli elementi che appartengono
ad almeno uno dei due insiemi A e B
• L’unione di A e B si scrive:
A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B }
Se A = B
Se A ⊂ B
A∪B=A
A∪B=B
A
B
Esempio:
1
3
0
2
A = {0, 1, 2}
B = {1, 2, 3}
A ∪ B = {0, 1, 2, 3}
INTERSEZIONE TRA INSIEMI
• L'intersezione di due insiemi A e B è
l'insieme di quegli elementi che
appartengono sia ad A che a B
• L'intersezione di A e B si scrive:
A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B }
Se A = B
Se A ⊂ B
Se A ∩ B = ∅
A∩B=A
A∩B=A
A e B si dicono disgiunti.
B
A
Esempio:
1
3
0
2
A = {0, 1, 2}
B = {1, 2, 3}
A ∩ B = {1, 2}
PROPRIETA’ DI UNIONE E
INTERSEZIONE
• Proprietà commutativa:
A∪B=B∪A
A∩B=B∩A
• Proprietà associativa:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• Proprietà distributiva:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
DIFFERENZA TRA INSIEMI
• La differenza di due insiemi A e B è
l'insieme di quegli elementi che
appartengono ad A e che non
appartengono a B:
• La differenza di A e B si scrive
A − B = A \ B = {x : x ∈ A e x ∉ B }
Se A = B
Se A ⊂ B
A \ B =∅
∅
A \ B =∅
B
A
Esempio:
A = {0, 1, 2}
B = {1, 2, 3}
1
3
0
2
A \ B = {0}
INSIEME COMPLEMENTARE
• Sia U un insieme su cui si intende
operare, chiamato insieme universo.
•
sia A un sottoinsieme di U, si chiama
insieme complementare di A rispetto
ad U l'insieme differenza di U e A e si
scrive:
Ac =U \ A = {x : x ∈ U e x ∉ A }
U
A
A
1 2
Esempio:
U = {0, 1, 2, 3, 5},
A = {1, 2}
Ac =U \ A = {0, 3, 5}
0
3
5
PRODOTTO CARTESIANO
• Per coppia ordinata si intende una coppia di
elementi in cui viene distinto il primo dal
secondo: (x,y) ≠ (y,x)
• Dati due insiemi A e B, l’insieme delle coppie
ordinate (x,y) in cui il primo elemento x
appartiene ad A ed il secondo elemento y
appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A
eB
A × B = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}
• Inoltre:
– Non è commutativo:
A×B≠B×A
– Se A=B, allora A × B = A2
Esempio:
A = {1, 2}, B = {3, 4}
A × B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
B × A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}
INSIEMI NUMERICI
•
•
•
•
•
NATURALI
INTERI O RELATIVI
RAZIONALI
IRRAZIONALI
REALI
I NUMERI NATURALI
N={0, 1, 2, 3, 4, 5,…..}
• Si definisce sistema algebrico un insieme nel
quale sono state definite alcune relazioni
• Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene
introducendo in N le seguenti operazioni:
1) Addizione
2) Moltiplicazione
3) Relazione di “minore o uguale di” (m<n sse ∃p∈
N: m+p=n)
• ∀ m, n, p ∈ N Le operazioni di addizione e
moltiplicazione godono delle proprietà:
- Associativa:
(m + n) + p = m + (n + p)
(m • n) • p= m • (n • p)
- Commutativa:
m+n=n+m
m•n=n•m
- Distributiva:
m • (n + p)= m • n + m • p
-
Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione:
∃ 1∈ N: 1 • m = m
I NUMERI INTERI RELATIVI
• L’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto
all’addizione e alla moltiplicazione.
• Non è ad esempio chiuso rispetto alla
sottrazione
⇒ sistema algebrico dei numeri interi relativi:
Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, …}
Z+ = {+1, +2, +3, …} = N\ {0}
Z- = {-1, -2, -3, …}
Z = Z+ ∪ Z - ∪ {0}
Nell’insieme dei Numeri interi relativi valgono le
proprietà 1), 2) e 3) definite a proposito dei numeri
naturali ed inoltre:
4) Esiste l’elemento neutro dell’addizione:
∃ 0 ∈Z : x + 0 = x, ∀x∈Z
5) Esiste l’opposto:
∀x∈Z, ∃ y ∈Z : x + y = 0,
6) l’insieme è chiuso rispetto alla sottrazione:
x – y = x + (-y)
I NUMERI RAZIONALI
• PROBLEMA:
Dati due numeri x,y∈Z non è sempre
possibile trovare un numero q ∈Z : x • q =
y ovvero
Z non è chiuso rispetto alla divisione
Q= {q = x/y : x∈Z, y∈Z\{0}}
• ogni numero decimale finito o periodico è
un numero razionale.
• Q è denso nel senso che:
∀q1, q2 ∈ Q, ∃ q ∈ Q : q = (q1+ q2)/2
mentre invece N e Z sono discreti:
-2 -1 0 1 2 3
NUMERI REALI
• PROBLEMA:
non è possibile trovare nessun numero
razionale tale che il suo quadrato sia uguale
a 2. Questo può essere dimostrato
matematicamente!
Numeri reali: R = Q + Ι
dove Ι è l’insieme dei numeri irrazionali, ad
esempio
2 ,π , e ∈ I
In generale un numero reale può essere definito
come un allineamento di cifre del tipo
±b,a1a2a3…
dove b è un intero naturale e a1a2a3…sono cifre
decimali
Esiste una corrispondenza biunivoca tra
numeri reali e punti della retta:
0
Da quanto detto risulta immediato che si ha
la relazione
N⊂Z⊂Q⊂R