FACOLTA' DI ECONOMIA – UNIVERSITA’ DELLA CALABRIA Corso di Modelli Matematici per l’Azienda a.a. 2011-2012 DISPENSE SU TEORIA DEGLI INSIEMI E NUMERI Prof. Fabio Lamantia INSIEMI INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi detti elementi dell’insieme. Un insieme è definito quando viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se l’oggetto appartiene o no all’insieme Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole, eventualmente munite di indici: A, B, X, Y, A1, A2, B1… gli elementi degli insiemi con lettere minuscole, eventualmente munite di indici: a, b, x, a1, a2, y1 … Rappresentazione di un insieme Un insieme A si può rappresentare: • elencando tutti gli elementi che appartengono all'insieme Esempio: A = {a, b, c, d} • Indicando la proprietà caratteristica degli elementi dell'insieme Esempio: A = {x : x è una lettera dell’alfabeto} A a b c d I Diagrammi di Eulero-Venn Servono per rappresentare graficamente un insieme. Il simbolo di appartenenza: ∈ Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive: a∈A si legge “a appartiene ad A". Per indicare che b non è un elemento dell’insieme A si scrive: b∉A si legge “b non appartiene ad A". Confronto Tra Insiemi Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive: B⊆A (oppure A ⊇ B) e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A" ("A contiene o è uguale a B") se ogni elemento di B è un elemento di A ∀b∈B⇒b∈A CONFRONTO TRA INSIEMI Insieme vuoto : ∅ Insieme privo di elementi ∅ ⊆ Α (qualunque sia A) Si dice che B è sottoinsieme proprio di A e si scrive: Β ⊂ Α (oppure Α ⊃ Β) se B è un sottoinsieme di A diverso da A stesso e dall'insieme vuoto, cioè se ∃ a∈ A : a ∉ B Due insiemi A e B si dicono uguali se ogni elemento di A è anche elemento di B e viceversa: A = B ⇔ (A ⊆ B e B ⊆ A) Due insiemi A e B si dicono diversi se esiste un elemento di uno dei due insiemi che non appartiene all’altro: A≠B Proprietà della relazione di inclusione Siano A, B, C insiemi qualsiasi, si ha: • A ⊆ A (proprietà riflessiva) • se A ⊆ B e B ⊆ A allora A = B (proprietà antisimmetrica) • se A ⊆ B e B ⊆ C allora A ⊆ C ( proprietà transitiva) Insieme delle parti • L'insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme A, compresi l'insieme vuoto ed A stesso, si dice insieme delle parti di A (o potenza di A) e si indica con P(A) • Esempio: Sia A = {1, 2, 3}. Si ha che P(A)= {∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} • Se A contiene n elementi allora P contiene 2n elementi OPERAZIONI TRA INSIEMI • • • • • UNIONE INTERSEZIONE DIFFERENZA COMPLEMENTAZIONE PRODOTTO CARTESIANO UNIONE TRA INSIEMI • L'unione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B • L’unione di A e B si scrive: A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B } Se A = B Se A ⊂ B A∪B=A A∪B=B A B Esempio: 1 3 0 2 A = {0, 1, 2} B = {1, 2, 3} A ∪ B = {0, 1, 2, 3} INTERSEZIONE TRA INSIEMI • L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B • L'intersezione di A e B si scrive: A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B } Se A = B Se A ⊂ B Se A ∩ B = ∅ A∩B=A A∩B=A A e B si dicono disgiunti. B A Esempio: 1 3 0 2 A = {0, 1, 2} B = {1, 2, 3} A ∩ B = {1, 2} PROPRIETA’ DI UNIONE E INTERSEZIONE • Proprietà commutativa: A∪B=B∪A A∩B=B∩A • Proprietà associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) • Proprietà distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) DIFFERENZA TRA INSIEMI • La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B: • La differenza di A e B si scrive A − B = A \ B = {x : x ∈ A e x ∉ B } Se A = B Se A ⊂ B A \ B =∅ ∅ A \ B =∅ B A Esempio: A = {0, 1, 2} B = {1, 2, 3} 1 3 0 2 A \ B = {0} INSIEME COMPLEMENTARE • Sia U un insieme su cui si intende operare, chiamato insieme universo. • sia A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive: Ac =U \ A = {x : x ∈ U e x ∉ A } U A A 1 2 Esempio: U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} Ac =U \ A = {0, 3, 5} 0 3 5 PRODOTTO CARTESIANO • Per coppia ordinata si intende una coppia di elementi in cui viene distinto il primo dal secondo: (x,y) ≠ (y,x) • Dati due insiemi A e B, l’insieme delle coppie ordinate (x,y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A eB A × B = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} • Inoltre: – Non è commutativo: A×B≠B×A – Se A=B, allora A × B = A2 Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4} A × B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} B × A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)} INSIEMI NUMERICI • • • • • NATURALI INTERI O RELATIVI RAZIONALI IRRAZIONALI REALI I NUMERI NATURALI N={0, 1, 2, 3, 4, 5,…..} • Si definisce sistema algebrico un insieme nel quale sono state definite alcune relazioni • Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene introducendo in N le seguenti operazioni: 1) Addizione 2) Moltiplicazione 3) Relazione di “minore o uguale di” (m<n sse ∃p∈ N: m+p=n) • ∀ m, n, p ∈ N Le operazioni di addizione e moltiplicazione godono delle proprietà: - Associativa: (m + n) + p = m + (n + p) (m • n) • p= m • (n • p) - Commutativa: m+n=n+m m•n=n•m - Distributiva: m • (n + p)= m • n + m • p - Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione: ∃ 1∈ N: 1 • m = m I NUMERI INTERI RELATIVI • L’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione. • Non è ad esempio chiuso rispetto alla sottrazione ⇒ sistema algebrico dei numeri interi relativi: Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, …} Z+ = {+1, +2, +3, …} = N\ {0} Z- = {-1, -2, -3, …} Z = Z+ ∪ Z - ∪ {0} Nell’insieme dei Numeri interi relativi valgono le proprietà 1), 2) e 3) definite a proposito dei numeri naturali ed inoltre: 4) Esiste l’elemento neutro dell’addizione: ∃ 0 ∈Z : x + 0 = x, ∀x∈Z 5) Esiste l’opposto: ∀x∈Z, ∃ y ∈Z : x + y = 0, 6) l’insieme è chiuso rispetto alla sottrazione: x – y = x + (-y) I NUMERI RAZIONALI • PROBLEMA: Dati due numeri x,y∈Z non è sempre possibile trovare un numero q ∈Z : x • q = y ovvero Z non è chiuso rispetto alla divisione Q= {q = x/y : x∈Z, y∈Z\{0}} • ogni numero decimale finito o periodico è un numero razionale. • Q è denso nel senso che: ∀q1, q2 ∈ Q, ∃ q ∈ Q : q = (q1+ q2)/2 mentre invece N e Z sono discreti: -2 -1 0 1 2 3 NUMERI REALI • PROBLEMA: non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2. Questo può essere dimostrato matematicamente! Numeri reali: R = Q + Ι dove Ι è l’insieme dei numeri irrazionali, ad esempio 2 ,π , e ∈ I In generale un numero reale può essere definito come un allineamento di cifre del tipo ±b,a1a2a3… dove b è un intero naturale e a1a2a3…sono cifre decimali Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta: 0 Da quanto detto risulta immediato che si ha la relazione N⊂Z⊂Q⊂R