LIBRO ADOTTATO
A. FACCHINI: ALGEBRA E MATEMATICA DISCRETA,
ed. ZANICHELLI
LIBRI CONSIGLIATI
G.M. PIACENTINI CATTANEO: MATEMATICA DISCRETA,
ed. ZANICHELLI
C. COSTANTINO, P. LONGOBARDI, M. MAJ, C. NICOTERA:
MATEMATICA DISCRETA, ed. McGRAW-HILL
M.G. BIANCHI, A. GILLIO: INTRODUZIONE ALLA MATEMATICA DISCRETA, ed. McGRAW-HILL
L. DI MARTINO, M.C. TAMBURINI: APPUNTI DI ALGEBRA, ed. CLUED
Si consiglia di studiare il capitolo:
“QUALCHE NOZIONE DI LOGICA MATEMATICA”
pagg. 283 - 298 del libro di A. Facchini: ALGEBRA E MATEMATICA DISCRETA
INSIEMI NUMERICI
N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . , }
insieme dei numeri naturali
Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }
insieme dei numeri interi relativi
Q è l’insieme dei numeri della forma pq ,
dove p e q sono numeri relativi e q è diverso da 0; Q si dice
insieme dei numeri razionali
con il simbolo R si indica l’insieme dei numeri reali. In seguito si
definirà anche l’insieme C dei numeri complessi.
SIMBOLI FONDAMENTALI
Il simbolo di appartenenza di un oggetto ad un insieme è:
”∈”
si legge: ”appartiene” oppure ”è elemento di”. Ad esempio:
√
5
3 ∈ N, −1 ∈ Z,
∈ Q, − 5 ∈ R
3
Definizione 1 Siano A, B insiemi. Si dice che A “è incluso”
oppure è “contenuto” in B o anche che A “è sottoinsieme” di
B e si scrive
A⊆B
se ogni elemento di A è anche elemento di B.
Si dice invece che A “è incluso oppure è contenuto propriamente
o strettamente” in B o anche che A “è sottoinsieme proprio” di
B e si scrive
A⊂B o A$B
se ogni elemento di A è anche elemento di B ed esiste un elemento di B che non è elemento di A.
Definizione 2 Si dice che due insiemi A e B sono uguali, e si
scrive A = B, se essi hanno gli stessi elementi.
È chiaro, quindi, che A = B se e soltanto se A ⊆ B e B ⊆ A.
Osservazione 3 Quali che siano gli insiemi A, B, C si ha:
1. A ⊆ A
2. se A ⊆ B e B ⊆ A allora A = B
3. se A ⊆ B e B ⊆ C allora A ⊆ C
Esempi: N ⊂ Z,
Z ⊂ Q.
Naturalmente ci sono le negazioni:
”non appartiene”: ∈
/
esempi:
−3 ∈
/ N,
1 ∈
3 /
Z, π ∈
/Q
”non è contenuto”: *
esempi:
Z * N, R * Q.
Quantificatori:
∀
∃
quantificatore universale
quantificatore esistenziale
il primo si legge ”per ogni”, il secondo si legge ”esiste”. Si usa
anche il simbolo
∃|
che vuol dire ”esiste ed è unico”.
Insieme vuoto:
∅
è l’insieme che non ha elementi
(∀x)(x ∈
/ ∅).
Si osservi che esso è sottoinsieme di qualunque insieme
(∀A insieme)(∅ ⊆ A).
Si può assegnare un insieme enumerando i suoi elementi (nel caso
questo sia possibile), oppure tramite una proprietà caratteristica,
ovvero una proprietà P che verificano tutti e soli gli elementi
dell’insieme che si vuole definire. Si scrive:
A = {x ∈ U | P(x)} oppure A = {x ∈ U : P(x)}.
Esempi: Sia P l’insieme dei numeri pari. Allora si può scrivere
(definendolo tramite la proprietà caratteristica)
P = {n ∈ Z | ∃m ∈ Z tale che n = 2m}.
L’insieme D dei numeri dispari può essere scritto come
D = {n ∈ Z | ∃h ∈ Z tale che n = 2h + 1}.
Connettivi logici
Esempi:
congiunzione:
∧ che si legge ”e”
disgiunzione:
∨ che si legge ”o”.
(8 ∈ P) ∧ (8 è divisibile per 4)
sia n ∈ Z allora: (n ∈ P) ∨ (n ∈ D).
Definizione 4 Dati due insiemi A e B si definiscono l’unione
A ∪ B e l’intersezione A ∩ B come segue:
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
Si osserva subito che per ogni insieme A
A∪∅=A
A∩∅=∅
e che se A ⊆ B allora si ha
A∪B =B
A ∩ B = A.
1. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) proprietà associativa dell’unione
2. (A∩B)∩C = A∩(B∩C) proprietà associativa dell’intersezione
3. A ∪ B = B ∪ A proprietà commutativa dell’unione
4. A ∩ B = B ∩ A proprietà commutativa dell’intersezione
5. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
proprietà distributive dell’intersezione rispetto all’unione,
6. (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
proprietà distributive dell’unione rispetto all’intersezione.
Definizione 5 Sia A insieme e B ⊆ A si definisce il complementare
di B rispetto ad A: {A(B) = {x ∈ A | x ∈
/ B}.
Si ha ovviamente:
{A(A) = ∅; {A(∅) = A; B ∪ {A(B) = A; B ∩ {A(B) = ∅
Si dimostrano le leggi di DE MORGAN:
{A(B ∪ C) = {A(B) ∩ {A(C);
{A(B ∩ C) = {A(B) ∪ {A(C),
dove B, C ⊆ A.
Definizione 6 Siano A, B insiemi. Allora ’insieme:
A r B = {x ∈ A | x ∈
/ B}
si dice insieme differenza tra l’insieme A e l’insieme B
Definizione 7 Sia A un insieme. Si dice insieme delle parti di A
e si indica con P(A) l’insieme formato da tutti i sottoinsiemi di
A. In simboli:
P(A) = {X | X ⊆ A}
È ovvio che A ∈ P(A), ∅ ∈ P(A), se X ∈ P(A), Y ∈ P(A), allora
X ∪ Y ∈ P(A) e X ∩ Y ∈ P(A).
Definizione 8 Siano A e B insiemi. Si definisce il prodotto cartesiano:
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.
Naturalmente si ha: A × ∅ = ∅ × A = ∅.
