Diapositiva 1 - Rilievo Urbano

La geometria euclidea
La proiezione assonometrica
Corso di Disegno e Storia dell’arte
Prof. Alessandro Merlo
La geometria euclidea
Corso di Disegno e Storia dell’arte
Prof. Alessandro Merlo
LA GEOMETRIA EUCLIDEA E LE FIGURE PIANE
La geometria euclidea è un ramo della geometria che riguarda le proprietà di enti
geometrici, figure piane e figure solide formulate dal matematico greco Euclide nel trattato
Elementi.
La geometria euclidea parte dalla definizione di concetti primitivi (il punto, la retta, il piano) e
dalla formulazione di alcuni postulati per poi dedurre proposizioni più complesse (teoremi).
La geometria euclidea si basa su cinque postulati fondamentali:
I Per due punti distinti passa una e una sola retta
II Dato un segmento, i due estremi si possono prolungare indefinitamente
III Un cerchio è definito da un punto (il centro) e da una distanza fissa (il raggio)
IV Tutti gli angoli retti sono uguali
V Data una retta e un punto esterno a essa, per il punto passa una e una sola retta parallela
a quella data
Il V postulato (delle parallele) non è “evidentemente vero”, in quanto non rimanda ad alcuna
costruzione geometrica che possa limitarsi sempre ad una porzione finita di piano.
Negli oltre duemila anni successivi alla diffusione degli Elementi di Euclide, molti sono stati i
tentativi di dimostrare il V postulato o di riformularlo o, addirittura, di sostituirlo con altri
equivalenti. Purtroppo tali tentativi sono tutti falliti, perché tutti i ragionamenti riconducevano
sempre all'uso del V postulato, dando luogo nei primi decenni del XIX secolo alla diffusione di
geometrie non euclidee.
Introduzione alla geometria euclidea
La geometria euclidea
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LA GEOMETRIA EUCLIDEA E LE FIGURE PIANE
Concetti fondamentali della geometria euclidea sono la congruenza, l’equivalenza, la
similitudine.
Si tratta di relazioni tra figure geometriche che stabiliscono criteri di confronto tra di esse.
La congruenza è la probabilità della “sovrapponibilità” di due figure piane distinte.
L’equivalenza è la relazione che correla figure piane di forme anche diverse, ma
caratterizzate dalla stessa area, cioè dalla stessa estensione superficiale.
La similitudine è la proprietà di due figure che possono essere viste l’una come
l’ingrandimento o il rimpicciolimento dell’altra.
COSTRUZIONE DI POLIGONI REGOLARI
I poligoni regolari sono figure geometriche che delimitano una porzione chiusa di piano con
una serie di segmenti consecutivi tutti uguali tra loro e formanti angoli uguali.
E’ possibile costruire un poligono regolare conoscendo la sola misura del lato, oppure la
misura del raggio della circonferenza in cui il poligono risulta inscritto.
Un poligono è inscritto in una circonferenza quando tutti i suoi vertici appartengono alla
circonferenza.
I poligoni regolari
La geometria euclidea
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IL TRIANGOLO EQUILATERO
Il triangolo equilatero e’ il poligono regolare con il minor numero di lati ed angoli.
Essendo un poligono regolare i tre lati hanno la medesima lunghezza ed i tre angoli misurano
ciascuno 60°.
Ictino,
Partenone
William
van Alen,
Chrysler
Building
Triangolo equilatero
La geometria euclidea
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TRIANGOLO
EQUILATERO
Tracciamo il segmento
AB, centriamo il
compasso nei suoi
estremi A e B con raggio
AB e tracciamo due archi
che si intersecano nel
punto 1. Uniamo il punto
1 con gli estremi A e B
completando il triangolo
equilatero.
Triangolo equilatero dato il lato AB
La geometria euclidea
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TRIANGOLO
EQUILATERO
Tracciamo il diametro AB
della circonferenza data,
centriamo il compasso
nel suo estremo A e con
apertura pari al raggio
descriviamo un arco che
interseca la circonferenza
nei punti 1 e 2.
Uniamo i punti 1, 2 e B
ottenendo il triangolo
equilatero inscritto nella
circonferenza.
Triangolo equilatero dato il raggio
La geometria euclidea
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PERPENDICOLARE AD
UN SEGMENTO
Dato un segmento AB
vogliamo costruire una
semiretta che abbia
origine in A e che risulti
perpendicolare al
segmento dato AB.
Centriamo il compasso
nel punto A, con apertura
qualsiasi, e descriviamo
un arco di circonferenza
che intersechi il
segmento AB ed il suo
prolungamento nei punti 1
e 2. Con apertura
qualsiasi, purché
maggiore della distanza
1A, centriamo nel punto 1
e tracciamo un breve
arco, che intersecheremo
con un altro arco di
uguale raggio e centro nel
punto 2, ottenendo il
punto 3.
Perpendicolare ad un segmento AB per il suo punto A
La geometria euclidea
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QUADRATO
Il quadrato è un
parallelogramma con
angoli, lati e diagonali
uguali fra loro. Le
diagonali inoltre si
intersecano
perpendicolarmente nel
loro punto medio e sono
bisettrici degli angoli.
CONDIZIONE DI
PERPENDICOLARITÀ
Due o più enti sono
perpendicolari se si
secano formando angoli
retti.
CONDIZIONI DI
PARALLELISMO
Due o più enti sono
paralleli se tutti i punti di
uno hanno la stessa
distanza minima dall'altro.
Piet Mondrian, 1921
Quadrato
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La geometria euclidea
Pre-classicismo
Recinto delimitante un’area sacra o un luogo protetto in cui
stabilirsi, suddividendo equamente il territorio tra i membri della
comunità
Filosofia greca e matematica
greco-ellenistica
Matematica e geometria
esistenza dei numeri irrazionali,
individuazione dei numeri primi,
individuazione delle terne
pitagoriche, quadratura del
cerchio, incommensurabilità di
lato e diagonale del quadrato
Musica
espressione numerica dei
rapporti musicali
Architettura ed urbanistica
duplicazione del quadrato e del
cubo, assetto funzionale delle
città fondate
Schema ippodameo
Simbologia del quadrato nella storia delle diverse culture
QUADRATO
Il quadrato è un
parallelogramma con
angoli, lati e diagonali
uguali fra loro. Le
diagonali inoltre si
intersecano
perpendicolarmente nel
loro punto medio e sono
bisettrici degli angoli.
CONDIZIONE DI
PERPENDICOLARITÀ
Due o più enti sono
perpendicolari se si
secano formando angoli
retti.
CONDIZIONI DI
PARALLELISMO
Due o più enti sono
paralleli se tutti i punti di
uno hanno la stessa
distanza minima dall'altro.
La geometria euclidea
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La centuriazione romana
Misurazione e disegno del territorio
Pianificazione territoriale mediante
quadratura
Orientamento mediante individuazione di
capisaldi
Distribuzione razionale dei lotti di
fabbricazione
Distribuzione interna dell’insula e della
domus
Orientamento
Costruzione della rosa dei venti
Simbologia magica
Immobilità, solidità, stabilità terrena,
perfezione planimetrica
(rappresentazione biblica della
Gerusalemme celeste)
Unito e contrapposto al cerchio
rappresenta il cosmo, il cielo e la terra, il
tempo e lo spazio
Simbologia del quadrato nella storia delle diverse culture
QUADRATO
Il quadrato è un
parallelogramma con
angoli, lati e diagonali
uguali fra loro. Le
diagonali inoltre si
intersecano
perpendicolarmente nel
loro punto medio e sono
bisettrici degli angoli.
CONDIZIONE DI
PERPENDICOLARITÀ
Due o più enti sono
perpendicolari se si
secano formando angoli
retti.
CONDIZIONI DI
PARALLELISMO
Due o più enti sono
paralleli se tutti i punti di
uno hanno la stessa
distanza minima dall'altro.
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La geometria euclidea
Geometria e
matematica del
quadrato
Homo ad
quadratum
Capacità del
quadrato di
racchiudere altre
forme
geometriche
Capacità del
quadrato di
dimensionare il
disegno della
figura umana.
Disegni di Leonardo da Vinci, Cesare Cesariano e Cornelio Agrippa.
Simbologia del quadrato nella storia delle diverse culture
QUADRATO
Il quadrato è un
parallelogramma con
angoli, lati e diagonali
uguali fra loro. Le
diagonali inoltre si
intersecano
perpendicolarmente nel
loro punto medio e sono
bisettrici degli angoli.
CONDIZIONE DI
PERPENDICOLARITÀ
Due o più enti sono
perpendicolari se si
secano formando angoli
retti.
CONDIZIONI DI
PARALLELISMO
Due o più enti sono
paralleli se tutti i punti di
uno hanno la stessa
distanza minima dall'altro.
La geometria euclidea
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Matematica del
quadrato
Lo Shu
Lo Shu
rappresenta un
quadrato
numerico le cui
proprietà erano
note in Cina già a
partire dal IV
secolo a.C. sotto
la dinastia Shang.
Quadrati magici
Quadrato magico
rinvenuto su un
muro di Pompei
durante gli scavi
del 1936.
Albrecht Dürer, “Melancholia I”
Incisione di un quadrato magico di ordine 4 e costante 34, eseguita nel 1514.
Simbologia del quadrato nella storia delle diverse culture
QUADRATO
Il quadrato è un
parallelogramma con
angoli, lati e diagonali
uguali fra loro. Le
diagonali inoltre si
intersecano
perpendicolarmente nel
loro punto medio e sono
bisettrici degli angoli.
CONDIZIONE DI
PERPENDICOLARITÀ
Due o più enti sono
perpendicolari se si
secano formando angoli
retti.
CONDIZIONI DI
PARALLELISMO
Due o più enti sono
paralleli se tutti i punti di
uno hanno la stessa
distanza minima dall'altro.
La geometria euclidea
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Geometria del quadrato
Il gioco degli scacchi
Apprezzato già dagli Arabi, il gioco degli scacchi
si serve di una scacchiera quadrata suddivisa in
sessantaquattro caselle.
Labirinto ad impianto quadrato
Mosaico di Teseo e il Minotauro (IV secolo d.C.),
rinvenuto nella villa romana di Loigersfelder
(Salisburgo).
Gioco sumero
Gioco da tavola proveniente dal cimitero reale di
Ur (III millennio a.C.).
Tangram
Rappresentazione del Tangram, rompicapo
cinese di origine antichissima (740 - 730 a.C.)
costituito da sette pezzi differenti (5 triangoli, un
quadrato ed un parallelogramma) che possono
essere combinati per formare innumerevoli figure.
Simbologia del quadrato nella storia delle diverse culture
QUADRATO
Il quadrato è un
parallelogramma con
angoli, lati e diagonali
uguali fra loro. Le
diagonali inoltre si
intersecano
perpendicolarmente nel
loro punto medio e sono
bisettrici degli angoli.
CONDIZIONE DI
PERPENDICOLARITÀ
Due o più enti sono
perpendicolari se si
secano formando angoli
retti.
CONDIZIONI DI
PARALLELISMO
Due o più enti sono
paralleli se tutti i punti di
uno hanno la stessa
distanza minima dall'altro.
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La geometria euclidea
Regole costruttive in
architettura
Dimensionamento di edifici
Dimensionamento geometrico
della Tomba del Samanids a
Bukhara mediante rotazione
di punti significativi di una
griglia a maglie quadrate.
Schema planimetrico di un
palazzo arabo eseguito su un
foglio quadrettato
Dimensionamento di guglie
Interpreazione di Mathes
Roriczer del
proporzionamento ad
quadratum applicato per la
realizzazione delle guglie.
Simbologia del quadrato nella storia delle diverse culture
QUADRATO
Il quadrato è un
parallelogramma con
angoli, lati e diagonali
uguali fra loro. Le
diagonali inoltre si
intersecano
perpendicolarmente nel
loro punto medio e sono
bisettrici degli angoli.
CONDIZIONE DI
PERPENDICOLARITÀ
Due o più enti sono
perpendicolari se si
secano formando angoli
retti.
CONDIZIONI DI
PARALLELISMO
Due o più enti sono
paralleli se tutti i punti di
uno hanno la stessa
distanza minima dall'altro.
La geometria euclidea
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QUADRATO
Tracciamo il segmento
AB ed innalziamo la
perpendicolare dal suo
estremo A.
Centriamo il compasso in
A e con apertura AB
descriviamo un arco,
partendo dal punto B, che
interseca la
perpendicolare tracciata
nel punto 1.
Con la stessa apertura di
compasso e centro prima
nel punto 1 e poi nel
punto B, tracciamo due
brevi archi che si
intersecano nel punto 2.
Uniamo i punti A, B, 2 e 1
completando il quadrato.
Quadrato dato il lato AB
La geometria euclidea
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QUADRATO
Tracciamo il diametro 13
ed il suo perpendicolare
24. Uniamo i punti 1, 2, 3
e 4 ottenendo il quadrato
inscritto nella
circonferenza.
Quadrato dato il raggio
La geometria euclidea
Costruzione approssimata dell’ottagono
Suddivisione del lato del quadrato in quattro parti uguali
Suddivisione del lato del quadrato in diciassette parti uguali
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QUADRATO
Il quadrato è un
parallelogramma con
angoli, lati e diagonali
uguali fra loro. Le
diagonali inoltre si
intersecano
perpendicolarmente nel
loro punto medio e sono
bisettrici degli angoli.
CONDIZIONE DI
PERPENDICOLARITÀ
Due o più enti sono
perpendicolari se si
secano formando angoli
retti.
CONDIZIONI DI
PARALLELISMO
Due o più enti sono
paralleli se tutti i punti di
uno hanno la stessa
distanza minima dall'altro.
Geometria del quadrato
La geometria euclidea
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PENTAGONO
Il pentagono è un
poligono regolare con
cinque lati e cinque angoli
uguali.
L’ampiezza di ogni angolo
è di 108°.
Disegno matematico frattale
del DNA composto da dieci
schemi circolari (2x5), che
rappresenta due filamenti di
DNA fisico nella tipica
formazione a elica (pentagono
o pentacolo).
Pentagono regolare
La geometria euclidea
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PENTAGONO
Tracciamo il segmento AB.
Centriamo con il compasso negli
estremi A e B, e con apertura uguale
ad AB descriviamo due archi. Dal
punto 1 di intersezione tracciamo la
perpendicolare ad AB, trovandone
così il punto medio 2. Dall’estremo A
innalziamo un’altra perpendicolare
che interseca l’arco di centro A nel
punto 3. Con centro nel punto 2 e
apertura pari alla distanza 23
tracciamo un arco che interseca il
prolungamento del segmento AB nel
punto 4. Centriamo il compasso nel
punto B e con apertura B4
descriviamo un arco che determina il
punto 5 nell’intersezione con l’arco di
centro in A già tracciato e il punto 6
nell’intersezione con la
perpendicolare ad AB dal punto 2. Il
punto 7 si trova intersecando l’arco
di centro B con l’arco di centro 6 e
raggio AB. Uniamo i punti A, B, 7, 6
e 5 ottenendo il pentagono regolare.
Pentagono regolare dato il lato AB
La geometria euclidea
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PENTAGONO
Tracciati i diametri
perpendicolari AB e CD,
centriamo nel punto D
con apertura uguale al
raggio della circonferenza
data, determinando il
punto 1. Centrando poi
nel punto 1 con raggio
uguale alla distanza 12
intersechiamo il diametro
CD nel punto 3. B3 è la
misura da riportare sulla
circonferenza a partire dal
punto A, individuando
così i punti 4, 5, 6 e 7.
Uniamo i punti appena
trovati ottenendo il
pentagono regolare
inscritto nella
circonferenza.
Pentagono regolare dato il raggio
La geometria euclidea
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ESAGONO
L’esagono è un poligono
regolare con sei lati e sei
angoli uguali.
L’ampiezza degli angoli è
di 120°.
Esagono regolare
La geometria euclidea
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ESAGONO
Tracciamo il segmento
AB. Centriamo con il
compasso negli estremi A
e B e, con apertura AB,
descriviamo due archi
che si intersecano nel
punto O. Con centro nel
punto O ed apertura AB
tracciamo la
circonferenza
che circoscrive l’esagono
e incontra i due archi
tracciati nei punti 1 e 2.
Con la stessa apertura di
compasso e con centro in
1 e in 2 riportiamo sulla
circonferenza i punti 3 e
4. Uniamo i punti A, B, 1,
3, 4 e 2 ottenendo
l’esagono regolare.
Esagono regolare dato il lato AB
La geometria euclidea
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ESAGONO
Tracciamo il diametro A1.
Con apertura uguale al
raggio della circonferenza
e centro nel punto 1 la
intersechiamo nei punti 2
e 3 e con stessa apertura
e centro nel punto A la
intersechiamo nei punti 4
e 5. Uniamo i punti 1, 2,
4, A, 5 e 3 ottenendo
l’esagono regolare
inscritto nella
circonferenza.
Esagono regolare dato il raggio
La geometria euclidea
Suddivisione in parti uguali di un segmento AB
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La geometria euclidea
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REGOLA GENERALE
Tracciato il segmento AB uguale alla
misura del lato, centriamo in A e in
B, con raggio uguale ad AB,
trovando il punto O, centro della
circonferenza di uguale raggio che
costituisce la figura di partenza per
la costruzione. Sulla perpendicolare
del segmento AB nel suo punto
medio (passante quindi per O)
dividiamo in sei parti uguali il raggio
della circonferenza tracciata,
numerandole in progressione: O
(coincidente con il sesto punto di
divisione), 7, 8, 9, 10 e così di
seguito. Questi punti numerati sono i
centri delle circonferenze circoscritte
ai poligoni di corrispondente numero
di lati. Riportiamo quindi la misura
del lato sulle circonferenze per
determinare i vertici dei vari poligoni.
Proseguendo la partizione numerata
sulla perpendicolare di AB, uscendo
dalla circonferenza base, otterremo
tutti i poligoni con numero di lati
maggiore di dodici.
Regola generale per la costruzione di un poligono regolare dato il lato AB
La geometria euclidea
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REGOLA GENERALE
Tracciato il diametro AB,
dividiamolo in tante parti
uguali (nell’esempio 7) quanti
sono i lati del poligono
regolare da inscrivere nella
circonferenza. Intersechiamo il
prolungamento del diametro
perpendicolare CD con un
arco di centro B e raggio AB,
determinando il punto 8. La
retta passante per il punto 8 e
per il punto fisso 2 (qualsiasi
sia il numero di lati scelto)
incontra la circonferenza data
nel punto 9. la misura A9,
riportata sulla circonferenza,
determina i punti di
suddivisione cercati, unendo i
quali è possibile ottenere il
poligono regolare inscritto
nella circonferenza.
Regola generale per la costruzione di un poligono regolare dato il raggio
La geometria euclidea
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LE CONICHE
Con sezione conica si intende una curva piana luogo dei punti ottenibili intersecando la
superficie di un cono circolare retto con un piano.
A seconda della posizione del piano secante rispetto al cono circolare retto si possono
ottenere l’iperbole, la parabola, la circonferenza, l’ellisse o le cosiddette coniche degeneri (un
punto o due rette secanti).
Le coniche
La geometria euclidea
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ELLISSE
L’ellisse è una figura
geometrica che delimita
una porzione di piano con
una linea curva chiusa,
simmetrica rispetto a due
assi perpendicolari; detta
linea gode della proprietà
per cui la somma delle
distanze di ognuno dei
suoi punti da due punti
fissi detti fuochi è sempre
uguale all’asse maggiore.
Ellisse
La geometria euclidea
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ELLISSE
La costruzione dell’ellisse a partire dal cerchio sfruttando le
proprietà dell’omologia di ribaltamento permette di disegnare la
figura cercata per interpolazione di punti corrispondenti, individuati
dall’intersezione di rette corrispondenti (che pertanto si incontrano
sull’asse dell’omologia) e di raggi proiettanti da un centro all’infinito
(perpendicolari all’asse) passanti per i punti del cerchio.
OMOLOGIA
L’omologia è una corrispondenza biunivoca originata da due
proiezioni di un piano su un altro.
Affinché l’omologia sia definita è necessario conoscerne:
 l’asse;
 il centro;
 una coppia di punti corrispondenti o rette corrispondenti.
PROPRIETA’ DELL’OMOLOGIA
 rette corrispondenti si incontrano sull’asse;
 punti corrispondenti sono allineati con il centro.
Ellisse (trasformata omologica della circonferenza)
ELLISSE
L’ellisse è una figura
geometrica che delimita
una porzione di piano con
una linea curva chiusa,
simmetrica rispetto a due
assi perpendicolari; detta
linea gode della proprietà
per cui la somma delle
distanze di ognuno dei
suoi punti da due punti
fissi detti fuochi è sempre
uguale all’asse maggiore.
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La geometria euclidea
ELLISSE
Partendo da un cerchio di centro O e diametro
pari all’asse maggiore dell’ellisse, costruiamo su
un lato del quadrato in cui tale cerchio è inscritto
un rettangolo avente i lati di misura pari agli assi
dell’ellisse. Rintracciamo il corrispondente O’ di
O come punto di intersezione delle diagonali del
rettangolo. Tracciamo una retta passante per O
che interseca il cerchio nei punti 1 e 2.
Individuiamo la retta corrispondente, secondo
l’omologia di ribaltamento, unendo il punto di
intersezione sull’asse della retta 12 con il centro
O’ del rettangolo in cui sarà inscritto l’ellisse (tale
retta corrisponde ad una diagonale del
rettangolo, così come la retta 12 corrisponde alla
diagonale del quadrato). Mandando dal punto 1
e dal punto 2 i raggi proiettanti dal centro posto
all’infinito (pertanto perpendicolari all’asse)
individuiamo sulla corrispondente alla retta 12 i
punti 1’ e 2’ appartenenti all’ellisse. Tale
operazione può essere ripetuta per qualsiasi
coppia di punti appartenenti al cerchio, in modo
da individuare un numero di punti corrispondenti
sufficienti a tracciare l’ellisse cercato con
adeguata precisione.
Ellisse (trasformata omologica della circonferenza)
La geometria euclidea
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ELLISSE
L’ellisse è una figura
geometrica che delimita
una porzione di piano con
una linea curva chiusa,
simmetrica rispetto a due
assi perpendicolari; detta
linea gode della proprietà
per cui la somma delle
distanze di ognuno dei
suoi punti da due punti
fissi detti fuochi è sempre
uguale all’asse maggiore.
Ellisse (trasformata omologica della circonferenza)
La geometria euclidea
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PARABOLA
Data la direttrice AB ed il fuoco F, la parabola è il luogo geometrico dei punti del piano
equidistanti da AB e da F.
Santiago
Calatrava
Antonì Gaudì
Parabola
La geometria euclidea
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IPERBOLE
Dati i due fuochi F ed F’ e i due vertici V e V’, l’iperbole è il luogo geometrico dei punti del
piano per i quali la differenza in valore assoluto delle distanze da F e F’ è costante.
Iperbole
La geometria euclidea
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SPIRALE
La spirale è una curva paragonabile alla traiettoria descritta da un punto che ruota attorno ad
un punto fisso allontanandosene gradualmente; è quindi una figura aperta e la linea che la
costituisce ha lunghezza infinita.
Il passo della spirale è la misura di allontanamento dalla linea del centro dopo un giro di 360°.
Spirale
La geometria euclidea
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SPIRALE
Riportiamo la misura del
passo sulla retta r,
individuando i punti A e B.
Con centro nel punto 1,
medio di AB, e raggio A1,
tracciamo la
circonferenza di partenza
della spirale (occhio della
spirale). Centriamo il
compasso nell’estremo A
con apertura AB e, a
partire dal punto B,
descriviamo una
semicirconferenza che
interseca la retta nel
punto 2. Centriamo allora
nel punto 1 con raggio
pari alla distanza 12 e
tracciamo un’altra
semicirconferenza, che
intersecherà la retta nel
punto 3. Continuiamo la
costruzione utilizzando
sempre in modo alternato
i centri 1 e A.
Spirale dato il passo
La geometria euclidea
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SEZIONE AUREA
La sezione aurea emerge in natura come risultato della dinamica di alcuni sistemi.
È stato ritrovato, tra l'altro, nella struttura delle conchiglie, nella dimensione delle foglie, nella
distribuzione dei rami negli alberi, nella disposizione dei semi di girasole, e nel corpo umano.
Sezione aurea
La geometria euclidea
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SEZIONE AUREA
Nell'antichità, gli egizi e i
greci applicarono la
sezione aurea all'arte,
all’architettura e alla
filosofia. I greci
pensavano che il rapporto
aureo rappresentasse la
proporzione "ideale" tra
parti del corpo. La
sezione aurea fu perciò
usata come guida per
riprodurre accuratamente
il corpo umano nella
pittura e nella scultura.
Sezione aurea
La geometria euclidea
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Prof. Alessandro Merlo
SEZIONE AUREA
Per individuare la sezione aurea
del segmento AB innalziamo la
perpendicolare dall’estremo B.
Individuato il punto medio (m) di
AB, centriamo il compasso
nell’estremo B e con apertura
Bm tracciamo un arco che
individua il punto 1 sulla
perpendicolare da B.
Congiungiamo il punto 1 con
l’estremo A e con centro nel
punto 1 e stessa apertura di
compasso descriviamo un arco
che interseca il segmento A1 nel
punto 2. Riportiamo con il
compasso la misura A2 sul
segmento AB, determinandone
la sezione aurea A3. Il
segmento A3 rappresenta la
parte aurea di AB ed ha la
proprietà di dividere il segmento
AB secondo la proporzione
aurea: AB : A3 = A3 : 3B
Sezione aurea di un segmento AB
La geometria euclidea
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SPIRALE AUREA
La spirale aurea è un particolare tipo di spirale contenuta in un rettangolo aureo.
Il rettangolo aureo è un particolare tipo di rettangolo in cui il lato minore risulta essere la
sezione aurea di quello maggiore.
Spirale aurea come struttura di accrescimento
della conchiglia
Spirale aurea
La geometria euclidea
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Prof. Alessandro Merlo
SPIRALE AUREA
Costruiamo il rettangolo aureo
ABCD. Riportiamo sui lati AB e CD
la misura del lato BC, individuando i
punti 1 e 1’. L’unione dei punti 1 e 1’
individua all’interno del rettangolo di
partenza il quadrato A11’D di lato
pari al lato minore ed il rettangolo
1BC1’ più piccolo, simile al primo e
quindi a sua volta aureo. Centrando
il compasso nel punto 1 con
apertura 1A tracciamo il primo
quarto di spira, giungendo al punto
1’. Ripetendo le medesime
operazioni sul rettangolo aureo
1’CB1 possiamo tracciare il
secondo quarto di spira, centrando
il compasso nel punto 2’ con
apertura 2’1’. La costruzione della
spirale aurea può proseguire con lo
stesso criterio, avvicinandosi
gradualmente all’occhio della
spirale, mediante il tracciamento dei
successivi quarti di spira.
Spirale aurea
La geometria euclidea
Applicazioni geometriche
Corso di Disegno e Storia dell’arte
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