ISTITUZIONI DI MATEMATICA per SFP, a.a.2011/12
secondo semestre, geometria
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prima settimana 5-10 mar 2012, 4h
Introduzione, visione del filmato dell’artista spagnolo Cristobal Vila, dal titolo Inspirations , veritá
di una affermazione, dimostrazione e metodo assiomatico, gli elementi di Euclide, libro I: nozioni
comuni, assiomi, concetti primitivi,
√ definizioni. Segmenti e rette infinite. Costruzioni con riga e
compasso e numeri irrazionali : 2. Un problema non risolvibile con riga e compasso: la duplicazione del cubo, la quadratura del cerchio, la trisezione dell’angolo. Disegnare non é dimostrare,
il trasporto di un segmento su un altro, l’esistenza di un trangolo equilatero.
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seconda settimana 12-17 mar 2012, 4h
Cronologia matematica. Analisi delle 48 proposizioni del libro I, in particolare: l’ordine delle proposizioni scelto da Euclide, dimostrazione di Euclide del primo criterio di congruenza dei triangoli e
uso del principio di congruenza, dimostrazione del pons asinorum, terzo criterio di congruenza dei
triangoli e esistenza della bisettrice (notare che questa segue dal terzo criterio di congruenza dei
triangoli e, non si puó usare la bisettrice per dimostrare il pons asinorum, che da un punto di vista
logico precede il terzo criterio!), eistenza del punto medio, la diseguaglianza triangolare. Geometria
assoluta (proposiz. 1-28 libro I) e quinto postulato e formulazioni equivalenti. Quando non vale
il quinto postulato: la non unicitá delle ”rette” sulla sfera e la somma degli angoli interni di un
triangolo sulla sfera. Il libro secondo di Euclide e l’algebra geometrica: la proprietá distributiva
della somma sull’addizione, il quadrato di binomio, proposizione 14 libro II: risoluzione geometrica
dell’equazione x2 = ab (usa il quadrato di binomio e il teor di Pitagora)
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terza settimana 19-24 mar 2012, 2h
Le grandezze e la teoria delle proporzioni (cenni). Da Euclide a Hilbert: gli assiomi sottointesi:
la continuitá della retta e del cerchio, l’esistenza di un punto esterno alla retta, e del piano che
passa per tre punti, la mancanza dell’ordinamento- tutti i triangoli sono isosceli. I nuovi assiomi di
Hilbert suddivisi in 5 gruppi indipendenti, la coerenza della geometria non dipende piú dalla sua
aderenza al mondo fisico. L’assioma dlele parallele garantisce l’unicitá della retta passante per un
punto P e parallela ad una retta r data, che non contiene P . L’assioma di continuitá di Archimede
garantisce la corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e i numeri reali, e dunque che esista
il punto di intersezione tra due rette nel piano non parallele, o tra una retta e un cerchio.
Teorema di Pitagora, con dimostrazione. Ancora sui criteri di congruenza dei triangoli: perch non
ne esiste un quarto? i triangoli sono rigidi. Generalizzare il teorema di Pitagora con una costante
moltiplicativa, linee spezzate e poligoni.
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quarta settimana 26-31 mar 2012, 4h
Definizione di sottoinsieme convesso nel piano e nello spazio. I poligoni come intersezione di semipiani, poligoni regolari, apotema, perimetri e aree (dimostrazione area triangolo, parallelogramma,
e trapezio, poligono regolare), metodo di esaustione per la misura della circonferenza e dell’area
del cerchio. Relazioni di equivalenza in geometria: isopetrimetria ed equiestensione, i triangoli con
base fissata a vertice opposto mobile su una retta parallela alla base sono equiestesi. Didattica: il
geopiano e il gioco del tangram. Problemi di massimo e minimo: la legenda di Didone e le bolle di
sapone.
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Angoli interni di un poligono.
Isometrie, similitudini, omotetie.
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quinta settimana 2-5 aprile 2012, 4h
Isometrie, similitudini, omotetie, composizione di movimenti e struttura algebrica di gruppo, simmetrie.
Sfogliamo un libro di testo di una quarta primaria: intuizione o imprecisione?
Prova di esonero.
ESERCIZI
– Cosa significa l’affermazione ”una proposizione geometrica é vera”?
– Ha senso parlare di veritá di una dimostrazione, oppure di correttezza di una dimostrazione?
– Che cosa si intende con ”metodo assiomatico”?
– Che ruolo hanno le figure nella geometria Euclidea?
– Le costruzioni con riga e compasso sono dimostrazioni? commentare la risposta.
– Enunciare i 5 postulati e le 5 nozioni comuni secondo Euclide, evidenziandone la differenza
e illustrando brevemente il significato di alcuni.
– Cosa si intende per geometria assoluta? Euclide distingueva la geometria assoluta dalla sua
geometria?
– Analizzare diverse formulazioni equivalenti del V postulato.
– La proposizione ”E’ possibile costruire un quadrato su una data linea retta” ha senso in
geometria assoluta? Commentare la risposta.
– Dove risiedono le mancanze degli Elementi di Euclide e come sono state corrette da Hilbert?
– Quali sono i concetti primitivi, le relazioni binarie primitive e i gruppi di assiomi della geometria di Hilbert?
– Dimostrare l’esistenza del triangolo equilatero.
– Dimostrare il primo criterio di congruenza dei triangoli.
– Dimostrare che gli angoli alla base di un triagolo isoscele sono uguali.
– Dimostrare la formula del quadrato di binomio.
– Dimostrare il teorema di Pitagora, ed enunciare il teorema di Pitagora inverso.
– Che cosa si intende per algebra geometrica, produrre alcuni esmepi di calcolo algebrico secondo Euclide.
– Risolvere geometricamente l’equazione x2 = ab
– Che cosa dice la diseguaglianza triangolare?
– Enunciare i 3 criteri di congruenza dei triangoli, e collocare l’esistenza della bisettrice rispetto
ad essi.
– qual é la somma degli angoli interni di un triangolo su un piano o sulla sfera? Fare un esempio
di ”segmento” tra due punti su una sfera, evidenziando la differenza col caso euclideo.
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– Calcolare la lunghezza della diagonale del quadrato, dato il lato, e dell’altezza di un triangolo
equilatero, dato il lato.
– Calcolare e l’area del rombo, l’area del quadrato rispetto alla diagonale, l’area di un triangolo
equilatero rispetto all’altezza
– Dimostrare la formula degli angoli interni di un poligono, sia per induzione sia senza induzione.
– Dimostrare la formula dell’area del triangolo, del parallelogramma, del rombo, di un poligono
regolare. Da dove viene il cosidetto ”numero fisso” per l’area di un poligono regolare?
– Illustrare il metodo di esaustione per il calcolo della circonferenza e dell’area del cerchio
– Nel tangram con quadrato esterno di lato unitario, calcolare le lunghezze dei lati di ogni tan
(pezzo).
– Nel tangram con quadrato esterno di lato unitario, calcolare le lunghezze delle altezze dei
tan triangolari.
– Calcolare le ampiezze degli angoli dei tan.
– Di ogni tan calcolare la frazione di area rispetto al quadrato esterno.
– A paritá di perimetro e di numero di lati, che forma ha il poligono di area massima? Illustrare
la risposta con esempi grafici.
– A paritá di perimetro, qual’ é la figura piana di area massima?
– Illustrare il geopiano come strmento didattico.
– Dare la definizione di figure simili in Euclide (libro VI, def. 1), con esempi.
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