ISTITUZIONI DI MATEMATICA
SFP 2013/14
cfu 10, corso annuale
PAOLA SUPINO
Programma dettagliato previsionale
Elementi di logica proposizionale: dal linguaggio naturale al linguaggio logico (artificiale) riconoscimento di
enunciati atomici, connettivi vero-funzionali, inferenze corrette, modus ponens, modus tollens, tavole di
verità, diagrammi di Eulero, ragionamento diretto o per assurdo.
Elementi di logica dei predicati: quantificatori universali, sillogismi aristotelici.
Richiami di insiemistica: funzioni tra insiemi, dominio, codominio, immagine e preimmagine, funzioni
iniettive, suriettive, biiettive, composizione di funzioni, funzioni invertibili, esempi.
Alle origini della matematica: numeri per contare.
Che cosa sono i numeri naturali: origini e funzioni dei numeri naturali.
Uso dell’assiomatica in matematica, assiomi di Peano per i numeri naturali, principio di induzione e sue
applicazioni (i numeri quadrati e i numeri triangolari, suddivisione del piano in regioni mediante rette,
angoli interni di un poligono convesso, somma dei primi n numeri dispari, altri esempi), definizione ricorsiva
di somma di numeri naturali, dimostrazione ricorsiva delle proprietà della somma a partire dagli assiomi.
Gli insiemi dei segmenti iniziali In e contare come corrispondenza biunivoca. Insiemi a cardinalità finita e gli
insiemi infinito-numerabili. Un insieme é infinito se e solo se esiste un suo sotto insieme proprio che \'e in
corrispondenza biunivoca con esso. L'uso della parola "equipotente". Procedimento diagonale per costruire
corrispondenze biunivoche tra un insieme numerabile ed $\N$.
Relazione d’ordine tra insiemi e ordinamento dei numeri naturali.
Confronto additivo e moltiplicativo di numeri naturali: relazioni di ordine totale ( buon ordinamento) >= e
relazione di ordine parziale secondo divisibilità . Esempi.
La rappresentazione del numero naturale: le potenze e il sistema posizionale decimale attraverso il
Teorema di rappresentazione dei numeri naturali. Altre applicazioni del teorema: sistema posizionale in
base due e in altre basi.
Necessità nuove, strumenti nuovi: i numeri interi.
Relazioni di equivalenza e partizioni, esempi.
Costruzione dell'insieme dei numeri interi come classi di equivalenza di coppie ordinate di numeri naturali.
Strutture algebriche: gruppo, anello, dominio.
La divisione euclidea: teorema di esistenza e unicità, con dimostrazione. Massimo comun divisore e minimo
comune multiplo. L'algoritmo di Euclide per ricavare il MCD. Criteri di divisibilità tra numeri naturali.
L'algoritmo di Euclide per ricavare il MCD. L’identità di Bezout per il MCD come conseguenza dell'algoritmo
di Euclide.
La divisione euclidea e le classi resto modulo n (congruenze), con le operazioni di somma e prodotto
ereditate da Z.
Numeri primi, se un numero naturale primo divide un prodotto allora divide uno dei fattori. Teorema: i
numeri primi sono infiniti (con dimostrazione di Euclide, libro IX degli Elementi). Il crivello di Eratostene di
Cirene (III a.C.) per la ricerca di tutti i numeri primi inferiori a un numero dato .
Teorema fondamentale dell'aritmetica: i numeri primi come i mattoni per costruire tutti i numeri interi.
Altri teoremi sui numeri primi:
1. Un divisore di un numero naturale n é compreso tra 1 e parte intera di n/2.
2. Se n é un intero non primo (ovvero "`composto"') allora esiste un numero primo p tale che p divide n ed
è minore uguale della radice quadrata (con dimostrazione).
Alcune congetture famose sui numeri primi:
1. Congettura di Goldbach (Christian Goldbach, 1690 - 1764): ogni numero pari maggiore di 2 pu\'o essere
scritto come somma di due numeri primi.
2. Congettura dei numeri primi gemelli (Euclide, III sec. a.C.): esistono infiniti numeri primi p tale che anche
p + 2 sia un numero primo
3. Congettura di De Polignac (Alphonse de Polignac, 1817-1890): per ogni numero naturale k, esistono
infinite coppie di numeri primi consecutivi (nella successione dei numeri primi) che differiscano di 2k. Per k
= 1 si ritrova la congettura dei primi gemelli.
Teor(1966): Esistono infiniti numeri primi p tali che p + 2 é o un primo o un semiprimo (cioé il prodotto di
due primi).
Numeri razionali come classi di equivalenza, definizione formale, verifica che le operazioni sono definite in
modo tale che al cambiare di un elemento nella sua classe di equivalenza il risultato non cambia. I razionali
come estensione degli interi secondo il Principio di permanenza delle proprietà formali. I numeri razionali
costituiscono un campo. Annotazioni su questioni didattiche ed epistemologiche. Confronto tra numeri
razionali: la relazione d'ordine e il posizionamento sulla retta dei numeri. I numeri razionali sono densi. La
rappresentazione in base 10 e in base 3, cifre dopo la virgola e periodicità. Passaggio da rappresentazione
frazionaria a rappresentazione decimale e vice versa: motivazione all'algoritmo (la serie geometrica).
Dai razionali agli irrazionali. Introduzione ai numeri reali, definizione alla Dedekind e alla Cauchy,
costruzione assiomatica e assioma di Archimede.
Le origini della geometria Euclidea: il metodo assiomatico negli elementi di Euclide, libro I: nozioni comuni,
assiomi, concetti primitivi, definizioni. Segmenti e rette infinite.
Da Euclide a Hilbert: gli assiomi sottointesi: la continuità della retta e del cerchio, l'esistenza di un punto
esterno alla retta, e del piano che passa per tre punti, la mancanza dell'ordinamento- tutti i triangoli sono
isosceli. I nuovi assiomi di Hilbert suddivisi in 5 gruppi indipendenti, la coerenza della geometria non
dipende più dalla sua aderenza al mondo fisico. L'assioma delle parallele garantisce l'unicità della retta
passante per un punto pe parallela ad una retta data, che non contiene p. L'assioma di continuità di
Archimede garantisce la corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e i numeri reali, e dunque che
esista il punto di intersezione tra due rette nel piano non parallele, o tra una retta e un cerchio.
Disegnare non é dimostrare.
Analisi delle 48 proposizioni del libro I, in particolare: il trasporto di un segmento su un altro, angoli
opposti al vertice e rette (parallele) tagliate da trasversali, l'esistenza di un triangolo equilatero, l'ordine
delle proposizioni scelto da Euclide, dimostrazione di Euclide del primo criterio di congruenza dei triangoli
e uso del principio di congruenza, dimostrazione del pons asinorum, terzo criterio di congruenza dei
triangoli e esistenza della bisettrice (notare che questa segue dal terzo criterio di congruenza dei triangoli
e, non si può usare la bisettrice per dimostrare il pons asinorum, che da un punto di vista logico precede il
terzo criterio!), esistenza del punto medio, la diseguaglianza triangolare, secondo criterio di congruenza
triangoli, somma degli angoli interni di un triangolo e quinto postulato, (punti notevoli di un triangolo),
diseguaglianza triangolare. Teorema di Pitagora, con dimostrazione. Generalizzare il teorema di Pitagora
con una costante moltiplicativa, linee spezzate e poligoni.
Esplorazioni, congetture e dimostrazioni con il programma geogebra, punti notevoli di un triangolo
triangoli e quadrilateri.
Costruzioni con riga e compasso e numeri irrazionali : \sqrt{2}. Problemi non risolubili con riga e
compasso: la duplicazione del cubo, la quadratura del cerchio, la trisezione dell'angolo.
Quinto postulato e formulazioni equivalenti. Quando non vale il quinto postulato: aspetti intuitivi della
geometria sferica a confronto con la geometria euclidea, la non unicità delle "rette" sulla sfera e la somma
degli angoli interni di un triangolo sulla sfera.
Il libro secondo di Euclide e l'algebra geometrica: la proprietà distributiva della somma sull'addizione, il
quadrato di binomio, proposizione 14 libro II: risoluzione geometrica dell'equazione x^2=ab (usa il quadrato
di binomio e il teor. di Pitagora).
Definizione di sottoinsieme convesso nel piano e nello spazio. I poligoni come intersezione di semipiani,
angoli interni di un poligono, poligoni regolari, apotema, perimetri e aree (dimostrazione area triangolo,
parallelogramma, e trapezio, poligono regolare), metodo di esaustione per la misura della circonferenza e
dell'area del cerchio.
Relazioni di equivalenza in geometria: isopetrimetria ed equiestensione, i triangoli con base fissata a vertice
opposto mobile su una retta parallela alla base sono equiestesi. Problemi di massimo e minimo: la
leggenda di Didone e le bolle di sapone.
Isometrie, similitudini, omotetie, composizione di movimenti e struttura algebrica di gruppo, simmetrie.
Cenni alla geometria dello spazio: solidi, solidi regolari, volumi.
Cenni di geometria analitica: punti e rette nel piano, equazioni, appartenenza punto retta, equazione della
circonferenza. Passaggio a dimensione superiore.
