Identità trigonometriche fondamentali

csc α =
1
sin α
Identità trigonometriche fondamentali
1
1
sin α
sec α =
cot α =
tan α =
cos α
tan α
cos α
cos 2 α + sin 2 α = 1
cot α =
cos α
sin α
Verifica delle identità trigonometriche
Combinando tra loro le identità trigonometriche fondamentali si possono verificare innumerevoli altre
relazioni che, ovviamente, non è necessario memorizzare: infatti, qualora si renda necessario utilizzarne
una, si potrà sempre ricavarla a partire da quelle fondamentali.
benché non esista una procedura universale, con passaggi ben definiti, per verificare se una certa
espressione trigonometrica è un'identità, è possibile per lo meno fornire alcune utili indicazioni che si
potranno seguire all'occorrenza. La più importante, forse, riguarda quello che non si deve fare: non si deve
trattare un'espressione trigonometrica come se fosse un'identità fino a che non si è dimostrato che lo è
veramente. La maniera più semplice per evitare i tranelli di qualsiasi genere consiste nel lavorare con i due
membri dell'equazione separatamente.
Esempio
sinx = -sinx
non è un'identità. Ma se si elevano entrambi i membri al quadrato si ottiene
sin2 x = sin2 x
che è un'identità.
Consiglio 1. Si consideri un membro dell'uguaglianza e si cerchi di renderlo uguale all'altro mediante una
serie di trasformazioni successive. Generalmente conviene partire dal membro più complicato e cercare di
renderlo uguale a quello più semplice.
Consiglio 2. Se le operazioni suggerite nel consiglio 1 non permettono di raggiungere un risultato
soddisfacente, si cerca di semplificare ciascun membro dell'uguaglianza separatamente. Se si riesce a ridurre
entrambe le espressioni ad una medesima forma, si può concludere che l'uguaglianza originale è un'identità.
Consiglio 3. Mettendo in pratica i consigli 1 e 2 si applicano le seguenti regole:
(a ) si eseguono le addizioni o sottrazioni di frazioni indicate. (Naturalmente si calcola prima il minimo
denominato.)
(b) si eseguono le moltiplicazioni o le divisioni indicate.
(c) si semplificano le frazioni dividendone numeratore e denominatore per gli stessi fattori comuni.
(d) si controlla se la scomposizione in fattori può risultare utile per conseguire lo scopo prefissato.
(e) si prova a moltiplicare numeratore e denominatore di una frazione per una medesima espressione.
(f) si prova a riscrivere tutte le espressioni trigonometriche in funzione di seno e coseno.
Pagina 134, Trigonometria Mustafà A. Munem, David j. Foulis Zanichelli
Esercizio n14 pag137
Esercizio n16
cot 2 α − cos 2 α = cot 2 α cos 2 α
tan 4 α − sec 4 α = 1 − 2 sec 2 α
cos 2 α
cos 2 α
2
α
−
cos
=
cos 2 α
sin 2 α
sin 2 α
sin α
1
1
−
= 1− 2
4
4
cos α cos α
cos 2 α
4
cos 2 α − cos 2 α sin 2 α cos 4 α
=
sin 2 α
sin 2 α
sin 4 α − 1 cos 2 α − 2
=
cos 4 α
cos 2 α
cos 2 α (1 − sin 2 α ) cos 4 α
=
sin 2 α
sin 2 α
(sin α − 1)(sin α + 1) cos α − 2 ⋅ (1)
=
cos 4 α
cos 2 α
2
2
2
− cos α (sin α + 1) cos α − 2 ⋅ (sin α + cos α )
=
cos 4 α
cos 2 α
2
2
2
2
2
− (sin 2 α + 1) cos 2 α − 2 sin 2 α − 2 cos 2 α )
=
cos 2 α
cos 2 α
− (sin 2 α + sin 2 α + cos 2 α ) − 2 sin 2 α − cos 2 α
=
cos 2 α
cos 2 α
− (2 sin 2 α + cos 2 α ) − 2 sin 2 α − cos 2 α
=
cos 2 α
cos 2 α
− 2 sin 2 α − cos 2 α ) − 2 sin 2 α − cos 2 α
=
cos 2 α
cos 2 α
cos 2 α (cos 2 α ) cos 4 α
=
sin 2 α
sin 2 α
cos 4 α cos 4 α
=
sin 2 α sin 2 α