Formule di prostaferesi

Formule di prostaferesi
Marco Robutti
17 aprile 2014
Introduzione
In trigonometria, le formule di prostaferesi permettono di trasformare somme e
differenze di funzioni trigonometriche di due angoli in un prodotto di funzioni
trigonometriche.
La parola prostaferesi deriva dalla giustapposizione di due parole di origine
greca, prosthesis (πρόσvθεσvις) e aphairesis (ἀφαίρεσvις), che significano rispettivamente somma e sottrazione.
Le formule di prostaferesi furono definite, nella forma attualmente nota, da
Johann Werner agli inizi del XVI secolo; tuttavia è probabile che fossero già,
almeno parizialmente, note in precedenza.
Questa categoria di formule trigonometriche viene utilizzata poiché, in genere,
conduce ad una semplificazione dell’espressione trigonometrica studiata. Sono
in particolare utili nella descrizione dei battimenti.
Le formule inverse delle formule di prostaferesi si chiamano formule di Werner,
su cui si basa l’algoritmo di prostaferesi.
Prima formula di prostaferesi
sin (α) + sin (β) = 2 sin
α+β
2
cos
α−β
2
(1)
Dimostrazione
Riscrivendo i due seni nella loro forma esponenziale, otteniamo:
sin (α) + sin (β)
=
=
1 ıα
1 ıβ
e − e−ıα +
e − e−ıβ =
2ı
2ı
1 ıα
−ıα
ıβ
e −e
+ e − e−ıβ
2ı
(2)
L’obiettivo delle formule di prostaferesi, come spiegato nell’introduzione, è quello
di “di trasformare somme e differenze di funzioni trigonometriche di due angoli in un prodotto di funzioni trigonometriche”. Se ora guardiamo il risultato
1
ottenuto nell’espressione (2), notiamo che prima della parentesi compare un
1
. Se consideriamo la (2) come il prodotto di due funzioni trigonocoefficiente 2ı
metriche, ci si può rendere subito conto del fatto che ciò è possibile solamente se
le due funzioni coinvolte nel prodotto sono una coppia seno-coseno, ma non due
funzioni trigonometriche uguali (infatti se avessimo due funzioni trigonometriche uguali otterremmo come, coefficiente davanti alla parentesi quadra, ± 12 ;
provare per credere...). Pertanto possiamo riscrivere la relazione iniziale nel
seguente modo, come il prodotto tra una funzione seno e una funzione coseno:
sin (α) + sin (β)
= A sin (x) cos (y) =
A ıx
e − e−ıx eıy + e−ıy =
=
2 × 2ı
i
A h ı(x+y)
=
e
− e−ı(x+y) + eı(x−y) − e−ı(x−y)
4ı
(3)
Eguagliando la (3) alla (2) otteniamo il seguente sistema:

A
1

 4ı = 2ı
x+y =α


x−y =β
Risolvendo il sistema otteniamo:


A = 2
x = α+β
2


y = α−β
2
Pertanto:
sin (α) + sin (β)
A sin (x) cos (y) =
α+β
α−β
= 2 sin
cos
2
2
=
Seconda formula di prostaferesi
sin (α) − sin (β) = 2 cos
α+β
2
sin
α−β
2
Dimostrazione
Riscrivendo i due seni nella loro forma esponenziale, otteniamo:
2
(4)
sin (α) − sin (β)
=
=
1 ıα
1 ıβ
e − e−ıα −
e − e−ıβ =
2ı
2ı
1 ıα
−ıα
ıβ
e −e
− e + e−ıβ
2ı
(5)
L’obiettivo delle formule di prostaferesi, come spiegato nell’introduzione, è quello
di “di trasformare somme e differenze di funzioni trigonometriche di due angoli in
un prodotto di funzioni trigonometriche”. Se ora guardiamo il risultato ottenuto
nell’espressione (5), notiamo che prima della parentesi compare un coefficiente
1
2ı . Se consideriamo la (5) come il prodotto di due funzioni trigonometriche, ci
si può rendere subito conto del fatto che ciò è possibile solamente se le due funzioni coinvolte nel prodotto sono una coppia seno-coseno, ma non due funzioni
trigonometriche uguali (infatti se avessimo due funzioni trigonometriche uguali
otterremmo, come coefficiente davanti alla parentesi quadra, ± 21 ; provare per
credere...). Pertanto possiamo riscrivere la relazione iniziale nel seguente modo,
come il prodotto tra una funzione seno e una funzione coseno:
sin (α) − sin (β)
A sin (x) cos (y) =
A ıx
=
e − e−ıx eıy + e−ıy =
2 × 2ı
i
A h ı(x+y)
=
e
− e−ı(x+y) + eı(x−y) − e−ı(x−y)
4ı
=
Eguagliando la (6) alla (5) otteniamo il seguente sistema:

A
1

 4ı = 2ı
x+y =α


− (x − y) = β
Risolvendo il sistema otteniamo:


A = 2
x = α−β
2


y = α+β
2
Pertanto:
sin (α) − sin (β)
=
=
A sin (x) cos (y) =
α+β
α−β
2 cos
sin
2
2
3
(6)
Terza formula di prostaferesi
cos (α) + cos (β) = 2 cos
α+β
2
cos
α−β
2
(7)
Dimostrazione
Riscrivendo i due seni nella loro forma esponenziale, otteniamo:
cos (α) + cos (β)
=
=
1 ıβ
1 ıα
e + e−ıα +
e + e−ıβ =
2
2
1 ıα
e + e−ıα + eıβ + e−ıβ
2
(8)
L’obiettivo delle formule di prostaferesi, come spiegato nell’introduzione, è quello
di “di trasformare somme e differenze di funzioni trigonometriche di due angoli in
un prodotto di funzioni trigonometriche”. Se ora guardiamo il risultato ottenuto
nell’espressione (8), notiamo che prima della parentesi compare un coefficiente
1
2 . Se consideriamo la (8) come il prodotto di due funzioni trigonometriche, ci
si può rendere subito conto del fatto che ciò è possibile solamente se le due funzioni coinvolte nel prodotto sono una coppia seno-seno o coseno-coseno, ma non
due funzioni trigonometriche di diverso tipo (infatti se avessimo due funzioni
trigonometriche di diverso tipo otterremmo come coefficiente davanti alla par1
entesi quadra± 2i
; provare per credere...). Per determinare quale sia la coppia
di funzioni coinvolte nel prodotto, basta notare che nell’equazione (8) compare
+ 21 ; pertanto possiamo supporre di avere a che fare con il prodotto di due coseni
(se si trattasse del prodotto di due seni otterremmo − 21 , a causa del termine
ı2 ...). Pertanto possiamo scrivere:
cos (α) + cos (β)
A cos (x) cos (y) =
A ıx
=
e + e−ıx eıy + e−ıy =
2×2
i
A h ı(x+y)
=
e
+ e−ı(x+y) + eı(x−y) + e−ı(x−y)
4
=
Eguagliando la (9) alla (8) otteniamo il seguente sistema:

A
1

4 = 2
x+y =α


x−y =β
Risolvendo il sistema otteniamo:
4
(9)


A = 2
x = α+β
2


y = α−β
2
Pertanto:
cos (α) + cos (β)
=
=
A cos (x) cos (y) =
α−β
α+β
cos
2 cos
2
2
Quarta formula di prostaferesi
cos (α) − cos (β) = 2 sin
α+β
2
sin
α−β
2
(10)
Dimostrazione
Riscrivendo i due seni nella loro forma esponenziale, otteniamo:
cos (α) − cos (β)
=
=
1 ıβ
1 ıα
e + e−ıα −
e + e−ıβ =
2
2
1 ıα
−ıα
ıβ
e +e
− e − e−ıβ
2
(11)
L’obiettivo delle formule di prostaferesi, come spiegato nell’introduzione, è quello
di “di trasformare somme e differenze di funzioni trigonometriche di due angoli in
un prodotto di funzioni trigonometriche”. Se ora guardiamo il risultato ottenuto
nell’espressione (11), notiamo che prima della parentesi compare un coefficiente
1
2 . Se consideriamo la (11) come il prodotto di due funzioni trigonometriche,
ci si può rendere subito conto del fatto che ciò è possibile solamente se le due
funzioni coinvolte nel prodotto sono una coppia seno-seno o coseno-coseno, ma
non due funzioni trigonometriche di diverso tipo (infatti se avessimo due funzioni trigonometriche di diverso tipo otterremmo come coefficiente davanti alla
1
parentesi quadra± 2i
; provare per credere...). Per determinare quale sia la coppia di funzioni coinvolte nel prodotto, in questo caso non possiamo fare una
scelta sicura, in quanto a prima vista andrebbero bene sia un prodotto di seni
quanto un prodotto di coseni (entrambi ci danno il coefficiente ± 21 a meno del
segno...). Tuttavia, seguendo un semplice ragionamento, possiamo supporre
che se il prodotto tra due coseni è il risultato dimostrato in precedenza per la
terza formula di prostaferesi, non potrà esserlo anche in questo caso (altrimenti
staremmo affermando che esiste “qualcosa”che è contemporaneamente uguale
5
alla somma tra due coseni e alla differenza tra due coseni: semplicemente impossibile!). Pertanto possiamo tranquillamente supporre di avere a che fare con
un prodotto di seni1 :
cos (α) − cos (β)
=
=
=
=
A sin (x) sin (y) =
A ıx
e − e−ıx eıy − e−ıy =
2ı × 2ı
i
A h ı(x+y)
e
−
+ e−ı(x+y) − eı(x−y) − e−ı(x−y)
4
i
A h ı(x+y)
−e
− e−ı(x+y) + eı(x−y) + e−ı(x−y) (12)
4
Eguagliando la (12) alla (11) otteniamo il seguente sistema:

A
1

4 = 2
x−y =α


x+y =β
Risolvendo il sistema otteniamo:


A = 2
x = α+β
2


y = α−β
2
Pertanto:
cos (α) − cos (β)
=
=
A sin (x) sin (y) =
α+β
α−β
2 sin
sin
2
2
1 Nel caso in cui avessimo supposto che si trattasse di una coppia di coseni, ci saremmo ben
presto accorti dell’impossibilità di ciò nel momento in cui avremmo dovuto eguagliare la (12)
alla (11), in quanto non avremmo trovato alcuna corrispondenza tra i segni dei vari termini.
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