Formule di Werner

Formule di Werner
Marco Robutti
17 aprile 2014
Introduzione
In trigonometria, le formule di Werner permettono di trasformare prodotti di
funzioni trigonometriche di due angoli in somme e differenze di funzioni trigonometriche.
Le formule prendono il nome dal matematico tedesco Johann Werner che le
definì agli inizi del XVI secolo.
Questa categoria di formule trigonometriche è raramente utilizzata nella
risoluzione di equazioni trigonometriche, poiché, in genere, porta ad una formulazione più complessa dell’espressione matematica.
Il valore di queste formule risiede, tuttavia, nel ruolo fondamentale che esse
rivestono nell’algoritmo di prostaferesi che storicamente è stato uno degli strumenti che hanno permesso ad astronomi e naviganti di semplificare l’esecuzione
manuale di moltiplicazioni.
Inoltre, le formule di Werner sono usate in radiotecnica per descrivere la formazione delle bande laterali dei segnali in modulazione di ampiezza.
Le formule inverse delle formule di Werner si chiamano formule di prostaferesi.
Prima formula di Werner
sin (α) cos (β) =
1
[sin (α + β) + sin (α − β)]
2
Dimostrazione
Riscrivendo il seno e il coseno nella loro forma esponenziale, otteniamo:
sin (α) cos (β)
=
=
=
1 ıβ
1 ıα
e − e−ıα
e + e−ıβ =
2ı
2
ıβ
1
1 ıα
−ıα
×
e −e
e + e−ıβ =
2 2ı
i
1
1 h ı(α+β)
×
e
+ eı(α−β) − e−ı(α−β) − e−ı(α+β) =
2 2ı
1
i
i
1 h ı(α−β)
1 1 h ı(α+β)
=
e
− e−ı(α+β) +
e
− e−ı(α−β)
2 2ı
2ı
1
[sin (α + β) + sin (α − β)]
2
=
=
Seconda formula di Werner
1
2
cos (α) cos (β) =
[cos (α + β) + cos (α − β)]
Dimostrazione
Riscrivendo i due coseni nella loro forma esponenziale, otteniamo:
cos (α) cos (β)
=
=
=
=
=
1 ıβ
1 ıα
e + e−ıα
e + e−ıβ =
2
2
1 1 ıα
×
e + e−ıα eıβ + e−ıβ =
2 2
i
1 1 h ı(α+β)
×
e
+ eı(α−β) + e−ı(α−β) + e−ı(α+β) =
2 2
i 1h
i
1 1 h ı(α+β)
−ı(α+β)
ı(α−β)
−ı(α−β)
e
+e
e
+e
+
=
2 2
2
1
[cos (α + β) + cos (α − β)]
2
Terza formula di Werner
1
2
sin (α) sin (β) =
[cos (α − β) − cos (α + β)]
Dimostrazione
Riscrivendo i due seni nella loro forma esponenziale, otteniamo:
sin (α) sin (β)
=
=
=
=
=
=
1 ıβ
1 ıα
e − e−ıα
e − e−ıβ =
2ı
2ı
1 ıα
1
×
e − e−ıα eıβ − e−ıβ =
2ı 2ı
i
1
1 h ı(α+β)
×
e
− eı(α−β) − e−ı(α−β) + e−ı(α+β) =
2ı 2ı
i 1h
i
ı2 1 h ı(α+β)
e
+ e−ı(α+β) −
eı(α−β) + e−ı(α−β)
=
2 2
2
i 1h
i
1 1 h ı(α+β)
e
+ e−ı(α+β) −
eı(α−β) + e−ı(α−β)
=
−
2 2
2
1
[cos (α − β) − cos (α + β)]
2
2