Novembre 2016 - IV settimana
L. Seta
3 dicembre 2016
1
Definire la derivata
1.1
Variazione di una quantità
La derivata è la nozione fondamentale che ci serve per descrivere la rapidità di cambiamento di
una quantità y. In generale si suppone che la quantità y sia funzione di x, ovvero che si ha a
che fare con y = f (x), e quindi che interessa capire quanto rapidamente varia y al variare di x.
Bisogna quindi capire le relazioni tra le seguenti quantità:
• Variazione di x: la si indica in generale con ∆x = x1 − x0 ;
• Variazione di y = f (x): la si indica con ∆y = f (x1 ) − f (x0 );
• Rapporto incrementale, ovvero il rapporto
∆y
f (x1 ) − f (x0 )
=
;
∆x
x1 − x0
• Retta tangente al grafico della funzione, è la retta a cui tende la secante per i punti
P (x0 , f (x0 )) e Q (x1 , f (x1 )) quando Q → P , ovvero quando x1 → x0 ;
• Derivata della funzione in P : è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione
in P , e si indica con f 0 (P ), ovvero f 0 (x0 );
• Equazione della retta tangente, si ottiene quindi che la retta tangente all grafico della
funzione f (x) nel punto di coordinate P (x0 , f (x0 )) ha equazione:
y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ).
• Limite del rapporto incrementale: Se x1 = x0 + h si ha allora che ∆x = x1 − x0 = h, e
∆x
f (x0 + h) − f (x0 )
∆y = f (x0 + h) − f (x0 ), Il rapporto incrementale è quindi pari a:
=
.
∆y
h
Il limite va fatto per h → 0, e se questo limite esiste il suo valore è esattamente il coefficiente
angolare della retta tangente, ovvero si ha che:
f (x0 + h) − f (x0 )
= f 0 (x0 );
h→0
h
lim
• Tasso di variazione medio non è altro che il rapporto incrementale!
• Tasso di variazione istantaneo è la derivata!
1
1.2
Significato grafico della derivata
• Cosa vuol dire che la derivata in un punto è uguale a zero?
• Variazione della tangente al grafico al variare di x.
• La funzione derivata f 0 (x).
• Derivata positiva = curva crescente.
• Derivata negativa = curva decrescente.
• Derivata e grafico della funzione.
1.3
Semplici derivate
• Utilizzando il rapporto incrementale:
funzione
f (x) = ax + b;
f (x) = x2 ;
f (x) = x3 ;
derivata
f 0 (x) = a.
f 0 (x) = 2x.
f 0 (x) = 3x2 .
• Derivata della potenza:
f (x) = xα ,
• Per α = 1/2 si ha:
f (x) =
1.4
√
f 0 (x) = αxα−1 ,
∀α ∈ R.
1
f 0 (x) = √ .
2 x
x,
Operazioni con le derivate
• Addizione e sottrazione: Dx (A · f (x) ± B · g(x)) = A · Dx (f (x)) ± B · Dx (g(x)), con A
e B costanti.
• Prodotto: Dx (f (x) · g(x)) = Dx (f (x)) · g(x) + f (x) · Dx (g(x)).
Dx (f (x)) · g(x) − f (x) · Dx (g(x))
f (x)
=
, con g(x) 6= 0.
• Rapporto: Dx
g(x)
g 2 (x)
• Funzioni composte: Dx (f (g(x))) = Dg (f (g(x))) Dx (g(x))
1.5
Derivabilità e continuità
• Punti singolari per la derivata: punti angolosi e punti di cuspide;
• Punti stazionati, dove la derivata è zero;
• Derivabiltà =⇒ Continuità, ma non il viceversa (avere in mente degli esempi);
• Definizione di funzione crescente e funzione strettamente crescente su un intervallo;
2
• Definizione di funzione decrescente e funzione strettamente decrescente su un intervallo;
T
• f 0 (x) > 0 con x ∈ I Df =⇒ f strettamente crescente in I;
T
• f 0 (x) < 0 con x ∈ I Df =⇒ f strettamente decrescente in I.
1.6
Derivate parziali e derivazione implicita
• Funzione di due variabili. Se abbiamo che una variabile z sia funzione di più variabili,
ad esempio di due variabili (x, y), scriviamo z = F (x, y).
• Il grafico di z = F (x, y) sarà una superficie nello spazio, ovvero l’insieme dei punti dello
spazio di coordinate (x, y, F (x, y)), con (x, y) ∈ DF ⊆ R2 .
• Se aprtire dal punto di coordinate (x̄, ȳ) si mantiene costante il valore di ȳ e si considera la
variazione di F al variare di x, si ottiene il rapporto:
F (x̄ + h, ȳ) − F (x̄, ȳ)
,
h
se esiste il limite di questo rapporto per h → 0, allora il valore di questo limite si dice
derivata parziale rispetto ad x della funzione F (x, y), nel punto (x̄, ȳ), e si indica:
Fx (x̄, ȳ), o anche
∂F
(x̄, ȳ).
∂x
• In modo analogo si definisce la derivata parziale rispetto ad y:
F (x̄, ȳ + h) − F (x̄, ȳ)
.
h→0
h
Fy (x̄, ȳ) = lim
• Una funzione del tipo F (x, y) = c si dice che definisce implicitamente una curva nel
piano (x, y). Possiamo supporre che per alcuni valori della x sia possibile esplicitare la y come funzione della x, ossia ottenere y = g(x). Senza però fare questo calcolo possiamo cercare
di ottenere il valore della derivata di y = g(x), ovvero g 0 (x) direttamente dall’espressione in
forma implicita. Si ha infatti F (x, g(x)) = c e derivando rispetto ad x si ottiene:
Dx F (x, g(x)) = 0 ⇒ Fx + Fg g 0 (x) = 0 ⇒ g 0 (x) = −
2
Fx
.
Fg
La prossima settimana
La settimana sarà dedicata alle molteplici applicazione delle derivate, le principali sono:
• Approssimazioni polinomiali e sviluppi in serie;
• Calcolo dei limiti con la regola di de l’Hôpital;
• Ottimizzazione in una variabile;
• Ricerca dei massimi e dei minimi locali e dei flessi;
• Grafico delle funzioni.
3
3
Suggerimenti, consigli e lavori di gruppo
• (Questo lavoro può essere fatto in gruppo) Rivedere l’equazione della retta ed il significato del coefficiente angolare. Quindi provare a trovare il valore del coefficiente angolare
della retta tangente al grafico di alcuni semplici funzioni in diversi punti. Aiutarsi con una
carte quadrettata e disegnare con cura la curva e le rette tangenti nei vari punti.
• Rivedere il significato di tangente goniometrica di un angolo. Ripetere le funzioni goniometriche e i loro grafici: sin x, cos x, tan x, cot x,. Rivedere anche il grafico delle funzioni
inverse: arcsin x, arccos x, arctan x, ecc.
• (Questo lavoro può essere fatto in gruppo) Scrivere l’equazione della retta tangente al
grafico di una funzione f (x) in un punto x0 . Fare degli esempi con alcune funzioni.
• (Questo lavoro può essere fatto in gruppo) La funzione derivata non è detto che sia
definita in tutti i punti del dominio di f , ma può essere definita solo in un suo sottoinsieme.
Fare qualche esempio di funzioni in cui il dominio della derivata non è uguale al Df .
• (Questo lavoro può essere fatto in gruppo) Fare pratica nel disegnare funzione che
pur essendo continue hanno derivata discontinua in alcuni punti: punti angolosi o punti di
cuspide.
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Esercitiamoci
• Esercizio 1. Data la funzione f (x) = |x| trovarne la derivata prima, stabilire per quali
valori di x la funzione derivata è definita.
• Esercizio 2. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:
f (x) = xn log(x), f (x) =
1 + ex
log(x)
, f (x) =
, f (x) = x2 2x , f (x) = 2x log2 (x).
x
1−e
xn
• Esercizio 3. Data la regola di derivazione Dx (log g(x)) =
g 0 (x)
dare 3 esempi della sua
g(x)
applicazione.
• Esercizio 4. A cosa è uguale Dx (loga g(x))?
• Esercizio 5. Data la regola di derivazione Dx ef (x) = f 0 (x)ef (x) , dare 3 esempi della sua
applicazione.
• Esercizio 6. A cosa è uguale Dx af (x) ?
√
• Esercizio 7. Dire per quali valori di x è definita la funzione f (x) = log x. E’ derivabile
in tutti questi punti? Se esistono punti Df in cui non è derivabile, quanto vale il limite del
rapporto incrementale in questi punti?
√ √x
• Esercizio 8. Calcolare la derivata di f (x) =
x .
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