EQUAZIONI ESPONENZIALI

Equazioni esponenziali pag. 1
EQUAZIONI ESPONENZIALI
Le equazioni esponenziali sono equazioni in cui l’incognita x si trova ad esponente. Un primo metodo per
cercare di risolvere un’equazione esponenziale è quello di cercare di ricondurla alla forma:
a f (x ) = a g (x )
•
In questa forma le espressioni ad esponente f ( x ) e g ( x ) sono espressioni algebriche in x
(polinomi, frazioni, numeri…)
•
Notare che in questa equazione la base della potenza è la stessa in entrambi i membri
dell’equazione; dato che le potenze hanno lo stesso valore ed hanno uguale base devono avere
anche uguale esponente. L’equazione si risolverà quindi uguagliando gli esponenti
a f (x ) = a g (x )
si uguagliano gli esponenti ottenendo
f (x ) = g (x )
L’equazione così ottenuta è algebrica e quindi si risolve con i metodi già noti. Vediamo qui sotto
tre esempi in cui si usa questo metodo.
………………………………………………………………………………………………………………..
a)
52 x +1 =
1
25
diventa
52 x +1 = 5−2
uguagliamo gli esponenti:
2 x + 1 = −2
3
2
………………………………………………………………………………………………………………..
da cui:
b)
2 x = −3
e quindi
x=−
1
sono tutte potenze di 2 per cui trasformiamo:
16
applichiamo le proprietà delle potenze ottenendo: 215 x ⋅ 2 2 ( x + 2 ) = 2 −4
85 x ⋅ 4 x + 2 =
e quindi
(2 ) ⋅ (2 )
3 5x
2 x+2
= 2 −4
215 x +2 ( x +2 ) = 2 −4
uguagliamo gli esponenti:
15 x + 2( x + 2 ) = −4
8
17
………………………………………………………………………………………………………………..
da cui: 15 x + 2 x + 4 = −4
c)
32 x ⋅ 3 ⋅ 27 2 x −1
=1
9 4 x −1 ⋅ 81x
→
17 x = −8
→
sono tutte potenze di 3 per cui trasformiamo:
applichiamo le proprietà delle potenze♣ ottenendo:
uguagliamo gli esponenti:
da cui:
x=−
32 x ⋅ 3 ⋅ 33(2 x −1)
= 30
32 (4 x −1) ⋅ 34 x
32 x +1+3(2 x −1)− 2 (4 x −1)−4 x = 30
2 x + 1 + 3(2 x − 1) − 2(4 x − 1) − 4 x = 0
2 x + 1 + 6x − 3 − 8x + 2 − 4 x = 0
→
− 4x = 0
→
x=0
………………………………………………………………………………………………………………..
♣
ricordare che nel caso di divisioni tra potenze di uguale base gli esponenti vanno sottratti
Equazioni esponenziali pag. 2
ALTRI ESEMPI RISOLTI
1.
16
x
2 x +1
⋅4 x
= 64
x −1
sono tutte potenze di 4 che trasformiamo: 4
2 x+
2 x +1
x
da cui:
4
da cui:
−x+
= 4 3 x −3
2x + 1
+3=0
x
2 x +1
⋅4 x
2x +
uguagliamo gli esponenti:
= 4 3( x −1)
2x + 1
= 3x − 3
x
− x 2 + 2 x + 1 + 3x
=0
x
→
C.E.
x≠0
− x 2 + 5x + 1 = 0
semplificato il denominatore e ordinando:
x1,2 =
2x
− 5 ± 25 + 4 − 5 ± 29 5 ∓ 29
=
=
−2
−2
2
x1 =
5 − 29
2
x2 =
5 + 29
2
entrambe le soluzioni sono accettabili.
………………………………………………………………………………………………………………..
x 5
2.
x −3
11 ⋅ 121
x −2
11 x +1
da cui:
sono tutte potenze♥ di 11 che trasformiamo:
=1
11
x
2 ( x −3)
⋅ 11 5
x −2
11 x +1
uguagliamo gli esponenti:
0
→
= 11
x+
11
x+
2 ( x −3) x − 2
−
x +1
5
x −3
⋅ 121 5
x −2
11 x +1
= 110
= 110
2x − 6 x − 2
=0
−
5
x +1
5 x ( x + 1) + (2 x − 6)( x + 1) − 5( x − 2 )
=0
5( x + 1)
11
x
facciamo il m.c.m. a denominatore:
x ≠ −1
C.E.
semplificato il denominatore e sviluppando i calcoli:
5 x 2 + 5 x + 2 x 2 + 2 x − 6 x − 6 − 5 x + 10 = 0
7x2 − 4x + 4 = 0
→
2
b
b
±   − ac
2
+ 2 ± 4 − 28 2 ± − 24
2
x1,2 =
=
=
e con la formula ridotta:
a
7
7
quindi non ci sono soluzioni reali alla nostra equazione.
−
………………………………………………………………………………………………………………..
3.
5 x + 5 x +1 + 5 x +2 = 155
spezziamo le potenze:
raccogliamo il fattore comune 5 x :
5 x ⋅ 31 = 155
→
5x =
155
31
→
5 x + 5 x ⋅ 5 + 5 x ⋅ 52 = 155
→
(
)
5 x ⋅ 1 + 5 + 52 = 155
→
5x = 5
→
5 x = 51
→
otteniamo poi:
x =1
………………………………………………………………………………………………………………..
4
♥
ricordiamo che i radicali danno esponenti frazionari:
es.
5
a4 = a 5
Equazioni esponenziali pag. 3
4.
3 x +1 + 5 ⋅ 3 x −1 + 63 = 7 ⋅ 3 x
portiamo le x a sinistra e i numeri a destra: 3 x +1 + 5 ⋅ 3 x −1 − 7 ⋅ 3 x = −63
spezziamo le potenze:
→
3 x ⋅ 3 + 5 ⋅ 3 x ⋅ 3−1 − 7 ⋅ 3 x = −63
raccogliamo il fattore comune 3 x :
otteniamo poi:
 7
3 x ⋅  −  = −63
 3
→
5
3 x ⋅ 3 + ⋅ 3 x − 7 ⋅ 3 x = −63
3
→
→
 3
3 x = −63 ⋅  − 
 7
5


3 x ⋅  3 + − 7  = −63
3 

→
3 x = 27
→
3 x = 33
→
x=3
………………………………………………………………………………………………………………..
CAMBIAMENTO DI VARIABILE
5.
7 ⋅ 7 2 x − 50 ⋅ 7 x + 7 = 0
y = 7x
assomiglia a un’equazione trinomia e si risolve ponendo:
(* )
l’equazione diventa quindi: 7 ⋅ y 2 − 50 ⋅ y + 7 = 0
che è un’equazione di 2° grado. Con la formula ridotta:
y1,2
+ 25 ± 625 − 49 + 25 ± 576 + 25 ± 24
=
=
=
=
7
7
7
y1 =
1
7
y2 = 7
Ora dobbiamo tornare all’equazione (* ) per ricavare i corrispondenti valori di x
1° caso:
2° caso:
1
7
y=7
y=
→
→
1
7
x
7 =7
7x =
→
→
7 x = 7 −1
7 x = 71
→
→
x = −1
x =1
………………………………………………………………………………………………………………..
6.
32 x − 3 x − 6 = 0
y2 − y − 6 = 0
y1 = −2
+ 1 ± 1 + 24 + 1 ± 5
=
=
=
2
2
y2 = 3
l’equazione diventa quindi:
y1,2
y = 3x
come prima si risolve ponendo:
(* )
che è un’equazione di 2° grado.
Ora dobbiamo tornare all’equazione (* ) per ricavare i corrispondenti valori di x
1° caso:
y = −2
2° caso:
y=3
→
→
3 x = −2
3x = 3
non dà soluzioni perché 3 x deve essere positivo.
→
3 x = 31
→
x =1
quindi abbiamo un’unica soluzione.
………………………………………………………………………………………………………………..
Equazioni esponenziali pag. 4
7.
11⋅ 2 x + 8 x = 4 + 26 ⋅ 4 x −1
l’incognita è sempre in potenze di 2, quindi trasformiamole:
11 ⋅ 2 x + 2 3 x = 4 + 26 ⋅ 2 2 ( x −1)
11 ⋅ 2 x + 2 3 x = 4 + 26 ⋅ 2 2 x ⋅ 2 −2
poniamo ora:
→
26 2 x
⋅2
→
4
y = 2 x (* )
11 ⋅ 2 x + 2 3 x = 4 +
11 ⋅ 2 x + 2 3 x = 4 + 26 ⋅ 2 2 x −2
→
11 ⋅ 2 x + 2 3 x = 4 + 26 ⋅ 2 2 x ⋅
11 ⋅ 2 x + 2 3 x = 4 +
13 2
y
2
22 y + 2 y 3 = 8 + 13 y 2
moltiplichiamo tutto per 2:
2 y 3 − 13 y 2 + 22 y − 8 = 0
divisori del termine noto: ± 1
13 2 x
⋅2
2
11 y + y 3 = 4 +
l’equazione diventa quindi:
riordiniamo:
1
4
±2
±4
risolvibile col metodo di Ruffini
±8
P (1) = 2 ⋅ 13 − 13 ⋅ 12 + 22 ⋅ 1 − 8 = 2 − 13 + 22 − 8 ≠ 0
P (− 1) = −2 − 13 − 22 − 8 ≠ 0
P (2 ) = 2 ⋅ 8 − 13 ⋅ 4 + 22 ⋅ 2 − 8 = 16 − 52 + 44 − 8 = 0
Abbiamo quindi la 1a soluzione: y1 = 2 e il polinomio si può dividere per il fattore ( y − 2 )
Facciamo la divisione col metodo di Ruffini:
+2
+2
+2
-13
+22
-8
+4
-18
+8
-9
+4
0
Q( y ) = 2 y 2 − 9 y + 4
Il quoziente è:
Le altre soluzioni dell’equazione si ottengono uguagliando a zero il quoziente:
2y2 − 9 y + 4 = 0
y 2 ,3
+ 9 ± 81 − 32 + 9 ± 49 + 9 ± 7
=
=
=
=
4
4
4
y2 =
1
2
y2 =
y3 = 4
1
2
y3 = 4
Ora dobbiamo tornare all’equazione (* ) per ricavare i corrispondenti valori di x
1° caso:
y=2
→
2x = 2
2° caso:
y=
1
2
→
2x =
3° caso:
y=4
→
2x = 4
1
2
→
→
→
2 x = 21
2 x = 2 −1
2 x = 22
→
→
→
x =1
x = −1
x=2
quindi abbiamo tre soluzioni.
………………………………………………………………………………………………………………..