equazioni esponenziali - TED

Equazioni esponenziali pag. 1
EQUAZIONI ESPONENZIALI
Le equazioni esponenziali sono equazioni in cui l’incognita x si trova ad esponente. Un primo metodo per
cercare di risolvere un’equazione esponenziale è quello di cercare di ricondurla alla forma:
a f x   a g x 

In questa forma le espressioni ad esponente f x  e g x  sono espressioni algebriche in x
(polinomi, frazioni, numeri…)

Notare che in questa equazione la base della potenza è la stessa in entrambi i membri
dell’equazione; dato che le potenze hanno lo stesso valore ed hanno uguale base devono avere
anche uguale esponente. L’equazione si risolverà quindi uguagliando gli esponenti
a f x   a g x 
si uguagliano gli esponenti ottenendo
f x   g x 
L’equazione così ottenuta è algebrica e quindi si risolve con i metodi già noti. Vediamo qui sotto
tre esempi in cui si usa questo metodo.
………………………………………………………………………………………………………………..
a)
52 x 1 
1
25
52 x1  52
diventa
uguagliamo gli esponenti:
2 x  1  2
3
2
………………………………………………………………………………………………………………..
da cui:
b)
2 x  3
e quindi
x
1
sono tutte potenze di 2 per cui trasformiamo:
16
applichiamo le proprietà delle potenze ottenendo: 215x  2 2 x 2   2 4
85 x  4 x  2 
e quindi
2   2 
3 5x
2 x 2
 2 4
215x  2  x  2   2 4
uguagliamo gli esponenti:
15x  2x  2  4
8
17
………………………………………………………………………………………………………………..
da cui: 15x  2 x  4  4
c)
32 x  3  27 2 x 1
1
9 4 x 1  81x

17 x  8

sono tutte potenze di 3 per cui trasformiamo:
applichiamo le proprietà delle potenze ottenendo:
uguagliamo gli esponenti:
da cui:
x
32 x  3  332 x 1
 30
32 4 x 1  34 x
32 x132 x124 x14 x  30
2 x  1  32 x  1  24 x  1  4 x  0
2 x  1  6 x  3  8x  2  4 x  0

 4x  0

x0
………………………………………………………………………………………………………………..

ricordare che nel caso di divisioni tra potenze di uguale base gli esponenti vanno sottratti
Equazioni esponenziali pag. 2
ALTRI ESEMPI RISOLTI
1.
16
x
2 x 1
4 x
 64
x 1
sono tutte potenze di 4 che trasformiamo: 4
2 x
2 x 1
x
da cui:
4
da cui:
x
 4 3 x 3
2x  1
30
x
2 x 1
4 x
2x 
uguagliamo gli esponenti:
 4 3 x 1
2x  1
 3x  3
x
 x 2  2 x  1  3x
0
x

C.E.
x0
 x 2  5x  1  0
semplificato il denominatore e ordinando:
x1,2 
2x
 5  25  4  5  29 5  29


2
2
2
x1 
5  29
2
x2 
5  29
2
entrambe le soluzioni sono accettabili.
………………………………………………………………………………………………………………..
11  121
x 5
2.
x 3
x 2
11 x 1
da cui:
1
11
sono tutte potenze di 11 che trasformiamo:
x
2  x 3 
11 5
x 2
11 x 1
uguagliamo gli esponenti:
 11

0
x
11
x
2  x 3  x  2

5
x 1
x 3
 121 5
x 2
11 x 1
 110
 110
2x  6 x  2

0
5
x 1
5x x  1  2 x  6x  1  5x  2
0
5x  1
11
x
facciamo il m.c.m. a denominatore:
x  1
C.E.
semplificato il denominatore e sviluppando i calcoli:
5x 2  5x  2 x 2  2 x  6x  6  5x  10  0
7x 2  4x  4  0

2
b
b
    ac
2
 2  4  28 2   24
2
x1,2 


e con la formula ridotta:
a
7
7
quindi non ci sono soluzioni reali alla nostra equazione.

………………………………………………………………………………………………………………..
3.
5x  5x1  5x2  155
spezziamo le potenze:
raccogliamo il fattore comune 5 x :
5x  31  155

5x 
155
31

5x  5x  5  5x  52  155



5 x  1  5  52  155

5x  5

5x  51

otteniamo poi:
x 1
………………………………………………………………………………………………………………..
4

ricordiamo che i radicali danno esponenti frazionari:
es.
5
a4  a 5
Equazioni esponenziali pag. 3
4.
3x1  5  3x1  63  7  3x
portiamo le x a sinistra e i numeri a destra: 3x1  5  3x1  7  3x  63
spezziamo le potenze:
3x  3  5  3x  31  7  3x  63

raccogliamo il fattore comune 3 x :
otteniamo poi:
 7
3 x      63
 3



 3
3 x  63    
 7
5
3 x  3   3 x  7  3 x  63
3
5


3 x   3   7   63
3



3x  27

3x  33

x3
………………………………………………………………………………………………………………..
CAMBIAMENTO DI VARIABILE
5.
7  72 x  50  7 x  7  0
y  7x
assomiglia a un’equazione trinomia e si risolve ponendo:
* 
l’equazione diventa quindi: 7  y 2  50  y  7  0
che è un’equazione di 2° grado. Con la formula ridotta:
y1,2
 25  625  49  25  576  25  24




7
7
7
y1 
1
7
y2  7
Ora dobbiamo tornare all’equazione * per ricavare i corrispondenti valori di x
1° caso:
2° caso:
1
7
y7
y


1
7
x
7 7
7x 


7 x  7 1
7 x  71


x  1
x 1
………………………………………………………………………………………………………………..
6.
32 x  3x  6  0
l’equazione diventa quindi:
y1,2 
y  3x
come prima si risolve ponendo:
y2  y  6  0
 1  1  24  1  5


2
2
* 
che è un’equazione di 2° grado.
y1  2
y2  3
Ora dobbiamo tornare all’equazione * per ricavare i corrispondenti valori di x
1° caso:
y  2
2° caso:
y3


3x  2
3x  3
non dà soluzioni perché 3 x deve essere positivo.

3x  31

x 1
quindi abbiamo un’unica soluzione.
………………………………………………………………………………………………………………..
Equazioni esponenziali pag. 4
7.
11 2 x  8 x  4  26  4 x1
l’incognita è sempre in potenze di 2, quindi trasformiamole:
11 2 x  23x  4  26  22 x1
11 2 x  23x  4  26  22 x  22
poniamo ora:

26 2 x
2

4
y  2 x * 
11  2 x  2 3 x  4 
11 2 x  23x  4  26  22 x2

11  2 x  2 3 x  4  26  2 2 x 
11  2 x  2 3 x  4 
13 2
y
2
22 y  2 y 3  8  13 y 2
moltiplichiamo tutto per 2:
2 y 3  13 y 2  22 y  8  0
divisori del termine noto:  1
13 2 x
2
2
11 y  y 3  4 
l’equazione diventa quindi:
riordiniamo:
1
4
2
4
risolvibile col metodo di Ruffini
8
P1  2  13  13  12  22  1  8  2  13  22  8  0
P 1  2  13  22  8  0
P2  2  8  13  4  22  2  8  16  52  44  8  0
Abbiamo quindi la 1a soluzione: y1  2 e il polinomio si può dividere per il fattore  y  2
Facciamo la divisione col metodo di Ruffini:
+2
+2
+2
-13
+22
-8
+4
-18
+8
-9
+4
0
Q y   2 y 2  9 y  4
Il quoziente è:
Le altre soluzioni dell’equazione si ottengono uguagliando a zero il quoziente:
2y2  9 y  4  0
y 2 ,3
 9  81  32  9  49  9  7




4
4
4
y2 
1
2
y2 
y3  4
1
2
y3  4
Ora dobbiamo tornare all’equazione * per ricavare i corrispondenti valori di x
1° caso:
y2

2x  2
2° caso:
y
1
2

2x 
3° caso:
y4

2x  4
1
2



2 x  21
2 x  2 1
2 x  22



x 1
x  1
x2
quindi abbiamo tre soluzioni.
………………………………………………………………………………………………………………..