Equazioni esponenziali pag. 1
EQUAZIONI ESPONENZIALI
Le equazioni esponenziali sono equazioni in cui l’incognita x si trova ad esponente. Un primo metodo per
cercare di risolvere un’equazione esponenziale è quello di cercare di ricondurla alla forma:
a f x a g x
In questa forma le espressioni ad esponente f x e g x sono espressioni algebriche in x
(polinomi, frazioni, numeri…)
Notare che in questa equazione la base della potenza è la stessa in entrambi i membri
dell’equazione; dato che le potenze hanno lo stesso valore ed hanno uguale base devono avere
anche uguale esponente. L’equazione si risolverà quindi uguagliando gli esponenti
a f x a g x
si uguagliano gli esponenti ottenendo
f x g x
L’equazione così ottenuta è algebrica e quindi si risolve con i metodi già noti. Vediamo qui sotto
tre esempi in cui si usa questo metodo.
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a)
52 x 1
1
25
52 x1 52
diventa
uguagliamo gli esponenti:
2 x 1 2
3
2
………………………………………………………………………………………………………………..
da cui:
b)
2 x 3
e quindi
x
1
sono tutte potenze di 2 per cui trasformiamo:
16
applichiamo le proprietà delle potenze ottenendo: 215x 2 2 x 2 2 4
85 x 4 x 2
e quindi
2 2
3 5x
2 x 2
2 4
215x 2 x 2 2 4
uguagliamo gli esponenti:
15x 2x 2 4
8
17
………………………………………………………………………………………………………………..
da cui: 15x 2 x 4 4
c)
32 x 3 27 2 x 1
1
9 4 x 1 81x
17 x 8
sono tutte potenze di 3 per cui trasformiamo:
applichiamo le proprietà delle potenze ottenendo:
uguagliamo gli esponenti:
da cui:
x
32 x 3 332 x 1
30
32 4 x 1 34 x
32 x132 x124 x14 x 30
2 x 1 32 x 1 24 x 1 4 x 0
2 x 1 6 x 3 8x 2 4 x 0
4x 0
x0
………………………………………………………………………………………………………………..
ricordare che nel caso di divisioni tra potenze di uguale base gli esponenti vanno sottratti
Equazioni esponenziali pag. 2
ALTRI ESEMPI RISOLTI
1.
16
x
2 x 1
4 x
64
x 1
sono tutte potenze di 4 che trasformiamo: 4
2 x
2 x 1
x
da cui:
4
da cui:
x
4 3 x 3
2x 1
30
x
2 x 1
4 x
2x
uguagliamo gli esponenti:
4 3 x 1
2x 1
3x 3
x
x 2 2 x 1 3x
0
x
C.E.
x0
x 2 5x 1 0
semplificato il denominatore e ordinando:
x1,2
2x
5 25 4 5 29 5 29
2
2
2
x1
5 29
2
x2
5 29
2
entrambe le soluzioni sono accettabili.
………………………………………………………………………………………………………………..
11 121
x 5
2.
x 3
x 2
11 x 1
da cui:
1
11
sono tutte potenze di 11 che trasformiamo:
x
2 x 3
11 5
x 2
11 x 1
uguagliamo gli esponenti:
11
0
x
11
x
2 x 3 x 2
5
x 1
x 3
121 5
x 2
11 x 1
110
110
2x 6 x 2
0
5
x 1
5x x 1 2 x 6x 1 5x 2
0
5x 1
11
x
facciamo il m.c.m. a denominatore:
x 1
C.E.
semplificato il denominatore e sviluppando i calcoli:
5x 2 5x 2 x 2 2 x 6x 6 5x 10 0
7x 2 4x 4 0
2
b
b
ac
2
2 4 28 2 24
2
x1,2
e con la formula ridotta:
a
7
7
quindi non ci sono soluzioni reali alla nostra equazione.
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3.
5x 5x1 5x2 155
spezziamo le potenze:
raccogliamo il fattore comune 5 x :
5x 31 155
5x
155
31
5x 5x 5 5x 52 155
5 x 1 5 52 155
5x 5
5x 51
otteniamo poi:
x 1
………………………………………………………………………………………………………………..
4
ricordiamo che i radicali danno esponenti frazionari:
es.
5
a4 a 5
Equazioni esponenziali pag. 3
4.
3x1 5 3x1 63 7 3x
portiamo le x a sinistra e i numeri a destra: 3x1 5 3x1 7 3x 63
spezziamo le potenze:
3x 3 5 3x 31 7 3x 63
raccogliamo il fattore comune 3 x :
otteniamo poi:
7
3 x 63
3
3
3 x 63
7
5
3 x 3 3 x 7 3 x 63
3
5
3 x 3 7 63
3
3x 27
3x 33
x3
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CAMBIAMENTO DI VARIABILE
5.
7 72 x 50 7 x 7 0
y 7x
assomiglia a un’equazione trinomia e si risolve ponendo:
*
l’equazione diventa quindi: 7 y 2 50 y 7 0
che è un’equazione di 2° grado. Con la formula ridotta:
y1,2
25 625 49 25 576 25 24
7
7
7
y1
1
7
y2 7
Ora dobbiamo tornare all’equazione * per ricavare i corrispondenti valori di x
1° caso:
2° caso:
1
7
y7
y
1
7
x
7 7
7x
7 x 7 1
7 x 71
x 1
x 1
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6.
32 x 3x 6 0
l’equazione diventa quindi:
y1,2
y 3x
come prima si risolve ponendo:
y2 y 6 0
1 1 24 1 5
2
2
*
che è un’equazione di 2° grado.
y1 2
y2 3
Ora dobbiamo tornare all’equazione * per ricavare i corrispondenti valori di x
1° caso:
y 2
2° caso:
y3
3x 2
3x 3
non dà soluzioni perché 3 x deve essere positivo.
3x 31
x 1
quindi abbiamo un’unica soluzione.
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Equazioni esponenziali pag. 4
7.
11 2 x 8 x 4 26 4 x1
l’incognita è sempre in potenze di 2, quindi trasformiamole:
11 2 x 23x 4 26 22 x1
11 2 x 23x 4 26 22 x 22
poniamo ora:
26 2 x
2
4
y 2 x *
11 2 x 2 3 x 4
11 2 x 23x 4 26 22 x2
11 2 x 2 3 x 4 26 2 2 x
11 2 x 2 3 x 4
13 2
y
2
22 y 2 y 3 8 13 y 2
moltiplichiamo tutto per 2:
2 y 3 13 y 2 22 y 8 0
divisori del termine noto: 1
13 2 x
2
2
11 y y 3 4
l’equazione diventa quindi:
riordiniamo:
1
4
2
4
risolvibile col metodo di Ruffini
8
P1 2 13 13 12 22 1 8 2 13 22 8 0
P 1 2 13 22 8 0
P2 2 8 13 4 22 2 8 16 52 44 8 0
Abbiamo quindi la 1a soluzione: y1 2 e il polinomio si può dividere per il fattore y 2
Facciamo la divisione col metodo di Ruffini:
+2
+2
+2
-13
+22
-8
+4
-18
+8
-9
+4
0
Q y 2 y 2 9 y 4
Il quoziente è:
Le altre soluzioni dell’equazione si ottengono uguagliando a zero il quoziente:
2y2 9 y 4 0
y 2 ,3
9 81 32 9 49 9 7
4
4
4
y2
1
2
y2
y3 4
1
2
y3 4
Ora dobbiamo tornare all’equazione * per ricavare i corrispondenti valori di x
1° caso:
y2
2x 2
2° caso:
y
1
2
2x
3° caso:
y4
2x 4
1
2
2 x 21
2 x 2 1
2 x 22
x 1
x 1
x2
quindi abbiamo tre soluzioni.
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