Matematica - Liceo Modigliani

Liceo artistico statale «A. Modigliani» di Padova
A.s. 2010–2011 — Cl. 2E
Programma di Matematica
Docente: Prof. G. Mezzetti
Equazioni di primo grado
Ripasso delle equazioni «numeriche» di primo grado. Equazioni «numeriche»
frazionarie di primo grado; condizioni di accettabilità delle soluzioni e dominio
di un’equazione frazionaria; risoluzione delle equazioni frazionarie. Equazioni
«letterali» (o meglio, parametriche) intere di primo grado, loro risoluzione e
discussione. Problemi risolubili mediante equazioni di primo grado.
Disequazioni di primo grado
Disuguaglianze numeriche e loro proprietà. Intervalli e semirette chiusi e aperti
in Q e loro rappresentazione mediante le notazioni [a; b], ]−∞; b], [a; +∞[
e simili. Cos’è una disequazione. Disequazioni in una incognita (in generale).
Concetto di soluzione. Insieme delle soluzioni di una disequazione. Disequazioni
equivalenti. Princìpi di equivalenza per le disequazioni e loro conseguenze,
in particolare il principio del trasporto. Forma normale e grado di una disequazione. Disequazioni intere di primo grado e loro risoluzione. Disequazioni
di primo grado frazionarie e loro risoluzione mediante il metodo dello studio del
segno. Disequazioni intere e fratte riconducibili a disequazioni di primo grado e
loro risoluzione mediante il metodo dello studio del segno. Disequazioni intere di
primo grado con parametri («letterali»), loro risoluzione e discussione. Sistemi
di disequazioni e loro risoluzione. Problemi risolubili mediante disequazioni di
primo grado.
Introduzione alla logica
Proposizioni logiche. Operazioni logiche e tabelle di verità; congiunzione (∧),
disgiunzione (∨), negazione ( · o ¬), implicazione materiale (→), coimplicazione
materiale (↔). Espressioni logiche; tautologie e contraddizioni.
Relazioni e funzioni
Proprietà e relazioni, relazioni binarie. Terminologia relativa alle relazioni binarie: immagine, controimmagine, dominio, codominio. Rappresentazione delle
relazioni: per elencazione, sagittale (o a frecce), tabellare, cartesiana. Relazioni
binarie definite in un insieme (cioè, fra un insieme e sé stesso) e loro rappresentazione mediante grafo. Relazioni inverse. Proprietà delle relazioni definite in
un insieme: riflessiva, antiriflessiva, simmetrica, antisimmetrica debole e forte,
transitiva. Come si riconoscono alcune di queste proprietà nelle varie rappresentazioni delle relazioni. Relazioni di equivalenza. Funzioni e terminologia
relativa.
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Sistemi di equazioni di primo grado
Equazioni lineari in due incognite. Sistemi di equazioni; concetto di soluzione;
princìpi di equivalenza dei sistemi (sostituzione, riduzione). Sistemi lineari di
due equazioni in due incognite e metodi per la loro risoluzione: metodo grafico,
metodo di sostituzione, metodo del confronto, metodo di riduzione. Matrici 2×2
e loro determinante; riduzione di un sistema a forma normale e sua risoluzione
mediante il metodo di Cramer.
Cenno ai numeri reali
Cenno alla rappresentazione dei numeri reali come allineamenti decimali (con
esclusione degli allineamenti che terminano con 9 periodico: 0,9 = 1).
Radicali aritmetici
Definizione
√ dei radicali aritmetici; proprietà fondamentale: se A ≥ 0 e B ≥ 0,
allora n A = B ⇐⇒ B n = A (per n ∈ N). Proprietà invariantiva dei radicali;
semplificazione dei radicali e riduzione allo stesso indice. Moltiplicazione e divisione dei radicali; trasporto di un fattore non negativo dentro e fuori radice.
Potenza e radice di radicali. Addizione algebrica di radicali. Razionalizzazione
√
n
dei denominatori
A,
√
√
√delle frazioni, nei casi in cui il denominatore
√ è della
√ forma
√
A ± B, A ± B; cenno al caso in cui esso è della forma A ± B ± C.
Equazioni di secondo grado
Cos’è un’equazione di secondo grado; concetto di soluzione; riduzione alla forma
normale ax2 +bx+c = 0 con a 6= 0. Metodo del completamento dei quadrati per
la risoluzione delle equazioni complete. Discriminante ∆ e formula risolutiva
per le equazioni di secondo grado complete, compresa la sua dimostrazione.
Casi particolari in cui è possibile una risoluzione abbreviata: equazioni pure e
spurie. Equazioni di secondo grado frazionarie e loro risoluzione. Enunciato
dei due teoremi di Euclide e del teorema di Pitagora sui triangoli rettangoli.
Problemi risolubili mediante equazioni di secondo grado, in particolare problemi
di geometria che coinvolgono i teoremi di Euclide e di Pitagora.
Per la parte di geometria, si useranno le seguenti abbreviazioni: c.d. =
con dimostrazione, s.d. = senza dimostrazione.
I triangoli e la congruenza
Ripasso dei criteri di congruenza dei triangoli. Teorema dell’angolo esterno in
forma debole (ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni
non adiacenti, s.d.) e suoi corollari (c.d.). Relazioni fra i lati e gli angoli di un
triangolo: c.d. i primi tre teoremi, s.d. gli ultimi due. Risoluzione di problemi
consistenti nel dimostrare semplici proprietà geometriche dei triangoli e proprietà di altre figure geometriche facilmente riconducibili a proprietà dei triangoli.
Rette perpendicolari e rette parallele
Rette perpendicolari, definizione e osservazione del fatto che, per dimostrare che
due rette sono perpendicolari, è sufficiente dimostrare che esse, incontrandosi,
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formano un angolo retto. Esistenza e unicità della perpendicolare condotta a
una retta assegnata da un punto assegnato (c.d.). Proiezioni ortogonali di un
punto e di un segmento. Distanza di un punto da una retta. Asse di un segmento
e sua proprietà (c.d.). Teorema della bisettrice (s.d., anzi, facendo notare che
la dimostrazione data nel libro di testo contiene un passaggio non giustificato).
Rette parallele, definizione. Striscia fra due rette parallele. Teorema: due rette
distinte perpendicolari a una stessa retta sono fra loro parallele (c.d.). Postulato
delle parallele. Rette parallele tagliate da una trasversale e nomenclatura degli
angoli formati. Teorema («delle 12 cose») sugli angoli formati da rette tagliate
da una trasversale (con cenno di dim.). Criterio di parallelismo delle rette,
diretto e inverso. Teorema dell’angolo esterno in forma forte (ogni angolo esterno
è congruente alla somma dei due angoli interni non adiacenti, c.d.); teorema
sulla somma degli angoli interni di un triangolo (c.d.); teorema sulla somma
degli angoli interni di un poligono (c.d.). Criteri di congruenza dei triangoli
rettangoli (c.d.).
Quadrilateri
Definizione di quadrilatero e terminologia relativa (lati e angoli adiacenti e opposti). Definizione di trapezio e di parallelogramma. Teorema diretto del parallelogramma (c.d.). Teorema inverso del parallelogramma (criteri per stabilire
quando un quadrilatero è un parallelogramma, s.d.). Teorema: se un quadrilatero ha una coppia di lati opposti sia paralleli, sia congruenti, allora esso è
un parallelogramma (s.d.).
Nota: Nel prossimo anno scolastico verranno completati alcuni argomenti
trattati nei testi di quest’anno. Si raccomanda pertanto di conservarli.
Esercizi per il periodo estivo
Sono 36 esercizi: cercare di svolgerli con regolarità, in ragione di 3/4 a settimana,
senza aspettare l’ultimo momento.
Dal volume 1 di algebra: es. n. 202, 216, 225, 248 pagg. 442–445; es. n. 275,
279, 286 pag. 447; es. n. 104, 105, 108, 113 pag. 504.
Dal volume 2 di algebra: es. n. 105, 110, 111, 121, 134 pagg. 34–37; es. n. 148
pag. 38; es. n. 204, 207, 213 pagg. 510–511; es. n. 263 pag. 513; es. n. 327 pag. 108;
es. n. 339 pag. 109; es. n. 473, 487 pagg. 118–119; es. n. 152, 153, 158 pag. 221;
es. n. 172, 183 pagg. 222–223; es. n. 590 pag. 250; es. n. 623, 628 pag. 252.
Dal volume di geometria: es. n. 109 pag. 80; es. n. 95, 97 pag. 111; es. n. 63
pag. 136.
N.B.: chi dovesse avere sospeso il giudizio di ammissione alla terza a causa
di un’insufficienza in Matematica farà bene a svolgere un buon numero di esercizi aggiuntivi, scelti fra quelli simili a quelli sopra indicati. Nel libro sono
chiaramente indicati, mediante titoletti, i punti dove cominciano esercizi che
riguardano un nuovo argomento.
Libri di testo
• E. Cassina e M. Bondonno, L’ora della Matematica — Algebra, vol. 1,
Paravia.
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• E. Cassina e M. Bondonno, L’ora della Matematica — Algebra, vol. 2,
Paravia.
• E. Cassina e M. Bondonno, L’ora della Matematica — Geometria, Paravia.
Padova, 8 giugno 2011
Gli alunni
Il docente
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