Formalismo della Meccanica Quantistica

Formalismo della Meccanica Quantistica
Le funzioni d’onda devono appartenere allo spazio delle funzioni a quadrato sommabile, denotato
con L2
Z
ψ ∈ L2 =⇒
|ψ(~r)|2 d3 r ≡ ||ψ|| < ∞
(1)
Lo spazio delle funzioni a quadrato sommabile definisce chiaramente uno spazio lineare ed é completo,
cioé ogni funzione puó essere espressa come serie di funzionii a quadrato integrabile. 1 Possiamo
definire un prodotto scalare denotato da (, ), che é una corrispondenza tra due elementi di L2 ed
un numero complesso dato da (∗ denota la funzione complessa coniugata)
(ψ, φ) ≡
Z
ψ ∗ (~r) φ(~r) d3 r
(2)
con le proprietá
(ψ, φ) = (φ, ψ)∗ =⇒ (ψ, c φ) = c (ψ, φ)
(ψ, c1 φ + c2 χ) = (ψ, c1 φ) + (ψ, c2 χ)
(ψ, ψ) = ||ψ|| ∈ R
||ψ|| ≥ 0
||ψ|| = 0
(c ψ, φ) = c∗ (ψ, φ)
=⇒
c∈C
ψ=0
(3)
(4)
(5)
Vale la disuguaglianza di Schwartz
|(φ, ψ)| ≤
q
(φ, φ)(ψ, ψ)
(6)
L’uguaglianza vale se e solo se φ ∝ ψ. Uno spazio lineare in cui é definito un prodotto scalare, che
definisce una metrica rispetto alla quale lo spazio é completo, é chiamato spazio d’Hilbert. Uno
spazio d’Hilbert é di dimensione finita o infinita numerabile se esistono rispettivamente n elementi
indipendenti, con n finito o n ∈ Z,2 tale che ogni elemento dello spazio si puó scrivere come
Ψ =
n
X
ck ∈ C
ck ψk
(7)
k
Due elementi dello spazio sono detti ortogonali, spesso indicati con ⊥ se il loro prodotto scalare é
nullo
(ψ, φ) = 0 ⇐⇒ ψ ⊥ φ
(8)
Nello spazio delle funzioni differenziabili la derivata di una funzione definisce una corrispondenza che
alla funzione ψ(x) associa la funzione dψ(x)/dx = ψ 0 (x). Possiamo dire che l’operatore derivata
d/dx associa ad ogni funzione ψ(x) una funzione ψ 0 (x).
d
: =⇒
dx
ψ(x)
−→
ψ 0 (x)
(9)
Definizione - Un operatore A associa ad un elemento ψ di uno spazio un altro elemento φ. Lo spazio
in cui l’azione di A é definita si chiama dominio (D) di A e l’insieme degli elementi {φ} ottenuti
é detto codominio di A. Nel seguito generalmente assumeremo che il dominio ed il codominio
coincidono
1
2
Non entriamo in dettaglio in che senso vale tale uguaglianza (criteri di convergenza della serie).
Assumiamo che lo spazio d’Hilbert sia separabile, ma anche qui non entriamo nel dettaglio matematico.
1
Definizione - Un operatore A é detto lineare se
∀ φ, χ ∈ D,
A(c1 φ + c2 χ) = c1 (Aφ) + c2 (Aχ)
∀ c 1 , c2 ∈ C
(10)
Partendo da un insieme di operatori lineari possiamo definire le seguenti operazioni algebriche:
1. Moltiplicazione per un numero complesso c
(cA)ψ ≡ c(Aψ)
(11)
2. Somma di due operatori S = A + B (definito nel dominio comune ad A e B)
Sψ ≡ Aψ + Bψ
(12)
3. Prodotto di due operatori P = AB (definito nel codominio di B che appartiene al dominio di
A)
P ψ = ABψ ≡ A(Bψ)
(13)
NOTA - Mentre la somma di due operatori é commutativa, in generale il prodotto é non commutativo AB 6= BA.
Definizione - L’esponenziale di un operatore é definito dallo sviluppo formale in serie dell’esponenziale
A
e
=
∞
X
Ak
k=0
(14)
k!
Theorem 1 Se ψ é autofunzione dell’operatore A con autovalore a, allora ψ é autofunzione della
funzione F (A) con autovalore F (a).
Prova: Supponiamo che ψ sia autofunzione di A con autovalore a, sviluppando F (A) in serie formale
di potenze di A, si ha
F (A) =
∞
X
c k Ak
=⇒
F (A) ψ =
k=0
∞
X
c k Ak ψ =
k=0
∞
X
ck ak ψ = F (a) ψ
(15)
k=0
Per esempio calcoliamo il caso in cui F (A) = eA
eA ψ =
∞
X
Ak
k=0
k!
ψ=
∞
X
ak
k=0
k!
ψ = ea ψ
(16)
Esempi:
1. calcoliamo l’azione dell’operatore T = expa d/dx (a ∈ R)
T ψ(x) = ea d/dx ψ(x) =
∞
X
1 ak dk
k=0
k! (dx)k
ψ(x) =
∞
X
ak
k=0
k!
ψ (k) (x) = ψ(x + a)
(17)
dove abbiamo denotato con ψ (k) (x) la k-ma derivata della funzione e l’ultima uguaglianza é
stata scritta notando che l’espressione ottenuta é lo sviluppo in Taylor intorno al punto x della
funzione ψ(x + a).
2
2. calcoliamo l’azione dell’operatore expiaP dove P é l’operatore paritá (P ψ(x) = ψ(−x))
iaP
e
ψ(x) =
∞
X
(ia)k P k
k!
k=0
X
ψ(x) =
k=pari
(ia)k
ψ(x) +
k!
X
k=dispari
(ia)k
P ψ(x)
k!
= ψ(x) cos a + iψ(−x) sin a
(18)
dove abbiamo usato la proprietá P 2 = 1 e lo sviluppo in serie delle funzioni trigonometriche.
Se la funzione ψ é autofunzione di P (P ψ(x) = ±ψ(x)), l’eq.(18) diventa
eiaP ψ(x) = ψ(x) cos a ± iψ(x) sin a = e±ia ψ(x)
(19)
NOTA - Il prodotto degli esponenziali di due operatori é uguale all’esponenziale della somma degli
operatori solo e solo se se gli operatori commutano
[A, B] = 0
⇐⇒
eA eB = eA+B
(20)
Definizione - L’aggiunto di un operatore A definito in uno spazio d’Hilbert H, denotato con A† , é
definito da
(ψ, Aφ) = (A† ψ, φ)
∀ ψ, φ ∈ H
(21)
Definizione - Un operatore A, definito in uno spazio d’Hilbert H, é detto autoaggiunto o hermitiano
se A = A† . 3
Esempio: l’operatore differenziale D = id/dx é autoaggiunto
(ψ, D ψ) ≡
Z
∞
−∞
= iψ
∗
ψ ∗ (x)i
d
ψ(x) dx
dx
(x)ψ(x)|∞
−∞
+
∞
Z
−∞
!∗
d
i ψ(x)
dx
ψ(x) dx ≡ (Dψ, ψ)
(22)
dove abbiamo integrato per parti e usato la proprietá che la funzione d’onda ψ(x) si annulla a ±∞.
Theorem 2 Due operatori A e B che commutano ammettono una base di autostati comuni.
Prova - Mostriamo che, se [A, B] = 0 , l’esistenza di autostati comuni é compatibile. Sia ψ autofunzione dell’operatore A con autovalore a ed autofunzione dell’operatore B con autovalore b. Per
ipotesi si ha quindi
A (Bψ) = A bψ = abψ
B (Aψ) = B aψ = baψ
=⇒
[A, B] ψ = (ab − ba)ψ = 0
(23)
Se [A, B] 6= 0 allora non puó esistere una base comune, ma al piú esiste un autostato comune
corrispondente all’autovalore nullo di almeno uno dei due operatori. In questo caso si ha infatti
[A, B] ψ = 0.
Definizione - Un operatore A, il cui spettro non contenga l’autovalore nullo é invertibile, cioé esiste
l’operatore inverso A−1 tale che AA−1 = A−1 A = 1 dove 1 é l’operatore identitá.
Definizione - Dalle definizione segue immediatamente che, dati due operatori A e B invertibili
(AB)−1 = B −1 A−1
3
(AB)† = B † A†
Supponiamo che il dominio e codominio degli operatori siano coincidenti.
3
(24)
Definizione - Un operatore A é detto unitario se
A† A = A A† = 1
=⇒
A† = A−1
(25)
Gli operatori unitari conservano la norma
(U ψ, U ψ) = (ψ, U † U ψ) = (ψ, U −1 U ψ) = , (ψ, ψ)
(26)
Un operatore unitario U si puó scrivere come l’esponenziale di un operatore hermitiano A =, A†
U = eiA
U −1 = eiA
=⇒
−1
= e−iA = eiA
†
= e−iA
(27)
Ad ogni osservabile fisica corrisponde un operatore autoaggiunto o hermitiano.
Theorem 3 Gli autovalori di un operatore autoaggiunto sono reali e le autofunzioni corrispondenti
ad autovalori diversi sono ortogonali.
Prova: Supponiamo che ψ sia autofunzione di A 4 con autovalore a, per la proprietá di autoaggiuntezza e per il carattere antilineare del prodotto scalare rispetto al primo termine si ha
(ψ, Aψ) = (ψ, aψ) = (Aψ, ψ) = (aψ, ψ) = a(ψ, ψ) = a∗ (ψ, ψ)
=⇒
a = a∗
(28)
Sia φ autofunzione di A con autovalore b 6= a si ha
0 = (φ, Aψ) − (Aφ, ψ)
(a − b)(φ, ψ) = 0
=⇒
=⇒
(φ, ψ) = 0
(29)
Le autofunzioni di un operatore hermitiano soddisfano le proprietá seguenti:
1. la completezza
ψ =
X
cn ψn
cn = (ψn , ψ)
∀ψ ∈ H
(30)
n
Vale l’identitá di Parseval
X
|cn |2 = (ψ, ψ)
(31)
n
2.
P
n
|cn |2 converge a ||ψ|| se
P
n
cn ψn , converge in media a ψ
3.
ψ =
X
cn ψn
φ =
n
X
dn φn
=⇒
n
(φ, ψ) =
X
d∗n cn
(32)
n
Theorem 4 Lo scarto quadratico medio di un osservabile é nullo sulle autofunzioni dell’osservabile
Prova: Per definizione si ha
< An > =
< ∆2 A > = 0 =⇒
(ψ, An ψ)
(ψ, ψ)
< A2 >=< A >2 =⇒
< ∆2 A > ≡ < A2 > − < A >2
(ψ, ψ)(ψ, A2 ψ) = (ψ, ψ)(Aψ, Aψ) = (ψ, Aψ)2 (34)
quindi, usando la disuguaglianza di Schwartz, con φ = Aψ, si deduce Aψ = aψ.
Osserviamo che :
4
(33)
Si dimostra che lo spettro di un operatore autoaggiunto é non vuoto.
4
~ sono le onde piane non normalizzabili con
1. le autofunzioni dell’operatore momento P~ = −ih̄∇
spettro continuo reale
−ih̄
∂
ψ(x) = px ψ(x)
∂x
=⇒
ψp (x) = e±ipx x/h̄
=⇒
(ψp (x), ψp0 (x)) = δ(p − p0 )
px ∈ R
(35)
con un opportuna fattore si ha
ψp (x) = √
1
e±ipx x/h̄
2πh̄
(36)
La completezza si scrive
Z
dpψp∗ (x0 ), ψp (x) = δ(x − x0 )
(37)
ed implica che
ψ(x) =
ϕ(p)
1
√
dp √
e±ipx x/h̄
2πh̄ 2πh̄
Z
(38)
quindi, con lo spettro continuo si ha
ϕ(p)
cn −→ √
2πh̄
X
−→
Z
dp
(39)
n
2. le autofunzioni dell’operatore posizione ~r sono le funzioni delta
xb ψ(x) = ξ ψ(x)
=⇒
ψξ (x) = δ(x − ξ)
ξ∈R
(40)
La completezza si scrive
Z
dξ ψξ (x), ψξ (x0 ) = δ(x − x0 )
(ψξ (x), ψξ0 (x)) =
Z
dx ψξ∗ (x), ψξ0 (x) = δ(ξ − ξ 0 )
ψ(x) =
Z
dξ ψ(ξ) ψξ (x)
(41)
(42)
(43)
ci é la moltiplicazione per xi , nello spazio dei
3. nello spazio delle funzioni di ~x, l’operatore x
momenti é dato dalla derivata rispetto a pi moltiplicata per −ih̄. Infatti si ha
ci ψp~0 ) =
(ψp~ , x
Z
Z
1
∂
1
−i~
p·~
x/h̄
i~
p·~
x/h̄ 3
e
x
e
d
x
=
−ih̄
e−i~p·~x/h̄ ei~p·~x/h̄ d3 x
i
(2πh̄)3
∂pi (2πh̄)3
(44)
4. nello spazio delle funzioni di ~r, l’operatore pbi é dato dalla derivata rispetto a xi moltiplicata
per −ih̄, mentre nello spazio dei momenti é l’operatore moltiplicativo per pi . Infatti si ha
(ψ, pbi ψ) =
Z
ψ ∗ (~r) − ih̄
Z
∂
ψ(~r) d3 x = A∗ (~p) pi A(~r)d3 p
∂xi
5
(45)
1
Operatori e matrici
Sia A un operatore con spettro puramente discreto e finito
A ϕ k = ak ϕ k
k = 1, 2, . . . , N
(46)
Scelta una base di vettori possiamo associare all’operatore A una matrice N xN definita da
Aij = (ϕi , Aϕj )
(47)
La matrice Aij , nella base degli autostati di A é chiaramente diagonale e, supponendo gli autostati
normalizzati ha la forma
Aij = ai δij
(48)
Per esempio nel caso del momento angolare, fissato il valore di l, abbiamo 2l + 1 stati e nella base
degli autostati ϕlm di l~2 e di lz si ha
l~2 lm,l0 m0 , = h̄2 l(l + 1)δll0 δmm0
(lz )lm,l0 m0 = h̄ mδll0 δmm0
(49)
Nella base ϕlm , lx , lx , l+ e l− sono chiaramente matrici con elementi nulli fuori diagonale. Siccome
[l~2 , li ] = 0 si ha (li )lm,l0 m = 0 l 6= l0 . Infatti
(ϕlm , [l~2 , li ] ϕl0 m0 ) = 0 = (ϕlm , l~2 li ϕl0 m0 ) − (ϕlm , li l~2 ϕl0 m0 )
= (h̄2 l(l + 1) − h̄2 l0 (l0 + 1)) (ϕlm , li ϕl0 m0 )
(50)
Esempio: Fissato l = 1 abbiamo

||lx || = h̄ 


||ly || = h̄ 

2
√
0√ 1/ 2
0√
1/ 2
0√ 1/ 2
0
1/ 2
0
√
0√ −i/ 2
0√
i/ 2
0
−i/ 2
√
0
i/ 2
0






Algebra dei commutatori
Definiamo commutatore di due operatori, indicato con [, ] la seguente espressione
[A, B] ≡ AB − BA = −[B, A]
(51)
Calcoliamo il commutatore di xi e pj (i, j = 1, 2, 3, x1 , x2 , x3 ≡ x, y, z)
"
#
!
∂
∂
∂
[xi , pj ] ψ(~x) = −ih̄ xi ,
ψ(~x) = −ih̄ xi
−
xi ψ(~x)
∂xj
∂xj
∂xj
!
∂
∂
= −ih̄ xi
ψ(~x) − δij ψ(~x) − xi
ψ(~x)) = ih̄ δij ψ(~x)
∂xj
∂xj
6
(52)
La relazione eq.(52) vale per ogni funzione ψ(~x), quindi possiamo scrivere una uguaglianza operatoriale
[xi , pj ] = ih̄ δij
(53)
Valgono le seguenti identitá
[pi , A] = ih̄
∂
A
∂xi
[xi , A] = ih̄
∂
A
∂pi
(54)
[xi , F (~x)] = 0
[pi , F (~p)] = 0
(55)
[xi , F (xj )] = 0
[pi , F (pj )] = 0
(56)
∂
∂
F
[pi , F (pj )] = −ih̄
F
∂xi
∂pi
[A, BC] = [A, B] C + B [A, C]
[xi , F (xj )] = ih̄
[AB, CD] = A[B, C] D + AC[B, D] + [A, C] BD + C [A, D] B
[A, B n ] =
n
X
B k [A, B] B n−k−1
(57)
(58)
(59)
(60)
k=0
Identitá di Jacobi
[A, [B, C]] + [C, [A, B]] + [B, [C, A]] = 0
Esercizio: Calcolare il commutatore degli operatori:
3
d2
dx2
d
e xk ; x dx
e
d2
dx2
(61)
.
Prodotto tensoriale di due Spazi
Siano H1 e H2 due spazi lineari:
Definizione - Lo spazio H prodotto tensoriale (denotato con il simbolo ⊗ ) degli spazi H1 e H1
(H = H1 ⊗ H2 ) é formato dai vettori
ψ = ψ1 ⊗ ψ2 ≡ ψ1ψ2 = ψ2ψ1
ψ i ∈ Hi
(62)
Il prodotto tensoriale é distributivo rispetto alla somma
Ψ1 = aψ 1 + bϕ1
Ψ2 = aψ 2 + bϕ2
Ψ1 ψ 2 = aψ 1 ψ 2 + bϕ1 ψ 2
ψ 1 Ψ2 = aψ 1 ψ 2 + bψ 1 ϕ2
−→
−→
(63)
(64)
Le dimensioni di H é il prodotto delle dimensioni di H1 e H2 . Ad ogni operatore Ai definito sullo
spazio Hi associamo un operatore definito sullo spazio tensore che opera come l’operatore Ai sul
vettore ψ i e come l’identitá 1 sull’altro spazio: Esempio
A1 ψ 1 = ξ 1
−→
A = A1 ⊗ 1 ≡ A 1
:
Aψ = ξ = ξ 1 ψ 2
(65)
Gli operatori nei due spazi commutano tra di loro
[A1 , A2 ] = 0
(66)
A1 A2 ψ = A2 A1 ψ = A1 A2 ψ 1 ψ 2 = (A1 ψ 1 )(A2 ψ 2 )
(67)
Quindi di ha
7
4
Richiami di statistica
Definizione -Il momento N -mo di una funzione di distribuzione W (x) é
Z
N
< x >=
∞
xN W (x)dx
(68)
−∞
Definizione - La funzione caratteristica di una funzione di distribuzione W (x) é
χ(k) =
Z
∞
eixk W (x)dx
(69)
−∞
χ(k) é la trasformata di Fourier di W (x) ed, in termini dei momenti si scrive
χ(k) =
X (−i)n
n
5
n!
k n < xn >
(70)
Richiami sulla funzione di Dirac
Rappresentazione
1 Z ∞ ikx
δ(x) =
e dk
2π −∞
Z
δ(x) f (x) dx = f (0)
(72)
δ(x − x0 ) dx = 1
(73)
δ(x − y) δ(y − x0 ) dy = δ(x − x0 )
(74)
Z
Z
(71)
δ(ax) =
1
δ(x)
|a|
δ(−x) = δ(x)
(75)
La derivata n-ma della funzione δ(x) (δ (n) (x)) é definita da
Z
δ (n) (x) f (x) dx = (−1)n f (n) (0) = (−1)n
dn x
f |x=0
dxn
δ (n) (x) = (−1)n δ (n) (−x)
i Z∞
0
(1)
δ (x) = δ (x) =
k eikx dk
2π −∞
Z
0
0
δ (x − y) δ(y − x0 ) dy = δ (x − x0 )
(76)
(77)
(78)
(79)
Rappresentazione in tre dimensioni
δ(~x) =
1 Z ∞ Z ∞ Z ∞ i~k·~x 3
e dk
(2π)3 −∞ −∞ −∞
δ 3 (~r − r~0 ) = δ(x − x0 )δ(y − y 0 )δ(z − z 0 )
1
= 2 δ(r − r0 )δ(cos θ − cos θ0 )δ(ϕ − ϕ0 )
r
8
(80)
(81)