1 Il paradosso del gatto di Schrödinger

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Il paradosso del gatto di Schrödinger
by extrabyte
Abstract. Una descrizione del paradosso del gatto di Schrödinger
1.1
Introduzione
Riportiamo velocemente i postulati della Meccanica Quantistica
1. Ad un sistema quantistico S associamo uno spazio di Hilbert H; lo stato di S
è descritto da un vettore unitario di H che nel formalismo di Dirac si scrive:
|α, ti
(1)
|||α, ti||2 = |hα, t|α, ti|2 = 1, ∀t ∈ (−∞, +∞)
(2)
Per quanto detto:
la funzione d’onda nello spazio delle coordinate è:
ψ (x, t) = hx|αi ,
che è soluzione dell’equazione di Schrödinger:
−
ℏ2 2
∂
∇ ψ (x, t) + V (x) ψ (x, t) = ih ψ (x, t)
2m
∂t
(3)
Si osservi che la (3) può essere scritta in termini operatoriali:
Ĥ |α, ti = iℏ
∂
|α, ti ,
∂t
(4)
essendo Ĥ l’operatore hamiltoniano di S.
2. Ogni osservabile è rappresentata da un operatore hermitiano definito in H. In
simboli, all’osservabile A corrisponde l’operatore hermitiano Â. Senza perditadigeneralità supponiamo che Â sia dotato di spettro puramente discreto:
σ Â = σd . Scriviamo l’equazione agli autovalori:
Â |ak i = ak |ak i , con k = 1, 2, ..., N ≤ +∞
hak |ak′ i = δkk′
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Il sistema {|ak i} è un sistema ortonormale completo, per cui:
N
X
|α, ti =
c (t) |ak i
(5)
k=1
Passando alla funzione d’onda:
ψ (x, t) =
N
X
ck (t) uk (x) ,
(6)
k=1
dove le uk (x) sono le autofunzioni di A.
Come è noto:
P (A = ak , t) = |ck (t)|2 ,
(7)
cioè la probabilità di osservare il valore ak al tempo t, è pari al modulo quadro
del k-esimo coefficiente dello sviluppo in serie di autofunzioni.
3. Se al tempo t = t∗ eseguiamo una misura dell’osservabile A, il vettore di stato
collassa in uno dei suoi autovettori:
|α, t∗ i −→ |an i , con n ∈ {1, 2, ..., N }
misA
Il valore di A è pari all’autovalore an corrispondente all’autovettore |an i. Per
t ≥ t∗ è:
|α, t ≥ t∗ i = |an i
fino ha quando
i non verrà eseguita una misura di una seconda osservabile B tale
che Â, B̂ 6= 0̂.
In termini di funzioni d’onda:
ψ (x, t∗ ) −→ un (x)
misA
(8)
ψ (x, t ≥ t∗ ) = un (x)
Il postulato 3 assegna un ruolo fondamentale all’operazione di misura, o ciò che
è lo stesso, allo strumento di misura. Più precisamente, l’interazione tra il sistema S
e lo strumento di misura Σ, determina il collasso della funzione d’onda (8).
2
Secondo l’intepretazione di Copenaghen un’operazione di misura è fondamentalmente una “registrazione” di alcuni segnali caratteristici derivanti dall’interazione tra
S e Σ. In particolare Σ registra una traccia permanente che ci permette di identificare il processo osservato. La formazione di tale traccia è un processo macroscopico
irreversibile.
Si osservi che tale interpretazione offre il fianco ad alcune critiche, prime tra
tutte la seguente: gli eventi submicroscopici dipenderebbero da processi irreversibili
che - come è noto - caratterizzano i sistemi macroscopici. Viceversa, nella cornice
concettuale della meccanica statistica, i processi termodinamici sono generati dal
comportamento collettivo di un gran numero di microoggetti. In altre parole, sono i
processi macroscopici che dipendono da quelli microscopici e non viceversa.
1.2
La teoria della misurazione di Von Neumann
Qui il processo di misura è una interazione tra S e Σ, e la legge di evoluzione del
sistema composito S + Σ è data dall’equazione di Schrödinger.
Esaminiamo il caso speciale in cui S si trova nell’autostato un (x), mentre Σ si
trova nello stato v0 (y). Risulta:
Ψ (x, y, t) = un (x) v0 (y) ≡ Ψ (x, y) ,
essendo Ψ (x, y, t) la funzione d’onda di S + Σ.
Eseguendo una misura di A:
un (x) v0 (y) −→ un (x) vn (y)
misA
Abbiamo cioè una corrispondenza biunivoca tra gli autostati di S e quelli di Σ.
Diversamente, se S si trova in uno stato di sovrapposizione:
ψ (x, t) =
N
X
ck (t) uk (x) ,
k=1
è facile rendersi conto che:
Ψ (x, y, t) = v0 (y) ψ (x, t) =
N
X
ck (t) uk (x) v0 (y)
k=1
Eseguendo una misura di A, in forza della corrispondenza biunivoca tra gli
autostati di A e quelli di Σ, dovrà aversi:
3
N
X
ck (t) uk (x) v0 (y) −→
misA
k=1
N
X
ck (t) uk (x) vk (y) ,
k=1
giacché all’autostato uk (x) corrisponde l’autostato vk (y).
In tal caso Σ viene a trovarsi in una sovrapposizione degli autostati v1 (y) , v2 (y) , ...
In linea di principio, per determinare lo stato di Σ occorre un secondo strumento di
misura Σ1 che a sua volta verrà a trovarsi in una sovrapposizione di stati del tipo
w1 (z) , w2 (z) , .... Lo stato potrà essere determinato univocamente solo iterando tale
procedimento, generando cosı̀ una successione infinita:
Σ, Σ1 , Σ2 , ...
(9)
Tale successione include gli organi di senso nonchè il sistema nervoso dell’osservatore, la cui facoltà di introspezione (coscienza) permette di determinare il proprio
stato. Quindi solo postulando l’esistenza di un Io che osserva è possibile dotare la
(9) di un estremo superiore.
Si osservi che le difficoltà interpretative nascono dalla presenza di termini interferenziali nello sviluppo di |Ψ|2 :
|Ψ|2 ∝ |vk (y)| |vk′ (y)|
Se tali termini intereferenziali sono trascurabilmente piccoli (|vk (y)| |vk′ (y)| ≪ 1)
non si pone più il problema della sovrapposizione degli stati di Σ.
1.3
Il paradosso del gatto di Schödinger
È una conseguenza della teoria della misurazione di Von Neumann.
Esercizio
Sia G un gatto posto in una stanza chiusa. Nella stanza c’è un contatore Geiger
Ω contenente un atomo di uranio. Il circuito del contatore è poi collegato ad un
recipiente contenente gas tossico. La disintegrazione dell’atomo di uranio (processo
quantistico) fa scattare Ω, il quale grazie al circuito apre il recipiente del gas tossico.
Si determini lo stato (vivo o morto) del gatto dopo che è trascorso un giorno.
Soluzione
Sia Ψ (x, y, t) la funzione d’onda del sistema G + Ω + S, essendo S il sistema
quantistico composto dall’atomo di uranio. Le autofunzioni di G sono:
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v1 (y) corrispondente allo stato di gatto vivo
v2 (y) corrispondente allo stato di gatto morto
Ψ (x, y, t) =
2
X
ck (t) uk (x) vk (y)
k=1
Prima di guardare nella stanza, G si trova in una sovrapposizione dei due stati
v1 (y) e v2 (y). Per quanto detto, tali autostati sono in corrispondenza biunivoca con
gli autostati del sistema quantistico:
particella emessa u1 (x) ←→ v1 (y)
particella non emessa u2 (x) ←→ v2 (y)
la grandezza fisicamente significativa è |Ψ|2 ; tale grandezza contiene termini
interferenziali del tipo:
|v1 (y)| |v2 (y)|
(10)
L’atto di osservare nella stanza (da parte di un osservatore cosciente) determina
il collasso della funzione d’onda di G:
2
X
vk (y) −→ vn (y) , con n ∈ {1, 2}
k=1
Per quanto detto nella sezione precedente il paradosso è generato dai termini
interferenziali (10) che compaiono nello sviluppo di |Ψ|2 :
|Ψ|2 ∝ |c1 (t)|2 |u1 (x)|2 |v1 (y)|2 +|c2 (t)|2 |u2 (x)|2 |v2 (y)|2 +2 |c1 (t)| |c2 (t)| |v1 (y)| |v2 (y)|
Quindi se |v1 (y)| |v2 (y)| ≪ 1
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