Equazione di Schrödinger
Ψ (x,t)
Ψ (x,t) +V(x) Ψ (x,t)=i
t
ĤΨ =i
Ĥ
=
Ψ
t
+V
Qui x può indicare coordinate spaziali in 1,2 o 3 dimensioni
Ψ (x,t)
Ψ (x,t) +V(x) Ψ (x,t)=i
t
Ψ (x,t)≡ Φ (x)f(t) ⇒
f(t)
mi limito a studiare le soluzioni
separabili, i.e. stazionarie
.
Φ (x) +V(x)f(t) Φ (x) =i Φ (x) f(t)
f(t)
1
Φ (x)
.
Φ (x) +V(x)f(t) Φ (x) =i Φ (x) f(t)
Φ (x) + V(x) =i
.
f(t)
f(t)
Funzione solo di t: b(t)
Funzione solo di x: a(x)
Deve valere a(x)=b(t)=const≡E (derivare x credere)
.
f(t)
-i
f(t) = E
t
df(t’)
f(t’)
0
df(t’)
f(t’)
-i
= Edt’
t
-i Edt’ → f(t)=e
=
-i
Et
0
(Ci sarebbe una costante, ma la “assorbiamo” nella Φ, tanto ci interessa il prodotto
Φf). Già, ma E come lo calcolo?
1
Φ (x)
Φ (x) + V(x)=E⇒
Φ (x) + V(x)Φ (x)=E Φ (x)
ĤΦ (x)=E Φ (x)
Trovo E risolvendo il problema agli autovalori per Ĥ, o
“risolvendo l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo”
Indicizzo con n le possibili autofunzioni:
-i
Ĥ Φn(x) =E n Φ n(x);
Ψn (x,t)= Φ n(x) e
L’equazione di Schrödinger è lineare, per cui anche la seguente
combinazione lineare è soluzione dell’equazione:
-i
Ψ (x,t)=∑ncn Φn(x) e
Si dimostra che questa è proprio la soluzione più generale
En t
En t
-i
Ψ (x,t)=∑ncn Φn(x) e
i
=∑n
Ψ=
t
cn Φn(x) i
-i
-i
En
En t
En t
-i
e =∑n cn En Φn(x) e
En t
-i
Ψ (x,t)=∑ncn Φn(x) e
-i
i
Ψ =∑n cn En Φn(x) e
t
Osservazione:
Ψ (x,0)=∑ncn Φn(x)
En t
En t
=
Ψ (x,t)
Ĥ
Schema risolutivo tipico:
a. Risolvo l’equazione agli autovalori (CHIAVE)
b. Costruisco la soluzione generale dipendente dal tempo
c. Assegnata la soluzione a t=0 trovo i cn (vedremo meglio
come)
-i
Ψ (x,t)=∑ncn Φn(x) e
Ψ (x,0)=∑ncn Φn(x)
En t
Proprietà delle soluzioni stazionarie
-i
Ψn (x,t)= Φ n(x) e
| Ψn
2
(x,t)| =
En t
(Oss. Notare che anche la
è autofunzione di Ĥ)
*
Ψn (x,t) Ψn (x,t) = | Φn (x) |
La densità di probabilità di trovare la particella attorno a x è
indipendente dal tempo. Ne consegue che
2dx=
(x,t)|
| Ψn
|Φn (x)|2dx=1
2
Ψn(x,t)
Proprietà delle soluzioni stazionarie
-i
En t
Ψn (x,t)= Φ n(x) e
Meccanica classica: le osservabili fisiche del sistema sono
funzione della coppia (x,p) nello spazio delle fasi, che specifica
lo stato del sistema. (Tipicamente, en. potenziale dipendente da
x, energia cinetica dipendente da p)
Proprietà delle soluzioni stazionarie
-i
En t
Ψn (x,t)= Φ n(x) e
Meccanica quantistica: le osservabili fisiche sono rappresentate
^ ^ funzioni di (x,p).
dai valori di aspettazione di opportuni operatori,
Es: hamiltoniana. Ora, qualunque forma abbiano tali
operatori Â(x,p),^ essi
^ non dipendono dal tempo (parliamo di
sistemi isolati, hamiltoniane indipendenti dal tempo)
Proprietà delle soluzioni stazionarie
-i
^ ^
Â(x,p)
Φn(x) e
-i
En t
En t
^
= e Â(x,p)
^
Φn(x)
Ne consegue che il valore di aspettazione di un qualunque operatore
rappresentativo di un’osservabile fisica è indipendente dal tempo, se
calcolato su uno stato stazionario. Infatti:
i
^ ^
<Â(x,p)
>
≡
*
En t
-i
^ ^
Â(x,p)
e
Φ n(x)
Φ n(x) e
En t
dx
Proprietà delle soluzioni stazionarie
i
^ ^
Â(x,p)
<
<
^ ^
Â(x,p)
>
≡
En t
*
-i
^ ^
Â(x,p)
e
Φn(x)
Φ n(x) e
*
>= Φn(x)
Â(x,p) Φ n(x) dx
indipendente dal tempo
En t
dx
Proprietà delle soluzioni stazionarie: Â=Ĥ
*
*
<
>= Φn(x)Ĥ Φn(x) dx =E n Φn (x) Φn(x) dx
Ĥ
<
>=E n
Ĥ
*
2
< 2
<(Ĥ- >)>= Φn (x) ( Ĥ- E n ) Φn(x) dx
Ĥ
*
2
< 2
<(Ĥ- >)>= Φn (x) ( Ĥ- E n ) Φn(x) dx
Ĥ
Ĥ2-2ĤEn+En2
(I) (II) (III)
(I)=
(II)=
2
*
Φn(x)Ĥ ĤΦn (x) dx = E n
-2E
*
n
2
Φn(x)Ĥ Φn (x) dx = -2E n =III
2
<
2
σ H= <(Ĥ- >)>=0
Ĥ
2
<
2
σ H= <(Ĥ- >)>=0
Ĥ
Ogni misura di energia in uno stato stazionario dà con
certezza il valore corrispondente al valore medio.
Se ripeto tante volte la stessa misura devo ottenere (salvo
errori sperimentali) sempre lo stesso risultato.
Abbiamo visto che per una soluzione stazionaria
-i E1t
Ψ1 (x,t)= Φ 1(x) e
la densità di probabilità
è indipendente dal tempo.
ATTENZIONE: Questo non è vero per una soluzione QUALUNQUE
dell’equazione di Schrödinger!
Esercizio: Si calcoli la densità di probabilità per la funzione
d’onda Ψ (x,t) data dalla combinazione lineare degli stati
stazionari
(x,t). Si considero tutte e tre le funzioni d’onda reali
Ψ1 (x,t) e Ψ2
-i Eit
Ψ (x,t)= Φ (x) e
i
i
i=1,2
Si considero tutte e tre le funzioni d’onda reali
(ok, ma solo alla fine)
Ψ (x,t)=c1 Ψ1 (x,t)+ c2 Ψ (x,t) ed è soluzione dell’equazione
2
di Schrödinger
|Ψ
(x,t)|2=
*
Ψ (x,t) Ψ (x,t)
* *
* *
=(c1 Ψ1 +c2Ψ2 )x
(c1Ψ1 +c2 Ψ2 )
-i Eit
Ψ (x,t)= Φ (x) e
i
i
|Ψ
(x,t)|2=
*
Ψ (x,t) Ψ (x,t)
i=1,2
* *
* *
=(c1 Ψ1 +c2Ψ2 )x
(c1Ψ1 +c2 Ψ2 )
| Ψ (x,t)|2= | c1|2 |Ψ 1|2 +| c2|2 |Ψ2|2 +c*1c2 Ψ1* Ψ2 +c1c2* Ψ Ψ *
1 2
i (E1-E2)t
| Ψ (x,t)|2= | c1|2 |Φ 1|2 +| c2|2 |Φ2|2 +c*1c2 Φ1* Φ2 e +c1c*2 Φ1 Φ2* e
indipendente da t
i (E2-Ei)t
Si considero tutte e tre le funzioni d’onda reali
...
i (E1-E2)t
| Ψ (x,t)|2=
| Ψ (x,t)|2=
| Ψ (x,t)|2=
c12 Φ 12 + c22 Φ 22
+c1c2 Φ1 Φ2 e +c1c2 Φ Φ e
1
2
c12 Φ12 + c22 Φ 22 +c1c2 Φ Φ ( eiϑ+e-iϑ); ϑ=
1 2
c12 Φ12 + c22 Φ 22 +2c1c2 Φ1 Φ2
indipendente da t
i (E2-Ei)t
cos[(E1-E2)t/ ]
Probabilità oscillante
(E1-E2)t/
| Ψ (x,t)|2=
c12 Φ12 + c22 Φ 22 +2c1c2 Φ1 Φ2
>
<Ψ|Â(x,p) Ψ
cos[(E1-E2)t/ ]
In generale sarà dipendente dal tempo se
la
NON è stazionaria.
Ψ
Se invece è indipendente dal tempo, allora l’operatore  è
associato a una COSTANTE DEL MOTO (lo faremo)
Data una soluzione dell’equazione di Schrödinger,
l’interpretazione probabilistica mi dice che:
| Ψ (x,t)|2dx = 1
Se considero una soluzione stazionaria
-i
Et
Ψ (x,t)= Φ (x) e
|
Φ(x)|2dx = 1
Dimentichiamoci pure della dipendenza dal tempo
|
Φ(x)|2dx = 1
Φ
Obiettivo: ambientare le all’interno di un’opportuna struttura
algebrica.
Sicuramente deve avere senso effettuare combinazioni lineari
delle funzioni d’onda, così come calcolare il loro prodotto interno
(e, di conseguenza, la loro norma). E’ chiaro che l’ambiente
giusto per effettuare tali operazioni è uno spazio di Hilbert. Per
costruirlo mi serve uno spazio vettoriale, e una buona
definizione di prodotto interno.
|
Φ(x)| dx = 1
2
Considero l’insieme delle funzioni a quadrato integrabile sul
dominio necessario. Solitamente tutto Ri, ma potrebbe essere
anche un intervallo.
Φ
2
(x) tali che
| Φ(x)| dx < ∞
(In 3D dx=dxdydz; x=(x,y,z))
Oss: non chiedo che l’integrale del modulo quadro
della funzione sia = 1. Non avrei uno spazio vettoriale.
+∞
2
L (R)={ Φ
(x) tali che
}
2
| Φ(x)| dx < ∞
-∞
b
2
Φ
L (a,b)={
(x) tali che
}
2
| Φ(x)| dx < ∞
a
∞ ∞ ∞
2
3
Φ
L (R )={
(x,y,z) tali che
-∞ -∞ -∞
| Φ(x,y,z)|
}
2
dxdydz < ∞
Per le dimostrazioni ci accontentiamo di lavorare in 1D, è tutto
valido in generale.
E’ vero che l’insieme delle funzioni a quadrato integrabile
costituisce uno spazio vettoriale?
Beh, se f è a quadrato integrabile, è ovvio che lo sia anche cf.
Vediamo la somma di due funzioni f e g a quadrato integrabili.
Disuguaglianza di Schwarz in forma integrale
b
b
*
f(x)g(x)dx
a
b
2
≤
f(x)
a
2
dx
g(x)
dx
a
Oss: Evidentemente l’integrale dentro il modulo a sinistra
converge. Ricordiamocelo quando parliamo di prodotto interno ...
Torniamo alla somma di due funzioni. L’integrale del modulo
quadro della somma converge?
2
[f(x)+g(x)] dx=
=
f(x)
2
dx+
*
*
[f(x)+g(x)]
2
g(x) dx+
Convergono per ipotesi
[f(x)+g(x)]
*
*
f(x)g(x)
dx=
dx+
g(x)f(x)
dx
Convergono perchè il modulo dell’integrale
è ≤∞ (Schwarz)
Ok, ora che so che le funzioni a quadrato integrabile formano uno spazio
vettoriale posso definirci sopra un prodotto interno e creare uno spazio di Hilbert
<f|g>≡
*
f(x)g(x)
dx
Oss. La disuguaglianza di Schwarz mi dice subito che l’integrale converge.
Oss. 2 Le proprietà di linearità richieste a un prodotto interno sono garantite
dalla linearità dell’operazione di integrazione.
Oss. 3 E’ anche chiaro che
<g|f>≡
*
f(x)g(x)
dx=
(
*
*
f(x)g(x)
)
dx
=<f|g>
*
<f|g>≡
*
f(x)g(x)
dx
<f|f>≡
2
f(x)
dx
Reale, >0, =0 ↔ f=0
Ok, abbiamo costruito uno spazio di Hilbert.
La norma di un elemento dello spazio è data da
||f|| ≡ <f|f>
La condizione di normalizzazione è espressa
da:
<f|f>=1= ||f||
Ok, abbiamo costruito uno spazio di Hilbert. Nota: la dimensione è infinita!
Se scegliamo una base ortonormale del tipo:
{fn}: <fm|fn>=δm,n
f(x)=∑n cn fn(x)→
<fm|f>=∑ncn<fm|f>=∑ncnδm,n=cm
Valori di aspettazione (in un certo stato) di operatori associati ad osservabili fisiche.
*
<Â>≡ Φ (x)Â Φ (x) dx =<Φ|ÂΦ>
Ma tale valore di aspettazione deve corrispondere al risultato di una misura
compiuta sul sistema, e deve pertanto essere reale.
=<Φ|ÂΦ>=<Φ|ÂΦ>*≡<ÂΦ|Φ>da cui Â=†
Possiamo pertanto enunciare due postulati della Meccanica Quantistica.
Postulati della Meccanica Quantistica.
(i) Ad ogni sistema fisico C è associabile un opportuno spazio di Hilbert. Ogni stato
del sistema fisico può essere rappresentato mediante un opportuno elemento dello
spazio di Hilbert, con norma unitaria. L’evoluzione temporale di tale stato è
determinata dall’Equazione di Schrödinger.
(ii)a Ad ogni osservabile A corrisponde un operatore autoaggiunto  (o hermitiano)
che opera nello spazio di Hilbert associato al sistema.
Esercizio:
Mostrare che se <h|Âh>=<Âh|h> per ogni elemento h dello spazio
di Hilbert, allora è anche vero che per ogni coppia f e g di elementi dello spazio di
Hilbert vale <f|Âg>=<Âf|g> (molti libri danno questa come definizione di operatore
hermitiano, ma è
del tutto equivalente)
Dim
Considero due elementi f,g qualunque dello spazio di Hilbert e considerare h=f+g.
Dovrà valere:
<(f+g)|Â(f+g)>=<Â(f+g)|(f+g)> (i)
Se invece h=f+ig, allora
<(f+ig)|Â(f+ig)>=<Â(f+ig)|(f+ig)> (ii)
Dalla (i)
<f|Âf>+<f|Âg>+<g|Âg>+<g|Âf>=<Âf|f>+<Âg|g>+<Âf|g>+<Âg|f>→
<f|Âg>+<g|Âf>=<Âf|g>+<Âg|f> (iii)
(ii, membro a sx)
<(f+ig)|Â(f+ig)>=<f|Âf>+<f|Âig>+<ig|Âf>+<ig|Âig>
=<f|Âf>+i<f|Âg>-i<g|Âf>+<g|Âg>
(ii, membro a dx)
<Â(f+ig)|(f+ig)>=<Âf|f>+i<Âf|g>-i<Âg|f>+<Âg|g>
(ii sx = ii dx)
<f|Âf>+i<f|Âg>-i<g|Âf>+<g|Âg>=<Âf|f>+i<Âf|g>-i<Âg|f>+<Âg|g>→
<f|Âg>+<g|Âf>=<Âf|g>+<Âg|f> (iii)
<f|Âg>-<g|Âf>=<Âf|g>-<Âg|f> (iv)
(iii)+(iv) .....
2<f|Âg>=2<Âf|g>
Esercizio:
Dimostrare che l’operatore momento in 1D:
^p=-iℏ
x
è autoaggiunto in L2(R), mostrando esplicitamente che
<f|pg>=<pf|g>
^
^
∞
*
<f|pg>=
^
-iℏ
f (x)
x
g (x) dx
pp
-∞
*
∞
∞
*
<f|pg>=
^
-iℏ [ f (x) g (x) ]
+iℏ
-∞
g (x) x f (x) dx
-∞
∞
*
[ f(x) g (x) ]
Siamo in
=0
2
L (R)!
-∞
∞
<f|pg>=
^
+iℏ
*
g (x) x
=<pf|g>
^
(x)
dx
f
-∞
Notare l’importanza
Esercizio:
Dimostrare che l’operatore di posizione in 1D:
^
xf(x)=xf(x)
è autoaggiunto in L2(R)
Esercizio:
Dimostrare che l’operatore di posizione in 1D:
^xf(x)=xf(x)
è autoaggiunto in L2(R). Dato che x è reale ...
∞
*
<f|xg>=
^
f (x) xg (x) dx
Ok, è ovvio, come è ovvio per un qualunque
operatore che moltiplica per una
funzione (a valori reali) V(x).
-∞
∞
^
<xf|g>=
*
x f (x) g (x) dx
-∞
Esercizio:
Dimostrare che l’operatore energia cinetica in 1D:
è autoaggiunto in L2(R). (La costante è reale,
trascuriamola)
Esercizio:
Dimostrare che l’operatore energia cinetica in 1D:
è autoaggiunto in L2(R). (La costante è reale,
trascuriamola)
>=
2
x
<f| g
∞
*
f (x) g’’ (x) dx
∞
=
g’(x)f*(x)
∞
-
2
-∞ -∞
-∞
0
g’(x)f’*(x)
dx
Esercizio:
Dimostrare che l’operatore energia cinetica in 1D:
è autoaggiunto in L2(R). (La costante è reale,
trascuriamola)
>=
2
<f| g
-
x
∞
∞
g’(x)f’*(x)
dx =
-g(x)f’*(x)
-∞
g(x)f’’*(x)
+
2
-∞
-∞
∞
dx
Esercizio:
Dimostrare che l’operatore energia cinetica in 1D:
è autoaggiunto in L2(R). (La costante è reale,
trascuriamola)
>=
2
x
<f| g
-∞
g(x)f’’*(x)
2
∞
=< f| g
dx
>
x
2
Esercizio:
E in 3D? Energia potenziale (è reale ...)
∞
∞
∞
<f|Vg>=
f*(x,y,z)V(x,y,z)g(x,y,z)dxdydz
-∞ -∞ -∞
∞ ∞ ∞
<Vf|g>=
-∞ -∞ -∞
V(x,y,z) f*(x,y,z)g(x,y,z)dxdydz
Esercizio:
E in 3D? Energia cinetica?
∞
∞
∞
<f|
f*(x,y,z)
g>=
-∞ -∞ -∞
g(x,y,z)dxdydz
Esercizio:
E in 3D? Energia cinetica?
∞
∞
∞
<f|
f*(x,y,z)
g>=
g(x,y,z)dxdydz
-∞ -∞ -∞
2
2
g(x,y,z)=
g
2
x
2
g
+
2
y
g
+
2
z
Esercizio:
Risposta: sì, è autoaggiunto, per cui anche l’operatore Ĥ (en. potenziale + cinetica)
è autoaggiunto. Per fortuna!
∞
∞
∞
<f|
f*(x,y,z)
g>=
g(x,y,z)dxdydz
-∞ -∞ -∞
=< f|g>
In 3D la dimostrazione non è una diretta
esternsione di quella in 1D, ci vuole
il teorema della divergenza.
Daremo il risultato per buono.
Abbiamo visto che un autostato dell’hamiltoniana è caratterizzato da un valore certo
dell’energia:
ĤΦ(x)=EΦ(x)⇒
*
<Φ(x)|ĤΦ(x)>= Φ (x)Ĥ Φ (x) dx =E
2
2
<Φ(x)|(Ĥ-<Ĥ>) Φ(x)>≡σ (Ĥ)=0
Vediamo a che condizione porta l’imporre che il valore di
aspettazione di un qualunque operatore  associato a una osservabile fisica (e,
quindi, hermitiano) sia associato a
deviazione standard nulla.
*
<Φ(x)|ÂΦ(x)>= Φ (x)Â Φ (x) dx ≡a
2
σ (Â)=
2
<Φ(x)|(Â-a) Φ(x)>
σ2(Â)= <Φ(x)|(Â-a)2Φ(x)>
=<Φ(x)|(Â-a)(Â-a)Φ(x)>
(se A è hermitiano, allora
anche A-un numero lo è)
=<(Â-a)Φ(x)|(Â-a)Φ(x)>
Ora impongo
da cui
<(Â-a)Φ(x)|(Â-a)Φ(x)>=0
(Â-a)Φ(x)=0⇒
ÂΦ(x)=aΦ(x)
Gli stati in cui una misura di un’osservabile dà sempre lo stesso
risultato sono autofunzioni dell’operatore associato all’osservabile
stessa. Il risultato della misura è l’autovalore.
Estensione di risultati già visti al caso infinito dimensionale.
(Espliciteremo la differenza chiamando gli autovettori “autofunzioni”.)
Teorema 1: Gli autovalori di ogni operatore hermitiano
sono reali
Teorema 2: Dato un operatore hermitiano, le autofunzioni corrispondenti ad autovalori
distinti sono ortogonali.
Le dimostrazioni discusse per il caso finito dimensionale
sono direttamente estendibili.
Teorema 2: Dato un operatore hermitiano, le autofunzioni corrispondenti ad autovalori
distinti sono ortogonali.
In presenza di un autovalore degenere si avranno due o più autofunzioni (linearmente
indipendenti) corrispondenti allo
stesso autovalore. Limitamoci a considerare il caso semplice.
Âf=λf; Âg=λg;
Lo spazio generato da f e g mediante loro combinazioni lineari
è un sottospazio dello spazio di Hilbert totale.
Potrò allora sempre trovare due combinazioni lineari di f e g;
h(x)=af(x)+bg(x); w(x)=cf(x)+df(x) tali per cui <h|w>=0, ovvero
(ad esempio con la procedura di Gran-Schmidt) ortogonali tra loro. Sottointendendo di
effettuare questa procedura per ogni
autovalore, il Teorema qui sopra riportato può essere inteso come
valido senza specificare “corrispondenti ad autovalori distinti”.
P.S. E’ chiaro che interessano solo autofunzioni linearmente
dipendenti relative allo stesso autovalore. Di linearmente
dipendenti ne ho quante ne voglio ...
Âf(x)=λf(x); Âg(x)=λg(x);
h(x)=αf(x)+βg(x)
Âh(x)=Â(αf(x)+βg(x))=λαf(x)+λβg(x)=λ[αf(x)+βg(x)]. Ogni combinazione lineare di
autofunzioni relative allo stesso
autovalore è ancora una autofunzione relativa allo stesso
autovalore.
Il principio di indeterminazione generalizzato. Dati due operatori
 e Ĉ associati a due osservabili (e quindi hermitiani):
σ2(Â)
=<(Â-<Â>)Φ|(Â-<Â>)Φ>
σ2(Ĉ)
=<(Ĉ-<Ĉ>)Φ|(Ĉ-<Ĉ>)Φ>
Semplifico la notazione introducendo
f= (Â-<Â>)Φ; g= (Ĉ-<Ĉ>)Φ per cui
σ2(Â)=<f|f>; σ2(Ĉ)=<g|g>
Parte 1: dimostriamo che
σ2(Â)σ2(Ĉ) ≥ |<f|g>|2 ≥[(1/2i)(<f|g>-<g|f>)]2
La diseguaglianza di Schwarz assicura che:
σ2(Â)σ2(Ĉ)=<f|f><g|g> ≥ |<f|g>|2
Osservazione (ovvia ma utile). Dato z∈C,
|z|2=[Re z]2+[Im z]2≥[Im z]2=[(1/2i)(z-z*)]2➞
σ2(Â)σ2(Ĉ) ≥ |<f|g>|2 ≥ [(1/2i)(<f|g>-<g|f>)]2
Parte 2: dimostriamo che
<f|g>= <ÂĈ>-<Â><Ĉ>
Parte 2: dimostriamo che
<f|g>= <(Â-<Â>)Φ)|(Ĉ-<Ĉ>)Φ>=
=<Φ|(Â-<Â>)(Ĉ-<Ĉ>)Φ>
=<ÂĈ>-<Ĉ><Â>-<Â><Ĉ>+<Â><Ĉ> cvd
(occhio al formalismo, <ÂĈ>≡<Φ|ÂĈΦ>; si gioca sulla doppia accezione
“valore medio” e “prodotto interno”, che hanno la stessa simbologia. In
questo contesto è giustificato. Se non devo fare conti “strani”, mi “dimentico”
di esplicitare la Φ.
<f|g>=<ÂĈ>-<Ĉ><Â>;
<f|g>*=<g|f>=<ĈÂ>-<Ĉ><Â>;
i valori si aspettazione sono reali
<f|g>-<g|f>=<ÂĈ>-<ĈÂ>=<ÂĈ-ĈÂ>≡<[Â,Ĉ]>
e mettendo tutto insieme ....
Principio di indeterminazione generalizzato
Presa una coppia qualunque di osservabili A e C di un
sistema, e considerati gli operatori ad esse associati:
σ2(Â)σ2(Ĉ)
≥
[(1/2i)<[Â,Ĉ]>]2
σ2(Â)σ2(Ĉ)
≥
[(1/2i)<[Â,Ĉ]>]2
Oss. (la verificheremo con esempi pratici): il commutatore è tipicamente un numero
immaginario (al limite 0), per cui la i si
cancella.
σ2(Â)σ2(Ĉ)
≥
[(1/2i)<[Â,Ĉ]>]2
Esercizio: esplicitare il principio di indeterminazione per la coppia
di operatori posizione-momento in 1D.
^
Â=x;
Ĉ=-iℏ
x
σ2(Â)σ2(Ĉ)
≥
[(1/2i)<[Â,Ĉ]>]2
Esercizio: esplicitare il principio di indeterminazione per la coppia
di operatori posizione-momento in 1D.
(ÂĈ)Φ(x)= -iℏxΦ’(x)
(ĈÂ)Φ(x)=-iℏ
xΦ(x)=-iℏΦ(x)-iℏxΦ’(x)
x
^ 2(p)^ ≥
σ2(x)σ
^ ^2
[(1/2i<[x,p]>]
Esercizio: esplicitare il principio di indeterminazione per la coppia
di operatori posizione-momento in 1D.
^^ ^^
(xp-px)Φ(x)=
iℏΦ(x);
^^
[x,p]=iℏ
Posizione e momento in 1D (o, in 3D purchè consideri uguali componenti) NON sono
osservabili COMPATIBILI. Una delle
conseguenze importanti è che NON posso avere uno stato determinanto in entrambe le
osservabili, infatti:
^ 2(p)^ ≥
σ2(x)σ
da cui: σxσp
≥ ℏ/2
[ℏ/2]2
