Equazioni - I blog di Unica

Equazioni
Una equazione è una espressione del tipo:
ε = δ,
dove ε e δ sono termini di un linguaggio algebrico, e possono contenere
numeri, variabili, operazioni, . . .
Equazioni
Novembre 2013
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Equazioni
Una equazione è una espressione del tipo:
ε = δ,
dove ε e δ sono termini di un linguaggio algebrico, e possono contenere
numeri, variabili, operazioni, . . .
Le equazioni che studieremmo adesso sono le equazioni (polinomiche) di
primo e secondo grado.
I
Equazioni di grado 1: aX + b = 0.
I
Equazioni di grado 2: aX 2 + bX + c = 0.
Equazioni
Novembre 2013
1 / 17
Equazioni
Una equazione è una espressione del tipo:
ε = δ,
dove ε e δ sono termini di un linguaggio algebrico, e possono contenere
numeri, variabili, operazioni, . . .
Le equazioni che studieremmo adesso sono le equazioni (polinomiche) di
primo e secondo grado.
I
Equazioni di grado 1: aX + b = 0.
I
Equazioni di grado 2: aX 2 + bX + c = 0.
Principio fondamentale
Se entrambi i due membri di una equazione vengono modificate nello stesso
modo, allora l’uguaglianza si preserva.
Equazioni
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Regole mnemoniche
“Quello che sta sommando in un membro passa restando all’altro.”
/
ε+A=δ
/
ε=δ+A
Equazioni
ε=δ−A
ε−A=δ
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Regole mnemoniche
“Quello che sta sommando in un membro passa restando all’altro.”
/
ε=δ−A
ε+A=δ
/
ε−A=δ
ε=δ+A
“Quello che sta restando in un membro passa sommando all’altro.”
/
ε−A=δ
/
ε=δ−A
Equazioni
ε=δ+A
ε+A=δ
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Regole mnemoniche
“Quello che sta moltiplicando un membro passa dividendo l’altro.”
/
A·ε=δ
/
ε=A·δ
Equazioni
ε=
1
δ
A
1
ε=δ
A
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Regole mnemoniche
“Quello che sta moltiplicando un membro passa dividendo l’altro.”
/
A·ε=δ
/
ε=A·δ
ε=
1
δ
A
1
ε=δ
A
“Quello che sta dividendo un membro passa moltiplicando l’altro.”
1
ε=δ
A
ε=
1
δ
A
/
ε=A·δ
/
Equazioni
A·ε=δ
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Giustificazioni
ε+A=δ
(1)
ε+A−A=δ−A
(2)
ε+0=δ−A
(3)
ε=δ−A
(4)
Equazioni
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Giustificazioni
ε+A=δ
(1)
ε+A−A=δ−A
(2)
ε+0=δ−A
(3)
ε=δ−A
(4)
A·ε=δ
1
1
A·ε= δ
A
A
A
1
·ε= δ
A
A
1
1·ε= δ
A
1
ε= δ
A
Equazioni
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
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Equazioni di grado 1
aX + b = 0
La soluzione di aX + b = 0 è
X=
−b
.
a
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Equazioni di grado 1
aX + b = 0
La soluzione di aX + b = 0 è
Effettivamente, aX + b = 0
X=
/
−b
.
a
aX = −b
Equazioni
/
X=
−b
.
a
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Equazioni di grado 1
aX + b = 0
La soluzione di aX + b = 0 è
Effettivamente, aX + b = 0
X=
/
−b
.
a
aX = −b
/
X=
−b
.
a
Esempi
2(X + 5) + 4 = 32X − 3
X − 5 = −10X − 3(X − 1)
2X + 10 + 4 = 32X − 3
2X − 32X = −3 − 10 − 4
X − 5 = −10X − 3X + 3
X + 10X + 3X = 3 + 5
−30X = −17
−17
X=
−30
17
X=
30
14X = 8
8
X=
14
4
X=
7
Equazioni
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Equazioni di grado 2
aX 2 + bX + c = 0
Le soluzioni generali della equazione aX 2 + bX + c = 0 sono date dalla
formula:
√
−b ± b2 − 4ac
.
X=
2a
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Equazioni di grado 2
aX 2 + bX + c = 0
Le soluzioni generali della equazione aX 2 + bX + c = 0 sono date dalla
formula:
√
−b ± b2 − 4ac
.
X=
2a
Esempio
(2X + 1)2 = 3X + 3
4X 2 + 4X + 1 = 3X + 3
4X 2 + 4X − 3X + 1 − 3 = 0
4X 2 + X − 2 = 0
p
1 − 4(4)(−2)
√ 2·4
−1 ± 33
X=
8
X=
Equazioni
−1 ±
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Casi particolari dell’equazione di secondo grado
Caso aX 2 + bX = 0
Le soluzioni sono
X=0
e
X=
−b
.
a
Equazioni
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Casi particolari dell’equazione di secondo grado
Caso aX 2 + bX = 0
Le soluzioni sono
X=0
e
X=
−b
.
a
Prima giustificazione:
Se
aX 2 + bX = 0 allora
X(aX + b) = 0. Quindi
X = 0 oppure aX + b = 0,
perché un prodotto è nullo soltanto se alcuno dei fattori e nullo.
Equazioni
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7 / 17
Casi particolari dell’equazione di secondo grado
Caso aX 2 + bX = 0
Le soluzioni sono
X=0
e
X=
−b
.
a
Prima giustificazione:
Se
aX 2 + bX = 0 allora
X(aX + b) = 0. Quindi
X = 0 oppure aX + b = 0,
perché un prodotto è nullo soltanto se alcuno dei fattori e nullo.
Seconda giustificazione:
Secondo la formula, le soluzioni di aX 2 + bX = 0 sono

−b + b
0

√
√

=
= 0,

2
2
−b ± b − 4a · 0
−b ± b
−b ± b
2a
2a
X=
=
=
=

2a
2a
2a

 −b − b = −2b = −b .
2a
2a
a
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Casi particolari dell’equazione di secondo grado
Caso aX 2 + c = 0
Le soluzioni sono
r
−c
X=±
.
a
Equazioni
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Casi particolari dell’equazione di secondo grado
Caso aX 2 + c = 0
Le soluzioni sono
r
−c
X=±
.
a
Prima giustificazione:
Se
aX 2 + c = 0 allora
aX 2 = −c, e pertanto X 2 =
r
X=±
Equazioni
−c
. Quindi
a
−c
.
a
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Casi particolari dell’equazione di secondo grado
Caso aX 2 + c = 0
Le soluzioni sono
r
−c
X=±
.
a
Prima giustificazione:
Se
aX 2 + c = 0 allora
aX 2 = −c, e pertanto X 2 =
r
X=±
−c
. Quindi
a
−c
.
a
Seconda giustificazione:
Secondo la formula, le soluzioni di aX 2 + c = 0 sono
r
r
√
√
−0 ± 02 − 4ac
± −4ac
−4ac
−c
X=
=
=±
=±
.
2a
2a
4a2
a
Equazioni
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8 / 17
Il discriminante
Notiamo che la soluzione generale di una equazione di secondo grado della
forma aX 2 + bX + c = 0 dipende del numero b2 − 4ac. Questo numero si
chiama il discriminate dell’equazione e spesso si denota per ∆.
Equazioni
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Il discriminante
Notiamo che la soluzione generale di una equazione di secondo grado della
forma aX 2 + bX + c = 0 dipende del numero b2 − 4ac. Questo numero si
chiama il discriminate dell’equazione e spesso si denota per ∆.
Esempio
I
Il discriminante di
2X 2 + 4 = 0
è
Equazioni
∆ = 02 − 4 · 2 · 4 = −32.
Novembre 2013
9 / 17
Il discriminante
Notiamo che la soluzione generale di una equazione di secondo grado della
forma aX 2 + bX + c = 0 dipende del numero b2 − 4ac. Questo numero si
chiama il discriminate dell’equazione e spesso si denota per ∆.
Esempio
I
I
Il discriminante di
Il discriminante di
2X 2 + 4 = 0
è
2
X − 4X + 4 = 0
Equazioni
∆ = 02 − 4 · 2 · 4 = −32.
è
∆ = (−4)2 − 4 · 1 · 4 = 0.
Novembre 2013
9 / 17
Il discriminante
Notiamo che la soluzione generale di una equazione di secondo grado della
forma aX 2 + bX + c = 0 dipende del numero b2 − 4ac. Questo numero si
chiama il discriminate dell’equazione e spesso si denota per ∆.
Esempio
I
Il discriminante di
2X 2 + 4 = 0
è
2
I
Il discriminante di
X − 4X + 4 = 0
I
Il discriminante di
X2 − X − 1 = 0
Equazioni
∆ = 02 − 4 · 2 · 4 = −32.
è
è
∆ = (−4)2 − 4 · 1 · 4 = 0.
∆ = (−1)2 − 4 · 1 · (−1) = 5.
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9 / 17
Numero di soluzioni asseconda del discriminante
∆<0
Se il discriminante è negativo, l’equazione non ha nessuna soluzione reale,
perché i numeri negativi non hanno una radice quadrata reale!
Equazioni
Novembre 2013
10 / 17
Numero di soluzioni asseconda del discriminante
∆<0
Se il discriminante è negativo, l’equazione non ha nessuna soluzione reale,
perché i numeri negativi non hanno una radice quadrata reale!
Esempio: 2X 2 + 4 = 0 non ha soluzioni reali perché il suo discriminante è
∆ = −32 < 0.
Equazioni
Novembre 2013
10 / 17
Numero di soluzioni asseconda del discriminante
∆<0
Se il discriminante è negativo, l’equazione non ha nessuna soluzione reale,
perché i numeri negativi non hanno una radice quadrata reale!
Esempio: 2X 2 + 4 = 0 non ha soluzioni reali perché il suo discriminante è
∆ = −32 < 0.
∆=0
Se il discriminante è nullo, allora l’equazione ha una unica soluzione.
Equazioni
Novembre 2013
10 / 17
Numero di soluzioni asseconda del discriminante
∆<0
Se il discriminante è negativo, l’equazione non ha nessuna soluzione reale,
perché i numeri negativi non hanno una radice quadrata reale!
Esempio: 2X 2 + 4 = 0 non ha soluzioni reali perché il suo discriminante è
∆ = −32 < 0.
∆=0
Se il discriminante è nullo, allora l’equazione ha una unica soluzione.
Esempio: X 2 − 4X + 4 = 0 ha una unica soluzione, perché il suo
discriminante è ∆ = 0.
Equazioni
Novembre 2013
10 / 17
Numero di soluzioni asseconda del discriminante
∆<0
Se il discriminante è negativo, l’equazione non ha nessuna soluzione reale,
perché i numeri negativi non hanno una radice quadrata reale!
Esempio: 2X 2 + 4 = 0 non ha soluzioni reali perché il suo discriminante è
∆ = −32 < 0.
∆=0
Se il discriminante è nullo, allora l’equazione ha una unica soluzione.
Esempio: X 2 − 4X + 4 = 0 ha una unica soluzione, perché il suo
discriminante è ∆ = 0.
∆>0
Se il discriminante è positivo, allora l’equazione ha due soluzioni diverse.
Equazioni
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10 / 17
Numero di soluzioni asseconda del discriminante
∆<0
Se il discriminante è negativo, l’equazione non ha nessuna soluzione reale,
perché i numeri negativi non hanno una radice quadrata reale!
Esempio: 2X 2 + 4 = 0 non ha soluzioni reali perché il suo discriminante è
∆ = −32 < 0.
∆=0
Se il discriminante è nullo, allora l’equazione ha una unica soluzione.
Esempio: X 2 − 4X + 4 = 0 ha una unica soluzione, perché il suo
discriminante è ∆ = 0.
∆>0
Se il discriminante è positivo, allora l’equazione ha due soluzioni diverse.
Esempio: X 2 − X − 1 = 0 ha due soluzioni diverse, perché il suo
discriminante è ∆ = 5 > 0.
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Ottenimento della formula della
soluzione generale di aX 2 + bX + c = 0
aX 2 + bX + c = 0
4a(aX 2 + bX + c) = 4a · 0
4a2 X 2 + 4abX + 4ac = 0
4a2 X 2 + 4abX = −4ac
4a2 X 2 + 4abX + b2 = b2 − 4ac
Ma il membro della sinistra è un quadrato:
(2aX + b)2 = b2 − 4ac
p
2aX + b = ± b2 − 4ac
p
2aX = −b ± b2 − 4ac
√
−b ± b2 − 4ac
X=
2a
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11 / 17
La storia delle scoperte delle formule
Equazioni
Novembre 2013
12 / 17
La storia delle scoperte delle formule
Niccolò Fontana Tartaglia
Equazioni
Novembre 2013
12 / 17
La storia delle scoperte delle formule
I
Nato nella povertà in 1499, fu ferito di
bambino durante la presa della sua città
per le troppe francese, e questo li affettò
la parla. Da quì li viene il soprannome di
Tartaglia.
Niccolò Fontana Tartaglia
Equazioni
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12 / 17
La storia delle scoperte delle formule
I
Nato nella povertà in 1499, fu ferito di
bambino durante la presa della sua città
per le troppe francese, e questo li affettò
la parla. Da quì li viene il soprannome di
Tartaglia.
I
Il suo collega, Antonio Maria del Fiore,
alunno di Scipione del Ferro (chi aveva
trovato la soluzione della equazione
aX 3 + bX = c), li propose un duello
matematico.
Niccolò Fontana Tartaglia
Equazioni
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12 / 17
La storia delle scoperte delle formule
Niccolò Fontana Tartaglia
I
Nato nella povertà in 1499, fu ferito di
bambino durante la presa della sua città
per le troppe francese, e questo li affettò
la parla. Da quì li viene il soprannome di
Tartaglia.
I
Il suo collega, Antonio Maria del Fiore,
alunno di Scipione del Ferro (chi aveva
trovato la soluzione della equazione
aX 3 + bX = c), li propose un duello
matematico.
I
Nella sua avidità per vincere il duello,
trovò la formula generale per risolvere le
equazioni di terzo grado:
aX 3 + bX 2 + cX + d = 0.
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12 / 17
La storia delle scoperte delle formule
Equazioni
Novembre 2013
13 / 17
La storia delle scoperte delle formule
Gerolamo Cardano
Equazioni
Novembre 2013
13 / 17
La storia delle scoperte delle formule
I
Figlio illegittimo di Fazio Cardano, praticò
la medicina come professione.
Gerolamo Cardano
Equazioni
Novembre 2013
13 / 17
La storia delle scoperte delle formule
I
Figlio illegittimo di Fazio Cardano, praticò
la medicina come professione.
I
Ludovico Ferrari arriva all’età di 14 anni
alla casa di Cardano come servo.
Cardano si rese conto che Ferrari sapeva
scrivere e lo prese come segretario e
alunno di matematica.
Gerolamo Cardano
Equazioni
Novembre 2013
13 / 17
La storia delle scoperte delle formule
I
Figlio illegittimo di Fazio Cardano, praticò
la medicina come professione.
I
Ludovico Ferrari arriva all’età di 14 anni
alla casa di Cardano come servo.
Cardano si rese conto che Ferrari sapeva
scrivere e lo prese come segretario e
alunno di matematica.
I
Insieme, Cardano e Ferrari studiano la
soluzione della cubica che ottengono di
Tartaglia sotto la promessa di non svelarla
a nessuno.
Gerolamo Cardano
Equazioni
Novembre 2013
13 / 17
La storia delle scoperte delle formule
I
Figlio illegittimo di Fazio Cardano, praticò
la medicina come professione.
I
Ludovico Ferrari arriva all’età di 14 anni
alla casa di Cardano come servo.
Cardano si rese conto che Ferrari sapeva
scrivere e lo prese come segretario e
alunno di matematica.
I
Insieme, Cardano e Ferrari studiano la
soluzione della cubica che ottengono di
Tartaglia sotto la promessa di non svelarla
a nessuno.
I
Ferrari ottiene la soluzione de la quartica,
ma non la possono pubblicare perché
dipende della soluzione della cubica di
Tartaglia.
Equazioni
Gerolamo Cardano
Novembre 2013
13 / 17
La storia delle scoperte delle formule
I
A questo punto, Cardano e Ferrari viaggiano a Bologna per incontrare il
genere di del Ferro, chi mostra a Cardano e Ferrari, secondo il racconto
di Cardano, alcuni documenti di del Ferro dove si trovava la soluzione
della cubica.
Equazioni
Novembre 2013
14 / 17
La storia delle scoperte delle formule
I
I
A questo punto, Cardano e Ferrari viaggiano a Bologna per incontrare il
genere di del Ferro, chi mostra a Cardano e Ferrari, secondo il racconto
di Cardano, alcuni documenti di del Ferro dove si trovava la soluzione
della cubica.
Cardano si sente libero della promessa fatta a Tartaglia e pubblica in
1545 la soluzione della cubica e della quartica del suo alunno Ferrari.
Equazioni
Novembre 2013
14 / 17
La storia delle scoperte delle formule
I
I
I
A questo punto, Cardano e Ferrari viaggiano a Bologna per incontrare il
genere di del Ferro, chi mostra a Cardano e Ferrari, secondo il racconto
di Cardano, alcuni documenti di del Ferro dove si trovava la soluzione
della cubica.
Cardano si sente libero della promessa fatta a Tartaglia e pubblica in
1545 la soluzione della cubica e della quartica del suo alunno Ferrari.
Tartaglia, colpito per la notizia, accusa e insulta Cardano in successive
lettere che mai non ricevono risposta, sino di Ferrari. Ma Tartaglia pensa
che Ferrari è secondario nella storia, e non vuole parlare con Ferrari.
Equazioni
Novembre 2013
14 / 17
La storia delle scoperte delle formule
I
I
I
I
A questo punto, Cardano e Ferrari viaggiano a Bologna per incontrare il
genere di del Ferro, chi mostra a Cardano e Ferrari, secondo il racconto
di Cardano, alcuni documenti di del Ferro dove si trovava la soluzione
della cubica.
Cardano si sente libero della promessa fatta a Tartaglia e pubblica in
1545 la soluzione della cubica e della quartica del suo alunno Ferrari.
Tartaglia, colpito per la notizia, accusa e insulta Cardano in successive
lettere che mai non ricevono risposta, sino di Ferrari. Ma Tartaglia pensa
che Ferrari è secondario nella storia, e non vuole parlare con Ferrari.
Ferrari sfida a duello matematico (che era
pubblico e si faceva ante notaio), ma
Tartaglia rifiuta.
Equazioni
Novembre 2013
14 / 17
La storia delle scoperte delle formule
I
I
I
A questo punto, Cardano e Ferrari viaggiano a Bologna per incontrare il
genere di del Ferro, chi mostra a Cardano e Ferrari, secondo il racconto
di Cardano, alcuni documenti di del Ferro dove si trovava la soluzione
della cubica.
Cardano si sente libero della promessa fatta a Tartaglia e pubblica in
1545 la soluzione della cubica e della quartica del suo alunno Ferrari.
Tartaglia, colpito per la notizia, accusa e insulta Cardano in successive
lettere che mai non ricevono risposta, sino di Ferrari. Ma Tartaglia pensa
che Ferrari è secondario nella storia, e non vuole parlare con Ferrari.
I
Ferrari sfida a duello matematico (che era
pubblico e si faceva ante notaio), ma
Tartaglia rifiuta.
I
Dopo di un anno, Tartaglia, la cui situazione
economica è stata sempre delicata, riceve
una offerta di lavoro, ma come condizione
deve accettare il duello di Ferrari.
Equazioni
Novembre 2013
14 / 17
La storia delle scoperte delle formule
I
I
I
A questo punto, Cardano e Ferrari viaggiano a Bologna per incontrare il
genere di del Ferro, chi mostra a Cardano e Ferrari, secondo il racconto
di Cardano, alcuni documenti di del Ferro dove si trovava la soluzione
della cubica.
Cardano si sente libero della promessa fatta a Tartaglia e pubblica in
1545 la soluzione della cubica e della quartica del suo alunno Ferrari.
Tartaglia, colpito per la notizia, accusa e insulta Cardano in successive
lettere che mai non ricevono risposta, sino di Ferrari. Ma Tartaglia pensa
che Ferrari è secondario nella storia, e non vuole parlare con Ferrari.
I
Ferrari sfida a duello matematico (che era
pubblico e si faceva ante notaio), ma
Tartaglia rifiuta.
I
Dopo di un anno, Tartaglia, la cui situazione
economica è stata sempre delicata, riceve
una offerta di lavoro, ma come condizione
deve accettare il duello di Ferrari.
Il mondo (1536)
Equazioni
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14 / 17
La storia delle scoperte delle formule
I
In 1548 si sviluppa il dibattito in Milano. Tartaglia è incapace di risolvere
alcuni problemi che Ferrari pone, mentre lui risolve tutti i problemi di
Tartaglia.
Equazioni
Novembre 2013
15 / 17
La storia delle scoperte delle formule
I
I
In 1548 si sviluppa il dibattito in Milano. Tartaglia è incapace di risolvere
alcuni problemi che Ferrari pone, mentre lui risolve tutti i problemi di
Tartaglia.
Di notte e prima della conclusione del duello, Tartaglia abbandona la
città, e dichiarano vincitore a Ferrari.
Equazioni
Novembre 2013
15 / 17
La storia delle scoperte delle formule
I
I
I
In 1548 si sviluppa il dibattito in Milano. Tartaglia è incapace di risolvere
alcuni problemi che Ferrari pone, mentre lui risolve tutti i problemi di
Tartaglia.
Di notte e prima della conclusione del duello, Tartaglia abbandona la
città, e dichiarano vincitore a Ferrari.
Tartaglia muore in 1557 sempre povero.
Equazioni
Novembre 2013
15 / 17
La storia delle scoperte delle formule
I
I
In 1548 si sviluppa il dibattito in Milano. Tartaglia è incapace di risolvere
alcuni problemi che Ferrari pone, mentre lui risolve tutti i problemi di
Tartaglia.
Di notte e prima della conclusione del duello, Tartaglia abbandona la
città, e dichiarano vincitore a Ferrari.
I
Tartaglia muore in 1557 sempre povero.
I
Ferrari lascia la matematica e va in pensione
molto giovane e ricco. Puoi, muore in 1565
avvelenato per arsenico, sicuramente da sua
sorella, chi eredita la fortuna di suo fratello.
Equazioni
Novembre 2013
15 / 17
La storia delle scoperte delle formule
I
I
In 1548 si sviluppa il dibattito in Milano. Tartaglia è incapace di risolvere
alcuni problemi che Ferrari pone, mentre lui risolve tutti i problemi di
Tartaglia.
Di notte e prima della conclusione del duello, Tartaglia abbandona la
città, e dichiarano vincitore a Ferrari.
I
Tartaglia muore in 1557 sempre povero.
I
Ferrari lascia la matematica e va in pensione
molto giovane e ricco. Puoi, muore in 1565
avvelenato per arsenico, sicuramente da sua
sorella, chi eredita la fortuna di suo fratello.
I
Cardano è accusato di eresia per i suoi libri e per
aver fatto l’oroscopo di Gesù, ed è imprigionato in
1570 per qualche mesi.
Gregorio XIII
Equazioni
Novembre 2013
15 / 17
La storia delle scoperte delle formule
I
I
In 1548 si sviluppa il dibattito in Milano. Tartaglia è incapace di risolvere
alcuni problemi che Ferrari pone, mentre lui risolve tutti i problemi di
Tartaglia.
Di notte e prima della conclusione del duello, Tartaglia abbandona la
città, e dichiarano vincitore a Ferrari.
I
Tartaglia muore in 1557 sempre povero.
I
Ferrari lascia la matematica e va in pensione
molto giovane e ricco. Puoi, muore in 1565
avvelenato per arsenico, sicuramente da sua
sorella, chi eredita la fortuna di suo fratello.
I
Cardano è accusato di eresia per i suoi libri e per
aver fatto l’oroscopo di Gesù, ed è imprigionato in
1570 per qualche mesi.
I
Gregorio XIII
Dopo di essere liberato, viaggia a Roma e ottiene una pensione del Papa
Gregorio XIII (il riformatore del calendario).
Equazioni
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15 / 17
La storia delle scoperte delle formule
I
I
In 1548 si sviluppa il dibattito in Milano. Tartaglia è incapace di risolvere
alcuni problemi che Ferrari pone, mentre lui risolve tutti i problemi di
Tartaglia.
Di notte e prima della conclusione del duello, Tartaglia abbandona la
città, e dichiarano vincitore a Ferrari.
I
Tartaglia muore in 1557 sempre povero.
I
Ferrari lascia la matematica e va in pensione
molto giovane e ricco. Puoi, muore in 1565
avvelenato per arsenico, sicuramente da sua
sorella, chi eredita la fortuna di suo fratello.
I
Cardano è accusato di eresia per i suoi libri e per
aver fatto l’oroscopo di Gesù, ed è imprigionato in
1570 per qualche mesi.
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I
Gregorio XIII
Dopo di essere liberato, viaggia a Roma e ottiene una pensione del Papa
Gregorio XIII (il riformatore del calendario).
Cardano muore in Roma in 1576.
Equazioni
Novembre 2013
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E l’impossible si dimostra!
Equazioni
Novembre 2013
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E l’impossible si dimostra!
Niels Henrik Abel
Equazioni
Novembre 2013
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E l’impossible si dimostra!
I
Nasce in Norvegia in 1802.
Niels Henrik Abel
Equazioni
Novembre 2013
16 / 17
E l’impossible si dimostra!
I
Nasce in Norvegia in 1802.
I
Suo padre muore quando lui era molto
giovane, e la sua famiglia ha dei problemi
economici.
Niels Henrik Abel
Equazioni
Novembre 2013
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E l’impossible si dimostra!
I
Nasce in Norvegia in 1802.
I
Suo padre muore quando lui era molto
giovane, e la sua famiglia ha dei problemi
economici.
I
In 1821 ottiene una borsa di studio ed entra
all’università di Christiania (Oslo).
Niels Henrik Abel
Equazioni
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E l’impossible si dimostra!
I
Nasce in Norvegia in 1802.
I
Suo padre muore quando lui era molto
giovane, e la sua famiglia ha dei problemi
economici.
I
In 1821 ottiene una borsa di studio ed entra
all’università di Christiania (Oslo).
I
In 1824 pubblica il suo primo lavoro di
rilevanza: dimostra che non esiste nessuna
formula per risolvere la equazione generale
di grado 5 o più grande. Ma la dimostrazione
era difficile e astrusa.
Niels Henrik Abel
Equazioni
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E l’impossible si dimostra!
I
Nasce in Norvegia in 1802.
I
Suo padre muore quando lui era molto
giovane, e la sua famiglia ha dei problemi
economici.
I
In 1821 ottiene una borsa di studio ed entra
all’università di Christiania (Oslo).
I
In 1824 pubblica il suo primo lavoro di
rilevanza: dimostra che non esiste nessuna
formula per risolvere la equazione generale
di grado 5 o più grande. Ma la dimostrazione
era difficile e astrusa.
Sempre per motivi economici, deve
interrompere il suo viaggio di lavoro per
Germania e Francia e rientrare alla sua città,
laddove lavorerà come maestro.
I
Equazioni
Niels Henrik Abel
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E l’impossible si dimostra!
I
Nasce in Norvegia in 1802.
I
Suo padre muore quando lui era molto
giovane, e la sua famiglia ha dei problemi
economici.
I
In 1821 ottiene una borsa di studio ed entra
all’università di Christiania (Oslo).
In 1824 pubblica il suo primo lavoro di
rilevanza: dimostra che non esiste nessuna
formula per risolvere la equazione generale
di grado 5 o più grande. Ma la dimostrazione
era difficile e astrusa.
I Sempre per motivi economici, deve
interrompere il suo viaggio di lavoro per
Germania e Francia e rientrare alla sua città,
laddove lavorerà come maestro.
I Abel muore di tubercolosi ai 26 anni.
I
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Niels Henrik Abel
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E l’impossible si dimostra!
I
Nasce in Norvegia in 1802.
I
Suo padre muore quando lui era molto
giovane, e la sua famiglia ha dei problemi
economici.
I
In 1821 ottiene una borsa di studio ed entra
all’università di Christiania (Oslo).
In 1824 pubblica il suo primo lavoro di
rilevanza: dimostra che non esiste nessuna
formula per risolvere la equazione generale
di grado 5 o più grande. Ma la dimostrazione
era difficile e astrusa.
I Sempre per motivi economici, deve
interrompere il suo viaggio di lavoro per
Germania e Francia e rientrare alla sua città,
Niels Henrik Abel
laddove lavorerà come maestro.
I Abel muore di tubercolosi ai 26 anni.
I Oggi, uno dei premi più prestigiosi concesso ai matematici più
eccezionali porta il suo nome.
I
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E l’impossibile si dimostra!
Évariste Galois
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E l’impossibile si dimostra!
I
Nasce in 1811, in una città vicina a Pariggi.
Évariste Galois
Equazioni
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E l’impossibile si dimostra!
I
Nasce in 1811, in una città vicina a Pariggi.
I
Fa l’esame di ingresso nella prestigiosa École
polytechnique, ma è rifiutato per due volte
(molto probabilmente per la sua attitudine
ribelle).
Évariste Galois
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E l’impossibile si dimostra!
I
Nasce in 1811, in una città vicina a Pariggi.
I
Fa l’esame di ingresso nella prestigiosa École
polytechnique, ma è rifiutato per due volte
(molto probabilmente per la sua attitudine
ribelle).
I
In 1831, ai 19 anni, è fatto prigioniere per
partecipare nelle manifestazioni e società
repubblicane in due occasioni, rimanendo 1 e
8 mesi in carcere, rispettivamente.
Évariste Galois
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E l’impossibile si dimostra!
Évariste Galois
I
Nasce in 1811, in una città vicina a Pariggi.
I
Fa l’esame di ingresso nella prestigiosa École
polytechnique, ma è rifiutato per due volte
(molto probabilmente per la sua attitudine
ribelle).
I
In 1831, ai 19 anni, è fatto prigioniere per
partecipare nelle manifestazioni e società
repubblicane in due occasioni, rimanendo 1 e
8 mesi in carcere, rispettivamente.
I
Un mese dopo la sua liberazione perde la
vita, ai 20 anni, in un duello (no matematico,
ma a spade), forse per motivi amorosi.
Equazioni
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E l’impossibile si dimostra!
I
Nasce in 1811, in una città vicina a Pariggi.
I
Fa l’esame di ingresso nella prestigiosa École
polytechnique, ma è rifiutato per due volte
(molto probabilmente per la sua attitudine
ribelle).
I
In 1831, ai 19 anni, è fatto prigioniere per
partecipare nelle manifestazioni e società
repubblicane in due occasioni, rimanendo 1 e
8 mesi in carcere, rispettivamente.
Un mese dopo la sua liberazione perde la
vita, ai 20 anni, in un duello (no matematico,
ma a spade), forse per motivi amorosi.
Il suo lavoro come matematico non fu capito per i grandi matematici
coetanei. Fu il creatore di una nuova forma di guardare l’algebra, più
moderna i molto avanzata alla sua epoca.
I
Évariste Galois
I
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E l’impossibile si dimostra!
I
Nasce in 1811, in una città vicina a Pariggi.
I
Fa l’esame di ingresso nella prestigiosa École
polytechnique, ma è rifiutato per due volte
(molto probabilmente per la sua attitudine
ribelle).
I
In 1831, ai 19 anni, è fatto prigioniere per
partecipare nelle manifestazioni e società
repubblicane in due occasioni, rimanendo 1 e
8 mesi in carcere, rispettivamente.
Un mese dopo la sua liberazione perde la
vita, ai 20 anni, in un duello (no matematico,
ma a spade), forse per motivi amorosi.
Il suo lavoro come matematico non fu capito per i grandi matematici
coetanei. Fu il creatore di una nuova forma di guardare l’algebra, più
moderna i molto avanzata alla sua epoca.
Lui dimostrò, in maniera indipendente e con le tecniche che lui stesso
inventò, che non esiste nessuna formula per risolvere le equazioni
generali di grado 5 o più grande.
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Évariste Galois
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