Le equazioni di grado superiore al secondo.

Le equazioni di grado
superiore al secondo.
LEZIONE DI MATEMATICA
DI EMANUELE PAONE
Per iniziare….
Finora abbiamo studiato le equazioni fino al secondo grado…
ma il matematico tedesco Gauss nel 1799 enuncia e dimostra
il Teorema fondamentale dell’Algebra :
Un’ equazione algebrica di grado n a coefficienti reali o
complessi ammette esattamente n soluzioni.
Il grande matematico Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
è conosciuto per la sua teoria dei numeri e ha dato
grandi contributi all’analisi matematica.
Il 22 febbraio 1535 si tiene una sfida tra Tartaglia e Fior: ciascuno
propone all'altro trenta problemi da risolvere nel più breve tempo
possibile. Tartaglia risolve rapidamente i problemi di Fior, mentre
quest'ultimo non riesce a risolverne nessuno.
Tutti i problemi si risolvevano per mezzo di equazioni di terzo
grado; quelli proposti da Fior potevano essere risolti solo da chi
conosceva le equazione di terzo grado.
La schiacciante vittoria di Tartaglia dimostrava che questo aveva
trovato un metodo per risolvere tutte le equazioni di terzo grado.
Il matematico Niccolò Fontana (1499-1557)
La notizia giunge a Cardano, medico, scienziato e astrologo dalla fama
internazionale. Cardano cerca di convincere Tartaglia a rivelargli la
formula: lo lusinga, lo minaccia, gli fa promesse. Dopo numerose
insistenze Tartaglia cede richiedendo che la formula
restasse segreta. Nel 1545,contravvenendo alla promessa verso
Tartaglia, Cardano pubblica nell'Ars magna la formula risolutiva delle
equazioni di terzo grado:
Dove
𝑞2
4
+
𝑝3
27
è il discriminante; Se ∆>0 si hanno una soluzione reale
e due complesse; Se ∆=0 si hanno tre soluzioni reali di cui due
coincidenti; Se ∆<0 si hanno tre soluzioni reali.
A Tartaglia si deve anche la scoperta della formula risolutiva delle
equazioni di 4°grado.
Un grande matematico norvegese Niels Henrik Abel (1802-1829)
enuncia e dimostra che le equazioni di 5°grado e di grado superiore
non ammettono soluzioni.
Il matematico Abel
Ok; credo che sia ora di fermarci qui e di andare ad analizzare i
metodi per risolvere le equazioni di grado superiore al secondo che
si studiano alle superiori. Gli approfondimenti li vedremo avanti
all’università.
Equazioni Binomie
Un equazione si dice binomia se è possibile scriverla nella forma
normale o canonica 𝑎𝑥 𝑛 + 𝑏 = 0
Possiamo riscontare due casi:
• n pari: Se a e b sono concordi non si ammettono soluzioni
reali mentre se sono discordi ammette due soluzioni reali e
opposte.
Es: 𝑥 8 = −8 > 𝑥 8 =
8
−8 equazione impossibile
6
𝑥 6 − 64 = 0 > 𝑥 6 = 64 > 𝑥 = ± 64 = ±2
• n dispari: ammette sempre una sola soluzione reali.
Es: 𝑥 3 + 27 = 0 > 𝑥 3 = −27
> 𝑥=
3
−27 = −3
Equazioni Trinomie
Un’ equazione si dice trinomia se è possibile scriverla nella forma
normale o canonica 𝑎𝑥 2𝑛 + 𝑏𝑥 𝑛 + 𝑐 = 0.
Per risolvere un equazione trinomia introduciamo un’ incognita
ausiliare detta 𝑡 = 𝑥 𝑛 .
Risolviamone una:
𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4 = 0
𝑝𝑜𝑛𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑥 2 = 𝑡
𝑜𝑡𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑡 2 − 5𝑡 + 4 = 0
𝑟𝑖𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑎𝑚𝑜 𝑙′ 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑖𝑛 𝑡:
5 ± 25 − 16
5±3
𝑡=
=
=
𝑡1 = 4
𝑡2 = 1
2
2
𝑠𝑜𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑎𝑚𝑜 > 𝑥 2 = 𝑡1 𝑥 2 = 4 𝑥 = ±2
𝑥 2 = 𝑡2 𝑥 2 = 1 𝑥 = ±1
Abbiamo trovato le quattro soluzioni dell’equazione; se 𝑡1 𝑒 𝑡2 erano
negativi l’ equazione avrebbe avuto quattro soluzioni complesse
mentre se una era positiva e una negativa avremo avuto 2 soluzioni
reali e 2 complesse.
Le equazioni trinomie con n=2 si dicono biquadratiche
Equazioni di grado superiori al
secondo con scomposizioni in fattori.
Alcune equazioni di grado superiore al secondo possono essere
risolte utilizzando le scomposizioni in fattori; vediamo alcuni esempi:
1) 𝑥 3 − 2𝑥 2 = 0
𝑟𝑎𝑐𝑐𝑜𝑔𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒
𝑥 2 ∙ 𝑥 − 2 = 0 𝑙𝑒𝑔𝑔𝑒 𝑑𝑖 𝑎𝑛𝑛𝑢𝑙𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑜𝑡𝑡𝑜
𝑥2 = 0 > 𝑥 = 0
𝑥−2=0 >𝑥 =2
2) 4𝑥 3 + 8𝑥 2 − 𝑥 − 2 = 0 𝑟𝑎𝑐𝑐𝑜𝑔𝑙𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒
4𝑥 2 ∙ 𝑥 + 2 − 𝑥 + 2 = 0 → 𝑥 + 2 ∙ 4𝑥 2 − 1 = 0
𝐿𝑒𝑔𝑔𝑒 𝑑𝑖 𝑎𝑛𝑛. 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑. > 𝑥 = −2
𝑥=±
1
4
=±
3)𝑥 4 − 16 = 0 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑖 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖
𝑥 2 − 4 ∙ 𝑥 2 + 4 = 0 𝑎𝑛𝑛𝑢𝑙𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑜𝑡𝑡𝑜
𝑥 2 = 4 > 𝑥 = ±2 → 𝑥 2 = −4 > 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒
1
2
Equazioni risolubili con la regola di
Ruffini
4𝑥 3 − 8𝑥 2 − 11𝑥 − 3 = 0 Applichiamo la regola di Ruffini
Troviamo i divisori del termine noto e troviamo quello che renda
zero il polinomio ±1; ±3
𝑃 3 = 108 − 72 − 33 − 3 = 0 3 è il numero che lo rende 0
Eseguiamo la divisione
4
3
4
-8
12
4
-11
12
1
-3
3
0
L’equazione diventa: 𝑥 − 3 ∙ 4𝑥 2 + 4𝑥 + 1 = 0
−4 ± 0
1
𝑥=3
𝑥=
= 𝑥1 = 𝑥2 = −
2
2
Abbiamo trovato le tre soluzioni utilizzando la regola di Ruffini.
La lezione è finita…..
...alla prossima.
EMANUELE PAONE