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CAPITOLO 1
Le funzioni goniometriche
e i triangoli
1. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE CON GEOGEBRA
Per meglio comprendere come vengono generati i grafici delle funzioni goniometriche fondamentali eseguiamo
una particolare costruzione con GeoGebra che, sostanzialmente, ripercorre i passi che abbiamo visto nella parte
di teoria per il tracciamento del grafico. Segui con attenzione la procedura per tracciare il grafico della funzione
seno.
Punto 1
Definiamo l'origine e disegniamo la circonferenza goniometrica alla sinistra dell'asse y ponendo il centro nel punto
di coordinate … 2, 0†:
l
attiviamo lo strumento 2-Intersezione di due oggetti e, cliccando sugli assi cartesiani, definiamo l'origine dando
al punto il nome O
l
selezioniamo lo strumento 6-Circonferenza dati centro e raggio
l
clicchiamo sul punto … 2, 0†
l
indichiamo 1 come misura del raggio.
Punto 2
Definiamo un angolo con vertice nel centro della circonferenza:
l
attiviamo lo strumento 2-Nuovo punto, clicchiamo su un punto della circonferenza e chiamiamo B questo punto
l
attiviamo lo strumento 8-Angolo e definiamo l'angolo cliccando nell'ordine su O, il centro della circonferenza, B.
Punto 3
Rappresentiamo sull'asse x il punto D che ha come ascissa l'ampiezza dell'angolo :
l
attiviamo lo strumento 3-Segmento di data lunghezza da un punto
l
clicchiamo sull'origine
l
indichiamo come lunghezza del segmento
l
diamo al punto il nome D.
Se in modalitaÁ Muovi provi a spostare il punto B sulla circonferenza, anche il punto D si muove sull'asse x.
Punto 4
Rappresentiamo il punto P che ha come ascissa e come ordinata l'ordinata di B, che rappresenta il seno di :
l
nella riga di inserimento scriviamo:
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
P ˆ …, y…B††.
Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI
1
Punto 5
Tracciamo il grafico della funzione seno:
l
con il tasto destro del mouse clicchiamo sul punto P
l
mettiamo il segno di spunta sullo strumento Traccia attiva
l
in modalitaÁ Muovi spostiamo molto lentamente il punto B sulla semicirconferenza.
Quando il punto B si muove lungo la circonferenza, anche il punto D e, di conseguenza, il punto P si muovono e il
punto P lascia la traccia del suo percorso; abbiamo cosõÁ costruito il grafico della funzione y ˆ sin x nell'intervallo
che va da 0 a 360 .
In modo analogo si puoÁ costruire il grafico della funzione coseno e quello della funzione tangente.
I grafici delle funzioni goniometriche possono ovviamente essere costruiti anche con Derive, ma con questo
software non eÁ possibile evidenziare la costruzione geometrica.
2. LE FUNZIONI GONIOMETRICHE CON EXCEL
Il valore del seno, del coseno, della tangente di un angolo si possono trovare usando Excel come una semplice
calcolatrice. Vediamo le principali funzioni che operano sugli angoli; ricordiamo che una formula di Excel inizia
sempre con il simbolo ˆ.
n La costante eÁ definita dalla funzione
Per esempio:
ˆ PI.GRECO( )/4
PI.GRECO( )
restituisce il valore numerico decimale corrispondente a
.
4
n Le funzioni goniometriche sono definite dalle seguenti funzioni:
SEN(argomento)
COS(argomento)
TAN(argomento)
e restituiscono rispettivamente il seno, il coseno e la tangente dell'angolo il cui valore in radianti costituisce
l'argomento della funzione. Se l'angolo eÁ espresso in gradi, occorre prima fare la conversione in radianti.
Per esempio:
ˆ COS(2)
restituisce il valore del coseno di 2 radianti, cioeÁ 0,416146:::
2
Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
ˆ SEN(60*PI.GRECO( )/180)
restituisce il valore del seno di 60 dopo averlo convertito in ra
.
dianti moltiplicandolo per il fattore di conversione
180
La conversione in radianti di un angolo la cui ampiezza eÁ espressa in gradi puoÁ anche essere fatta con una funzione specifica:
n RADIANTI(n)
Per esempio:
= (RADIANTI(30)
restituisce il valore in radianti di un angolo di 30 .
n La conversione da radianti a gradi si esegue moltiplicando per il fattore di conversione
funzione
180
, oppure con la
GRADI(n)
dove n eÁ l'ampiezza dell'angolo in radianti. Per esempio:
= GRADI(PI.GRECO( )/6) restituisce 30 che eÁ l'ampiezza in gradi dell'angolo che in radianti misura
.
6
Vediamo adesso come sfruttare queste funzioni per risolvere il seguente problema: noto il valore della funzione
goniometrica di un angolo , trovare i valori delle altre funzioni.
Supponiamo dapprima di conoscere il valore di sin e di voler trovare quello delle altre funzioni goniometriche.
Prepariamo il foglio di lavoro come illustrato dalla seguente descrizione.
l
nelle celle da A4 a B7 abbiamo inserito una legenda per specificare la tipologia dell'angolo identificandola con
un numero intero da 1 a 4; questo al fine di poter attribuire alle funzioni goniometriche di il segno corretto.
l
nella cella B9 si deve inserire ogni volta il dato relativo alla tipologia usando i numeri da 1 a 4
l
nella cella E4 si deve inserire il valore di sin (nella figura eÁ inserito il valore 0,6 con tipologia 2).
Le formule da inserire nelle celle della colonna E sono le seguenti:
E5:
ˆ SE(O(B9ˆ1;B9ˆ4);RADQ(1 E4^2); RADQ(1 E4^2))
p
dove, a seconda della tipologia, viene applicata la formula 1 sin2 E6:
oppure
p
1 sin2 ˆ E4/E5
sin ; in questo caso non eÁ necessario testare la tipologia dell'angolo in
cos quanto giaÁ stabilita dal valore del seno e del coseno.
In questo modo, ogni volta che si attribuisce un valore al seno di un angolo e si indica la sua tipologia, vengono
calcolati i valori di tutte le altre funzioni.
dove viene applicata la formula tan ˆ
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
D
E
FUNZIONI GONIOMETRICHE
TIPOLOGIA DELL'ANGOLO
0 < x < 90
1
seno
90 < x < 180
2
coseno
180 < x < 270
3
tangente
270 < x < 360
4
TIPOLOGIA
0,6
0,8
0,75
2
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI
3
Lo strumento Ricerca obiettivo
Supponiamo adesso di conoscere come dato di ingresso il valore di cos , per esempio cos ˆ 0,25 e di sapere che appartiene al primo quadrante; possiamo preparare un foglio analogo a questo sostituendo alcune
formule, oppure possiamo usare lo strumento di Excel Ricerca obiettivo che si trova nel menu Strumenti.
Questo comando consente di risolvere i problemi inversi di quello impostato; nel nostro caso ci consentiraÁ di usare lo stesso foglio appena preparato per trovare i valori delle altre funzioni goniometriche conoscendo una qualsiasi di esse.
Dopo aver impostato a 1 la cella della tipologia dell'angolo, la procedura da seguire eÁ la seguente:
l
l
si attiva il comando Ricerca obiettivo che apre la finestra a lato
nella casella Imposta cella si deve inserire il nome della casella nella
quale si vuole inserire il dato del problema, nel nostro caso la cella E5
che rappresenta il valore del coseno (basta cliccare sulla cella, osserva il riferimento assoluto)
l
l
nella casella Al valore si deve inserire il dato, nel nostro caso il valore 0,25 del coseno
nella casella Cambiando la cella si deve inserire il nome della cella
che contiene il dato da cambiare, cioeÁ la cella E4 che nel problema
iniziale aveva come dato di ingresso il valore di sin .
Confermando le scelte con il pulsante OK, Excel modifica il valore di quest'ultima cella finche trova quello che
rende vera la formula specificata nella casella Imposta cella.
Puoi ripetere la procedura attribuendo un valore a tan o a una delle altre funzioni.
3. LA RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI CON EXCEL
Il foglio elettronico, con le sue capacitaÁ di calcolo, ci puoÁ essere di aiuto per impostare la risoluzione dei triangoli
nei vari casi che si possono presentare. Distingueremo il caso dei triangoli rettangoli da quello dei triangoli che
non lo sono, dando delle brevi indicazioni sul tipo di calcolo da effettuare.
3.1. I triangoli rettangoli
Con riferimento alla figura 1, i casi che si possono presentare sono i seguenti.
Figura 1
n Conosciamo la misura dell'ipotenusa e quella di un angolo acuto, cioeÁ conosciamo a e . Ricaviamo che
ˆ 90 b ˆ a sin c ˆ a cos n Conosciamo la misura dell'ipotenusa e quella di un cateto, cioeÁ conosciamo a e b. Ricaviamo che
p
b
ˆ 90 sin ˆ
c ˆ a2 b 2
a
n Conosciamo la misura dei cateti, cioeÁ conosciamo b e c. Ricaviamo che
p
b
ˆ 90 a ˆ c2 ‡ b2
tan ˆ
c
n Conosciamo la misura di un cateto e quella di un angolo acuto, cioeÁ conosciamo b e . Ricaviamo che
b
c ˆ b tan aˆ
ˆ 90 cos 4
Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Apriamo allora un foglio di lavoro e impostiamo il calcolo inserendo stringhe, dati e formule nelle celle specificate, come eÁ indicato di seguito. Nella preparazione del foglio, di cui puoi vedere un esempio in figura, abbiamo
tenuto conto del fatto che le funzioni goniometriche di Excel, come abbiamo giaÁ visto nell'esercitazione dell'unitaÁ precedente, usano angoli la cui misura eÁ espressa in radianti mentre noi prevediamo di assegnare le misure
degli angoli in gradi (abbreviato nel foglio di esempio in "gr"); quando uno dei valori noti eÁ un angolo, eÁ quindi
prevista una cella in cui calcolare il corrispondente valore dell'angolo in radianti (abbreviato nel foglio di esempio
in "rad").
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
B
C
D
E
F
G
H
RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI
1o CASO - ipotenusa e angolo acuto: a, beta
a
beta (gr)
beta (rad)
10
27,5
0,4799655
RISULTATI
gamma (gr)
62,5
b
4,6174861
c
8,870108
2o CASO - ipotenusa e cateto: a, b
a
b
15
12
RISULTATI
beta (gr)
53,130102
gamma (gr)
36,869898
c
9
3o CASO - i due cateti: b, c
b
c
7
9
RISULTATI
beta (gr)
37, 874984
gamma (gr)
52,125016
a
11,40175
RISULTATI
beta (gr)
53,43
c
13,353362
a
22,41232
4o CASO - cateto e angolo acuto: b, gamma
gamma (rad)
b
gamma (gr)
18
36,57
0,6382669
Le funzioni di Excel che consentono di ricavare l'ampiezza di un angolo nota una delle sue funzioni goniometriche
sono:
n ARCSEN…x†
n ARCCOS…x†
n ARCTAN…x†
dove x eÁ il valore della funzione goniometrica. Per esempio ARCSEN(1/2) restituisce l'angolo il cui seno vale
1
.
2
Relativamente al primo caso, abbiamo posto in A5 la misura dell'ipotenusa a (10) e in B5 la misura in gradi nella
forma decimale dell'angolo …27,5†. Le formule da inserire sono poi le seguenti:
C5
F5
G5
H5
ˆ RADIANTI(B5)
ˆ 90 B5
ˆ A5 SEN …C5†
ˆ A5 COS …C5†
(formula
(formula
(formula
(formula
per
per
per
per
trasformare la misura di in radianti)
il calcolo di in gradi)
il calcolo di b)
il calcolo di c)
Prosegui impostando gli altri casi come eÁ illustrato nell'esempio; ti indichiamo solamente le formule da inserire
nelle celle specificate lasciando a te il compito di inserire le stringhe.
F9
G9
H9
ˆ GRADI…ARCSEN…B9=A9††
ˆ 90 F9
ˆ RADQ…A9 A9 B9 B9†
(calcolo di in gradi)
(calcolo di in gradi)
(calcolo di c)
F13
G13
H13
ˆ GRADI…ARCTAN…A13=B13††
ˆ 90 F13
ˆ RADQ…A13 A13 ‡ B13 B13†
(calcolo di in gradi)
(calcolo di in gradi)
(calcolo di a)
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Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI
5
C17
F17
G17
H17
ˆ RADIANTI…B17†
ˆ 90 B17
ˆ A17 TAN…C17†
ˆ A17=COS…C17†
(conversione in radianti della misura di )
(calcolo di in gradi)
(calcolo di c)
(calcolo di a)
3.2. I triangoli qualunque
Figura 2
Con riferimento alla figura 2, i casi che si possono presentare nella risoluzione di un triangolo qualsiasi sono i seguenti.
n Conosciamo la misura di due angoli e quella di un lato, ad esempio , e
b. Ricaviamo che
b sin b sin cˆ
ˆ 180 … ‡ †
aˆ
sin sin n Conosciamo la misura di due lati e quella dell'angolo compreso, ad esempio a, c e . Usiamo il teorema di Carnot:
bˆ
p
a2 ‡ c2 2ac cos cos ˆ
b2 ‡ c2 a2
2bc
ˆ 180
… ‡ †
n Conosciamo la misura dei tre lati, cioeÁ conosciamo a, b e c. Usando il teorema di Carnot ricaviamo che:
cos ˆ
b2 ‡ c2 a2
2bc
cos ˆ
a2 ‡ c2 b 2
2ac
ˆ 180
… ‡ †
Impostiamo il foglio di lavoro in questo modo (osserva la figura per inserire le stringhe, i dati e convertire gli angoli,
noi ti indichiamo solamente le formule di calcolo degli elementi del triangolo)
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
B
D
E
F
G
H
I
RISOLUZIONE TRIANGOLI QUALSIASI
b
15
1o CASO - due angoli e un lato: alfa, gamma, b
gamma (rad)
alfa (gr)
gamma (gr)
alfa (rad)
32,25
50,65
0,562869
0,8840093
2o CASO - due lati e l'angolo compreso: a, c, beta
a
c
beta (gr)
beta (rad)
153
75
15,22056
0,265649
3o CASO - tre lati: a, b, c
a
b
c
175
286
197
1o CASO
G5
H5
I5
2o CASO
G9
H9
I9
6
C
beta (gr)
97,1
RISULTATI
a
8,066069
c
11,68894
b
83,00019
RISULTATI
alfa (gr)
151,0563
gamma (gr)
13,72313
alfa (gr)
37,01136
RISULTATI
beta (gr)
100,3284
gamma (gr)
42,66027
ˆ 180 B5 C5
ˆ A5 SEN…D5†=SEN…RADIANTI…G5††
ˆ A5 SEN…E5†=SEN…RADIANTI…G5††
ˆ RADQ…A9 A9 ‡ B9 B9 2 A9 B9 COS…D9††
ˆ GRADI…ARCCOS……G9 G9 ‡ B9 B9 A9 A9†=…2 G9 B9†††
ˆ 180 C9 H9
Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
3o CASO
G13
H13
I13
ˆ GRADI…ARCCOS……B13 B13 ‡ C13 C13
ˆ GRADI…ARCCOS……A13 A13 ‡ C13 C13
ˆ 180 G13 H13
A13 A13†=…2 B13 C13†††
B13 B13†=…2 A13 C13†††
ESERCIZI
1. Con una procedura simile a quella usata nel paragrafo 1, costrusci i grafici delle funzioni coseno e tangente
usando GeoGebra.
2. Usando il foglio di Excel preparato nell'esercitazione del paragrafo 2, calcola i valori delle altre funzioni goniometriche dell'angolo sapendo che:
a.
b.
c.
d.
sin ˆ 0,8
cos ˆ 0,36
tan ˆ 3
sec ˆ 4,28
e
e
e
e
180 < x < 270
0 < x < 90
270 < x < 360
90 < x < 180
3. Prepara un foglio di lavoro con Excel che, assegnata la misura di un angolo in gradi, trovi i valori delle sue
funzioni goniometriche.
4. Prepara un foglio di lavoro che, assegnato il valore di una delle funzioni goniometriche di , trovi sia in radianti che in gradi.
5. Usando il foglio di Excel preparato nel paragrafo 3.1, risolvi i seguenti triangoli rettangoli:
a.
b.
c.
d.
e.
a ˆ 12,5
b ˆ 54,6
b ˆ 10,4
c ˆ 12
a ˆ 24
ˆ 26,15
c ˆ 25,8
ˆ 37,8
ˆ 33
ˆ 45,5
6. Usando il foglio di Excel preparato nel paragrafo 3.2, risolvi i seguenti triangoli:
a.
b.
c.
d.
e.
a ˆ 26,6
a ˆ 24,75
a ˆ 84,6
b ˆ 20
b ˆ 22,31
b ˆ 34; 2
b ˆ 25,4
ˆ 36,8
ˆ 15
c ˆ 15,76
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
c ˆ 28; 3
ˆ 65,4
ˆ 54,9
ˆ 33
ˆ 28,6
Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI
7
Approfondimento
La goniometria nella Fisica
Le funzioni goniometriche sono largamente impiegate in
vari settori delle scienze percheÁ, come forse avrai giaÁ avuto modo di intuire e come vedrai meglio in seguito, esse
stabiliscono delle relazioni fra angoli e segmenti, consentendo la descrizione di molti fenomeni.
A titolo di esempio, vogliamo illustrarti ora qualche situazione, tratta dalla fisica, in cui l'intervento delle funzioni
goniometriche consente di descrivere esaurientemente un
fenomeno. Immaginiamo di avere a disposizione un meccanismo come quello in figura 1 che consiste sostanzialmente in una molla a riposo vincolata ad un estremo.
Attacchiamo una massa al suo estremo libero e allunghiamola di un tratto r. Quando lasciamo libera la molla, questa si contrae e comincia ad oscillare sottoponendo la
massa ad una forza elastica la cui intensitaÁ eÁ funzione dell'allungamento r ed eÁ espressa dalla relazione
Fˆ
Figura 1
Figura 2
kr
dove il segno negativo indica che ~
F e~
r hanno versi opposti.
Osserviamo subito che il moto del corpo non eÁ uniforme
(figura 2): al momento del rilascio (posizione A) il moto
eÁ accelerato e tale si mantiene fino a che il corpo transita
per la posizione O (punto di equilibrio), esso poi rallenta
fino a raggiungere la posizione B; arrivato in B si ferma,
inverte il senso di marcia e ridiventa accelerato.
Se rappresentiamo in un grafico spazio-tempo le sue posizioni nei successivi istanti che compongono una oscillazione completa (tratto A-B-A), otteniamo un grafico come
quello in figura 3.
Un moto di questo tipo, come giaÁ saprai, prende il nome
di moto armonico; esso puoÁ essere visto come la proiezione di un moto circolare uniforme su
Figura 3
un diametro di una circonferenza. Infatti, se consideriamo un punto P su
una circonferenza di raggio r e la
sua proiezione Q su un diametro prefissato, quando P si muove su con
velocitaÁ angolare ! costante (si definisce velocitaÁ angolare il rapporto
tra l'angolo, in radianti, descritto
dal raggio OP ed il tempo impiegato
a descriverlo), Q si muove percorrendo il diametro avanti e indietro (figura 4).
8
Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI
Figura 4
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Se fissiamo un sistema di riferimento come
quello in figura 5, l'ascissa di P eÁ la stessa
di quella di Q. Se all'istante t ˆ 0 l'angolo
POA eÁ , ad ogni istante t successivo l'angolo POA eÁ !t ‡ percheÁ la velocitaÁ angolare eÁ costante.
Figura 5
Il rapporto fra il segmento OQ ed il raggio
OP eÁ il coseno dell'angolo !t ‡ , e quindi
possiamo dire che
ƒƒ!
OQ
cos …!t ‡ † ˆ
r
L'ascissa di Q eÁ, quindi, ad ogni istante
x ˆ r cos …!t ‡ †:
Se avessimo considerato come diametro di riferimento quello intercettato
sull'asse y (figura 6), avremmo ottenuto in modo analogo l'ordinata di
Q dall'equazione
y ˆ r sin …!t ‡ †
Figura 6
Un moto armonico eÁ quindi un moto che ha un grafico di tipo sinusoidale;
r viene detto ampiezza del moto, rappresenta la fase iniziale del moto,
cioeÁ l'angolo all'istante t ˆ 0.
Per disegnare il grafico di queste funzioni possiamo usare sia Derive che
GeoGebra.
Se, ad esempio, ! ˆ e ˆ 0, otteniamo per Q le seguenti equazioni a seconda che consideriamo il mo3
vimento di P proiettato sull'asse x o sull'asse y :
t
y ˆ r sin
t
x ˆ r cos
3
3
In figura 7 puoi vedere i grafici di queste curve nei casi in cui r ˆ 1, r ˆ 2, r ˆ 3. L'altezza della curva, e
quindi l'ampiezza dell'oscillazione, cresce al crescere di r.
Figura 7
x ˆ r cos
t
3
x ˆ r sin
t
3
Se invece varia la velocitaÁ angolare, varia conseguentemente il periodo della funzione. Se, ad esempio,
poniamo r ˆ 1 e ˆ 0, le coordinate di Q soddisfano le seguenti equazioni:
x ˆ cos …!t†
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
y ˆ sin …!t†
Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI
9
In figura 8 puoi vedere i grafici corri1
spondenti ai casi in cui ! ˆ , ! ˆ 1,
2
! ˆ 2.
Osserviamo che, al crescere di !, si ha
una proporzionale diminuzione del periodo della funzione.
La costante determina, infine, lo sfasamento della curva, cioeÁ di quanto la curva eÁ spostata verso destra o verso sinistra rispetto a quella che passa per l'origine. In figura 9 puoi osservare i grafici
della curva
x ˆ cos …!t ‡ †
e
10
ˆ
,
3
ˆ
per
,
2
ˆ
Figura 8 x ˆ cos …!t†
Figura 9
!ˆ1
3
2
Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Missione umanitaria
Mario e Paolo fanno parte di una ONG, cioeÁ di una organizzazione non governativa che in questo momento,
nell'ambito della cooperazione e sviluppo di un piccolo paese africano, eÁ impegnata in un progetto di costruzione di un pozzo per l'approvvigionamento di acqua.
Per trasportare il materiale necessario utilizzano un piccolo aereo e sorvolano la zona per localizzare il punto di
atterraggio piuÁ vicino al villaggio.
Figura 1
Con gli strumenti di bordo possono misurare gli angoli di depressione, vale a dire gli angoli misurati tra la direzione orizzontale
nel punto in cui si trova l'osservatore O e la direzione che congiunge l'osservatore con l'oggetto osservato (figura 1).
Riescono cosõÁ a determinare l'angolo di depressione con il luogo di atterraggio e l'angolo di depressione con il villaggio in cui
deve essere costruito il pozzo.
I dati rilevati sono i seguenti (osserva la figura 2):
l
l
l
altezza h dell'aereo:
angolo : 55
angolo :
2000m
Figura 2
35 .
Con le conoscenze cha hai acquisito in questo capitolo, puoi senz'altro dare una risposta ai seguenti quesiti.
d formato dalla linea che con1 Quanto misura l'angolo OAV
giunge l'aereo con il luogo di atterraggio e la linea del terreno?
d
2 Quanto misura l'angolo OVA?
3 Quanto sono lunghi i lati OA e OV ?
4 Quanto dista il villaggio dal luogo di atterraggio?
5 Il seguente eÁ un problema assegnato all'Esame di Stato del
2009. Vuoi provare a risolverlo? Oltre alle conoscenze di
trigonometria ti serve anche qualche nozione di Fisica.
Un turista, che osserva un lago scozzese dalla cima di un
fiordo alto 100 metri, vede spuntare la testa di un mostro
acquatico in un punto per il quale misura un angolo di depressione di 18,45 . Il mostro, che nuota in linea retta allontanandosi dall'osservatore, si immerge, per riemergere
cinque minuti piuÁ tardi in un punto per cui l'angolo di depressione vale 14,05 . Con che velocitaÁ, in metri all'ora,
sta nuotando il mostro?
2 35
3 OA ˆ 2442m; OV ˆ 3487m
Tema 5 - Cap. 1: LE FUNZIONI GONIOMETRICHE E I TRIANGOLI
1 125
4 1456m
5 1200m/h
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
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