Quantità di moto
Si definisce quantità di moto di un oggetto puntiforme di
massa m e velocità ~v la quantità
p
~ = m~v
Si noti che p
~ ha la stessa direzione e lo stesso verso di ~v . La
~ = m~a si può anche scrivere
seconda legge della dinamica F
p
~ = d~
F
dt
~ = 0 (o se la risultante delle forze che agiscono sull’oggetto
Se F
è nulla) la quantià di moto è costante
~ =0
F
→
d~
p
=0
dt
→
p
~ = cost
Impulso di una forza
p
~ = d~
~ dt = d~
F
→ F
p
dt
se ad un oggetto viene applicata un forza per un intervallo
di tempo infinitesimo dt la sua quantità di moto varia della
quantità infinitesima d~
p.
Se la forza è applicata per un intervallo di tempo finito tf − ti
∫ pf
∫ tf
~ dt =
F
d~
p=p
~f in − p
~in
La quantità
∫ tf
ti
ti
pi
~ dt è detta impulso della forza F
~
F
∫ tf
~ dt
F
J~ =
ti
l’impulso di una forza che agisce su un punto materiale è
uguale alla variazione della quantità di moto dell’oggetto:
~p
J~ = ∆~
Le dimensioni dell’imulso sono quelle di una forza per un
tempo e quindi la sua unità di misura è Newton · secondi
Sistemi di punti materiali
Consideriamo il moto complessivo di un sistema meccanico
composto da più oggetti puntiformi soggetto a forze esterne
e interne. Ad esempio gli oggetti potrebbero essere collegati
tra di loro a coppie con delle funi: le forze di tensione delle
funi sono delle interne; potrebbero essere soggetti alla forza
peso (forze esterne).
Se indichiamo con mi e p
~i la massa e la quantità di moto
dell’i-esimo oggetto, la seconda legge della dinamica:
p1
~ est + F
~21 + F
~31 + · · ·
F
= d~
1
dt
p2
~ est + F
~12 + F
~32 + · · ·
F
= d~
2
dt
···
~ est è la risultante delle forze esterne che agiscono sul corpo
F
i
~ji è la forza interna con cui il corpo j agisce sul corpo i.
i; F
Sommiamo membro a membro tutte le equazioni: nella
somma del membro a sinistra sopravvivono solo le forze es~ij = −F
~ji .
terne, poichè, per la terza legge della dinamica, F
Si ottiene perciò:
N
∑
~ est =
F
i
N ~
∑
dpi
i=1
i=1
dt
~ la quantità di moto totale del sistema
Indichiamo con P
~ =
P
N
∑
i=1
p
~i
→
N
∑
~
dP
est
~
Fi =
dt
i=1
che è la seconda legge della meccanica generalizzata a un
sistema di punti materiali.
~ con la forza peso!!)
(N.B. non confondere P
Se la risultante delle forze esterne è nulla
N
∑
i=1
~ est = 0
F
i
→
~
dP
=0
dt
~ = costante
→ P
la quantità di moto totale del sistema si conserva
~in = P
~f in
P
Questa è un’equazione vettoriale, quindi se una componente
lungo uno degli assi coordinati della forza totale esterna
agente su un sistema è nulla, la compenente della quantità
di moto lungo quell’asse si conserva.
Nello studio di un sistema di oggetti puntiformi materiali
è conveniente introdurre un punto particolare, il centro di
massa. Vedremo che questo punto si muove come se tutta
la massa del sistema fosse concentrata in esso e come se
~
tutte le forze agissero su quel punto. In altre parole, se F
è la risultante di tutte le forze esterne al sistema e M è la
massa totale del sistema, il centro di massa è un punto che
~ /M .
si muove con un’accelerazione data da ~a = F
Ad esempio il moto del centro di massa dei frammenti di
un fuoco artificiale che esplode in volo segue la traiettoria
parabolica che seguirebbe il proiettile se non esplodesse (nel
caso in cui si trascuri l’attrito e fino all’istante in cui alcuni
dei frammenti cominciano ad arrivare a terra).
Nel caso di un sistema costituito da due oggetti puntiformi
di massa m1 e m2 nelle posizioni ~
r1 e ~
r2 (in un dato sistema
di riferimento (Oxyz)), la coordinata del centro di massa è
definita da
m1~
r1 + m2~
r2
~
rCM =
m1 + m2
che si generalizza la caso di N oggetti di massa mi e vettori
posizione ~
ri
~
rCM
N
1 ∑
mi~
ri
=
M i=1
M =
N
∑
mi
i=1
dove M è la massa totale del sistema. Le componenti di
questo vettore ~
rCM = xCM î + yCM ĵ + zCM k̂ sono date in termini
delle componenti dei vettori posizione ~
ri = xiî + yiĵ + zik̂ dei
singoli oggetti
xCM
N
1 ∑
=
mi xi
M i=1
yCM
N
1 ∑
=
mi yi
M i=1
zCM
N
1 ∑
=
mizi
M i=1
Mostriamo ora che, se M è fissata, cioè nessun oggetto
lascia o entra nel sistema durante il moto, l’equazione del
moto per il centro di massa è
N
∑
~ est = M~aCM
F
i
i=1
dove ~aCM è l’accelerazione del centro di massa.
Dimostrazione: dalla definizione di ~
rCM si ha
M~
rCM = m1~
r1 + m2~
r2 + · · · + mN ~
rN
derivando rispetto al tempo
M~vCM = m1~v1 + m2~v2 + · · · + mN ~vN =
N
∑
~
p
~i ≡ P
i=1
dove ~vi e p
~i sono la velocità e la quantità di moto dell’iesimo
oggetto e ~vCM è la velocità del centro di massa: la quantità
di moto totale del sistema è uguale al prodotto della massa
totale del sistema per la velocità del suo centro di massa.
Derivando un’altra volta si ha
∑
~
dP
~ est
=
=
F
i
dt
i=1
N
M~aCM
Il sistema nel suo insieme si muove se fosse un’unico punto
materiale di massa M concentrata tutta nel suo centro di
massa, a cui è applicata la risultante delle forza esterne.
~vCM (e ~aCM ) non sono la velocità (e l’accelerazione) di nessuna delle particelle che costituiscono il sistema, il valore di
~vCM dice come in media il sistema si sta spostando. In effetti
~
rCM , ~vCM e ~aCM sono le medie pesate sulle masse dei vettori posizione, delle velocità e delle accelerazioni dei singoli oggetti.
Se
N
∑
~ est = 0
F
i
→
~aCM = 0
i=1
la velocità del centro di massa è costante.
Impulso: come per il punto materiale, possiamo definire
l’impulso che una o più forze esterne cedono a un sistema
di punti materiali
∫
∫ tf
~estdt =
~ =P
~f in − P
~in
F
dP
J~ =
ti
l’impulso di una forza esterna che agisce su un sistema di
punti materiali è uguale alla variazione della quantità di moto
totale del sistema.
D’altra parte la quantità di moto del sistema è pari alla
quantità di moto di un punto di massa pari alla massa totale
del sistema che si muove con velocità ~vCM , quindi si ha anche
J~ = M (~vCM, f in − ~vCM, in)
Urti
Un urto è un evento nel quale sotto l’azione di una forza
relativamente intensa due o più corpi entrano in contatto
per un intervallo di tempo relativamente breve.
Le forze agenti per un tempo breve rispetto al tempo di osservazione del sistema sono dette forze impulsive. Le forze
che intervengono durante un urto sono forze impulsive.
In un fenomeno d’urto almeno uno dei corpi è in moto e
quindi il sistema possiede una certa energia e una certa
quantità di moto. Vogliamo studiare come queste quantità
cambiano dopo l’urto.
Durante l’urto a causa del brevissimo tempo di interazione
le forze esterne si possono trascurare:
∫ t+τ
~ estdt ' 0
J~est =
F
t
quindi la quantità di moto complessiva del sistema si conserva.
Consideriamo il caso di due corpi A e B che si urtano. Du~ (t) e B esercita
rante la collisione A esercita su B la forza F
~ (t): la loro intensità varia nel tempo ma issu A la forza −F
tante per istante le due forze sono uguali ed opposte (azione
e reazione).
Queste forze fanno variare la quantità di moto di entrambi
i corpi, questa variazione dipende dalla forza e dal tempo
~ = d~
durante il quale la forza agisce. Dalla relazione F
p/dt
applicata al corpo B si ha
~ (t)dt
d~
pB = F
Integrando questa relazione da un tempo iniziale ti (subito
prima della collisione) a un tempo finale tf (subito dopo la
collisione) si ha
∫
∫ tf
~ dt = J~
F
p
~B,f − p
~B,i =
d~
pB =
ti
~ (t) e quindi la variazione della
Sul corpo A agisce la forza −F
quantità di moto di A è
∫ tf
~ )dt = −J~
p
~A,f − p
~A,i =
(−F
ti
di conseguenza
p
~B,f − p
~B,i = −(~
pA,f − p
~A,i )
la variazione della quantità di moto di A è uguale ed opposta
alla variazione della quantità di moto di B.
Q Un urto si dice elastico se le forze impulsive che si generano nell’urto sono conservative: la variazione dell’energia
potenziale elastica durante la fase di compressione si trasforma in energia cinetica nella fase di rilascio e non si ha dissipazione di energia. In questo caso l’energia meccanica prima
e dopo l’urto è la stessa.
Q Un urto si dice parzialmente o totalmente anelastico
quando una parte dell’energia meccanica iniziale del sistema
(o tutta) viene dissipata nell’urto: l’energia meccanica non
si conserva.
In un urto completamente anelastico dopo l’urto i due corpi
restano attaccati formando un unico corpo: l’energia spesa
per deformare i due corpi non viene più recuperata e l’energia
meccanica non si conserva.
Urto completamente anelastico in una dimensione:
un corpo di massa m1 e velocità v1 (proiettile) incide su un
corpo di massa m2 fermo (bersaglio); dopo l’urto i due corpi
rimangono incollati. Dalla conservazione della quantità di
moto
m1 v1
m1v1 = (m1 + m2)v
→ v=
m1 + m2
dove v è la velocità dei due corpi (uniti) dopo l’urto.
N.B. La quantità di moto totale si conserva e quindi la velocità del centro di massa è costante ed è pari a v la velocità
dell’oggetto finale.
Esempio: Pendolo balistico: si tratta di un dispositivo per
misurare la velocità di un proiettile. È formato da un blocco
di legno di massa M sospeso a due lunghe funi. Un proiettile
di massa m e velocità orizzontale v è sparato contro il blocco
e vi si conficca. Dopo l’urto il blocco oscilla e si alza di un
tratto h sopra il livello iniziale. Una misura di h permette di
determinare la velocità del proiettile.
Le forze che agiscono sul sistema sono la forza peso e la
tensione delle funi. L’urto avviene in un tempo cosı̀ breve
che l’impulso di queste forze si può considerare trascurabile
e durante l’urto si conserva la quantità di moto
totale. L’urto è completamente anelastico quindi
la velocità del sistema
blocco+proiettile
subito
dopo l’urto è
m
V =
v (∗)
m+M
Dopo l’urto il proiettile rimane nel blocco e entrambi si sollevano di un tratto h. In questa fase possiamo applicare la
conservazione dell’energia meccanica, tra lo stato (A) subito
dopo l’urto in cui il blocco+proiettile parte con velocità V e
lo stato (B) in cui arriva alla quota massima h dove si ferma
istantaneamente (dopo di che il blocco ridiscende e continua
ad oscillare).
Prendendo come livello zero dell’energia potenziale gravitazionale quello dello stato A (cioè U (A) = 0) si ha
1
(m
2
+ M )V 2 = (m + M )gh
→
V 2 = 2gh
Utlizzando (*) si ricava la velocità del proiettile
m+M√
v=
2gh
m
(si noti che la tensione delle funi non interviene perchè è
sempre ortogonale al moto del blocco quindi non compie
lavoro e non contribuisce all’energia meccanica).
Urto elastico in una dimensione
Consideriamo due corpi che si muovono lungo una retta e
compiono un urto elastico (il moto è unidimensionale, le velocità saranno positive o negative a seconda del verso):
~v1
~v2
~v10
~v20
Nell’urto si conservano la quantità di moto e l’energia meccanica del sistema formato dalle due masse:
dalla conservazione della quantità di moto si ha
m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20
dalla conservazione dell’energia meccanica si ha
1
m v2
2 1 1
+ 12 m2v22 = 12 m1v102 + 12 m2v202
(si noti che l’energia potenziale non compare perchè è la
stessa prima e dopo l’urto). Da queste due uguaglianze si
possono ricavare v10 e v20 e si trova
2m2
m1 − m2
v1 +
v2
m1 + m2
m1 + m2
2m1
m2 − m1
v20 =
v1 +
v2
m1 + m2
m1 + m2
Casi particolari:
Q m1 = m2
v10 =
v10 = v2
v20 = v1
i due corpi si scambiano le velocità. In particolare se il corpo
1 era fermo prima dell’urto (v1 = 0), dopo l’urto la palla
urtante si ferma e l’altra parte con la velocità della palla
urtante:
v10 = v2
v20 = 0
Q bersaglio fisso:
Un’altra situazione particolare è quella in cui uno dei due
corpi è inizialmente fermo, ad es. v2 = 0
m1 − m2
2m1
v1
v20 =
v1
m1 + m2
m1 + m2
Possiamo considerare due sottocasi:
P m2 >> m1 (bersaglio massicio)
v10 =
2m1
v1
m2
il proiettile praticamente rimbalza e inverte la sua velocità
mentre il bersaglio si mette in moto con una piccola velocità
(perchè m1/m2 << 1).
Nel limite m2 → ∞, urto contro una parete ferma, v10 = −v1
e v20 = 0.
P m1 >> m2 (proiettile massiccio)
v10 ≈ −v1
v10 ≈ v1
v20 ≈
v20 ≈ 2v1
il proiettile prosegue praticamente indisturbato nel suo moto
in avanti mentre il bersaglio scatta in avanti con una velocità
doppia di quella del proiettile.
Urto elastico in due dimensioni
Quando l’urto non è frontale (cioè il centro di massa non è
allineato con la direzione del moto), dopo l’urto i corpi non
si muovono lungo l’asse iniziale
Supponiamo che il corpo m2 sia fermo. Proiettando sugli assi
coordinati l’equazione della conservazione della quantità di
moto, m1~v1 + m2~v2 = m1~v10 + m2~v20 , si trova
0
0
m1v1x = m1v1x
+ m2v2x
0
0
m1v1y = m1v1y
+ m2v2y
dove
0 = v 0 cos θ ,
0 = v 0 sin θ ,
v1x
v1y
1
1
1
1
0
0
0
0
v2x = v2 cos θ2 , v2y = v2 sin θ2.
Se l’urto è elastico, l’energia meccanica si conserva, quindi
le equazioni che descrivono l’urto sono
0
0
m1v1x = m1v1x
+ m2v2x
0
0
m1v1y = m1v1y
+ m2v2y
1
m v2
2 1 1
= 12 m1v102 + 12 m2v202
02 + v 02 e v 02 = v 02 + v 02 .
dove v102 = v1x
1y
2
2x
2y
Note la velocità iniziale e le masse, si hanno tre equazioni e
0 , v 0 , v 0 e v 0 , e per risolvere il problema
quattro incognite v1x
1y
2x
2y
occorre aver misurato una delle quattro.
