L’ultima parola sull’elemento di matrice hm|∆ĥ|ii
Giovanni B. Bachelet, 17 marzo 2016
Parto dalla formula 1.24 di pag. 27 del testo EFAMS, cioè da
~ ~
hm|∆ĥ|ii = −iαAo ε̂ · hm| eiko·~r ∇|ii
e−iωo t + iϕo +
~ko·~r ~
−i
iω
t
−
iϕ
o
.
+ hm| e
∇|ii e o
Definisco l’elemento di matrice (costruito con ingredienti tutti spaziali)
Z
~
~
i
k
·~
r
~
o
~ mi (ko ) = hm| e
~
~ b (~r) .
M
∇|ii
= d3 r ψa∗ (~r) eiko ·~r ∇ψ
A questo punto l’equazione di partenza diventa
h
i
~ mi (~ko ) e−iωo t + iϕo + M
~ mi (−~ko ) eiωo t − iϕo
hm|∆ĥ|ii = −iαAo ε̂ · M
Ora uso la definizione di Mmi (~ko ), integro per parti, sfrutto la gauge di radiazione (ε̂· ~ko = 0)
e ottengo:
~ mi (~ko ) = −ε̂· M
~ ∗ (−~ko ) ovvero ε̂· M
~ mi (−~ko ) = −ε̂· M
~ ∗ (~ko ) .
ε̂· M
im
im
Utilizzando questo risultato, l’equazione di partenza diventa
h
i
~ mi (~ko ) e−iωo t + iϕo − M
~ ∗ (~ko ) eiωo t − iϕo ,
hm|∆ĥ|ii = −iαAo ε̂ · M
im
consentendo l’atterraggio sull’equazione 1.25 di pag. 27, che è giusta anche se non vi appare
esplicitamente la dipendenza da ~ko . Tuttavia non esplicitare la dipendenza da ~ko e poi
motivare il passaggio dalla Eq. 1.24 all’Eq. 1.25 (come scritto sul libro all’inizio di pag. 28)
~ mi = −ε̂ · M
~ ∗ è un po’ impreciso e fuorviante: io stesso, un anno
con l’affermazione che ε̂ · M
im
e mezzo dopo aver scritto il libro, non mi raccapezzavo. Insomma l’uguaglianza va scritta
per bene come ho fatto adesso, nell’equazione racchiusa dal rettangolo. Vale però la pena
∗
~ mi = −ε̂ · M
~ im
di osservare che l’affermazione ε̂ · M
, a questo stadio imprecisa e fuorviante,
diventa esatta dopo l’approssimazione di dipolo vista all’ultima lezione: infatti a quel punto
2
~
1
i
k
·~
r
~ko·~r + ... ∇|ii
~ mi (~ko ) = hm| e o ∇|ii
~
~
~
= hm| 1 + i ~ko·~r −
M
' hm|∇|ii
2
~ mi scompare. Ringrazio gli studenti che hanno seguito con tanta
e la dipendenza da ~ko di M
attenzione da identificare il problema: per merito loro lo correggerò nella prossima edizione.
