APPUNTI DI RELATIVIT`A SPECIALE

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APPUNTI DI RELATIVITÀ SPECIALE
Francesco Haardt
21 giugno 2010
Indice
1 ORIGINI CONCETTUALI
1.1 Induzione magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 L’esperienza di Michelson & Morley . . . . . . . . . . . . . . .
2 FORMULAZIONE DELLA RELATIVITÀ SPECIALE
2.1 Princı̀pi e osservatori inerziali . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Diagrammi spazio-tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Invarianza dell’intervallo . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Iperboli invarianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Dilatazione del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Contrazione delle distanze . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Trasformate di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Composizione delle velocità . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Aberrazione della luce . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Effetto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Trasformazione dell’accelerazione . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 MCRF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Particella uniformemente accelerata . . . . . . . . .
2.8 I (finti) paradossi della Relatività . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Il paradosso dei gemelli . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Il paradosso del garage . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 MECCANICA RELATIVISTICA
3.1 Equazione della meccanica . . . .
3.2 Quantità relativistiche . . . . . .
3.2.1 Momento lineare . . . . .
3.2.2 Momento angolare . . . .
2
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INDICE
3.3
3.4
3.5
3
3.2.3 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Energia totale . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Relazione fra momento ed energia . . .
Trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . .
3.3.1 Momento . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esempio: carica in un campo elettromagnetico
3.4.1 Campo elettrico costante ed uniforme .
3.4.2 Campo magnetico costante ed uniforme
Esempio: particella in un potenziale centrale .
4 ALGEBRA VETTORIALE
4.1 Quadrivettori . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Basi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Trasformazioni inverse . . . . . . . .
4.2 4-velocità e 4-momento . . . . . . . . . . . .
4.2.1 4-velocità . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 4-momento . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Conservazione del 4-momento . . . .
4.3 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 4-velocità e 4-accelerazione come differenziali
4.5 Energia e momento . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Esempio: scattering Compton . . . . . . . .
4.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 ALGEBRA TENSORIALE
5.1 Tensori . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Definizione e tensore metrico .
5.1.2 1-forme . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Derivata
covariante . . . . . .
0
5.2 Tensori 2 . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Generalità . . . . . . . . . . .
5.2.2 Ruolo
del tensore metrico . .
M
5.3 Tensori N . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Differenziazione di tensori . . . . . .
5.5 Esempio: il tensore energia–momento
5.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
6 ELETTRODINAMICA RELATIVISTICA
6.1 Equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Conservazione della carica elettrica . . . . . .
6.1.2 Equazione delle onde . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Tensore elettromagnetico . . . . . . . . . . . .
6.1.4 Equazioni di Maxwell in forma tensoriale . . .
6.2 Trasformazioni dei campi . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Campi da cariche in moto uniforme . . . . . . . . . .
6.4 Elettrodinamica covariante . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 La 4-forza di Lorentz . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Radiazione da cariche relativistiche . . . . . . . . . .
6.5.1 Potenza totale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Distribuzione angolare della radiazione emessa
6.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
INDICE
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101
Capitolo 1
ORIGINI CONCETTUALI
1.1
Induzione magnetica
Un problema chiaro nella interpretazione dei fenomeni elettromagnetici si
riscontra nell’interpretazione fisica dell’induzione magnetica. Consideriamo
infatti un magnete ed un conduttore in moto relativo (figura 1.1). Il fenomeno
fisico (induzione) non dipende dal sistema di riferimento, ma osserviamo che
la descrizione di quello che accade al conduttore è differente, a seconda che
ci si trovi in un sistema solidale con esso, oppure solidale con il magnete.
Infatti:
• SISTEMA DI RIFERIMENTO DEL MAGNETE:
campo B =const, e campo E = 0. Le cariche sul conduttore che
si muove sono soggette alla forza di Lorentz F = e(v × B), che non
compie lavoro.
• SISTEMA DI RIFERIMENTO DEL CONDUTTORE:
si crea un campo indotto E′ , e le cariche sul conduttore sono soggette
a F′ = eE′ che compie lavoro.
Il problema è riconciliare queste due interpretazioni del medesimo fenomeno
fisico. Einstein da questo capı̀ che le trasformazioni Galileiane non erano
conciliabili con le eqz. di Maxwell. Alla radice del problema sta il concetto
stesso di “tempo”, ed in particolare, di “misura del tempo”.
5
6
CAPITOLO 1. ORIGINI CONCETTUALI
Sistema del magnete
E =0
B =const
F =e( v x B)
N
v
S
Sistema del conduttore
N
E’indotto
F’=e E’
v
S
Figura 1.1: Induzione magnetica vista nel sistema di riferimento del magnete ed in quello
del conduttore.
1.2
L’esperienza di Michelson & Morley
Un fenomeno empirico fondamentale nella costruzione di tutta la SR é l’invarianza della velocitá della luce rispetto a sistemi di riferimento inerziali (che
definiremo dopo). Nell’esperienza di Michelson & Morley (1887) un fascio di
luce emesso da una sorgente E viene fatto incidere su uno specchio semiriflettente M0 con un angolo di 45 gradi, come mostrato in figura 1.2. I due
fasci “1 e “2 vengono quindi ricomposti sul cannocchiale R, dove si osservano
le frange d’interferenza. L’intero apparato e’ in moto con velocità v rispetto
all’etere, un ipotetico mezzo che sostiene il moto delle onde elettromagnetiche (EM). Le onde EM si muovono a velocità c rispetto all’etere. La velocità
1.2. L’ESPERIENZA DI MICHELSON & MORLEY
7
nel sistema del laboratorio del fascio “1” è c + v da M0 a M1, mentre è c − v
da M1 a M0. Il tempo per percorrere due volte il cammino L1 è quindi
1
L1
2L1
L1
+
=
,
T1 =
c+v c−v
c
1 − β2
dove β = v/c. Per il fascio “2” abbiamo invece:
q
cT2 = 2 L22 + (vT2 /2)2 ,
da cui
T2 =
1
2L2
p
.
c
1 − β2
(1.2)
(1.3)
v
M2
L2
(1.1)
2
M0
M1
1
E
L1
2
1
R
Figura 1.2: Schema dell’esperienza di Michelson & Morley.
La differenza di cammino ottico fra i due fasci produce quindi un ∆T =
T2 − T1 dato da:
!
2
L1
L2
p
∆T =
−
(1.4)
c
1 − β2 1 − β2
8
CAPITOLO 1. ORIGINI CONCETTUALI
Se ora si ruota di 90 gradi l’interferometro, si ha
2
∆T ′ =
c
L1
L2
−p
2
1−β
1 − β2
!
.
(1.5)
La rotazione quindi produrrebbe uno spostamento delle frange d’interferenza
∆n = ν(∆T ′ − ∆T ) ≃
L1 + L2 2
β ≃ 0.4,
λ
usando λ = 5.5 × 10−7 m, β ≃ 10−4 , L1 = L2 = 11 m.
(1.6)
Nell’esperienza di Michelson & Morley non si osservò alcun spostamento
delle frange. Se ne concluse che la velocità della luce era la stessa in tutte le
possibili direzioni di moto rispetto all’etere.
Capitolo 2
FORMULAZIONE DELLA
RELATIVITÀ SPECIALE
2.1
Princı̀pi e osservatori inerziali
La teoria della relatività speciale (RS) di Einstein è del 1905. La descrizione
geometrica della spazio-tempo ad opera di Minkowski è del 1908. I principi
su cui si fonda la RS sono due:
1. Il Principio di Relatività Galileiano, cioè: nessun esperimento può
provare l’esistenza di una velocità assoluta.
2. La velocità della luce è la stessa in ogni sistema di riferimento.
La RS tratta la fisica in sistemi di riferimento detti inerziali. La RS include
anche le forze, ad esclusione della forza di Gravità, per la quale è necessaria
la Teoria Generale della Relatività.
Un Sistema di Riferimento Inerziale (brevemente, sistema inerziale) è
definito come segue:
1. La distanza fra due punti x1 e x2 è indipendente dal tempo.
2. Gli orologi sono sincroni e “corrono” allo stesso rate.
3. La geometria è, ad ogni tempo, Euclidea.
9
10 CAPITOLO 2. FORMULAZIONE DELLA RELATIVITÀ SPECIALE
Definiamo come unità di tempo la lunghezza. Un intervallo di 1 metro di
tempo è il tempo in cui la luce compie una distanza di 1 metro. Con queste
unità la velocità è quindi adimensionale, e la velocità della luce vale
c=
1m
= 1.
1m
(2.1)
v=1
v<1
accelerata
v=0
v=1
t [m]
v>1
universo a t costante
O
x [m]
Figura 2.1: Linee di Universo nello spazio-tempo.
2.2
Diagrammi spazio-tempo
Le coordinate t, x, y, z sono quattro coordinate di uno spazio 4-D detto spaziotempo. Per convenzione (t, x, y, z) si indicano come (x0 , x1 , x2 , x3 ) ≡ xα , con
α = 0, 1, 2, 3. Indici romani (es., i, j, k) indicano invece solo le tre coordinate
spaziali. Un punto nello spazio-tempo 4-D viene detto evento. La traiettoria
di un punto materiale (particella) nello spazio tempo viene detta linea di
Universo (abbreviato in WL, dall’inglese world line). In figura 2.1 è mostrato
2.2. DIAGRAMMI SPAZIO-TEMPO
11
lo spazio-tempo di un osservatore inerziale O [dove nel disegno l’asse x deve
considerarsi rappresentare lo spazio (xyz)] e alcune WL esemplificative.
Consideriamo due osservatori inerziali O e O′ , dove O′ si muove, rispetto
a O, con velocità v. Senza perdere in generalità, consideriamo la velocità
v = v orientata lungo l’asse x positiva (come mostrato in figura 2.2).
z’
z
y
O
x
v
y’
O’
x’
Figura 2.2: Osservatori in moto.
Vogliamo calcolare come “vede” O lo spazio-tempo di O′ . Iniziamo dall’asse
t′ . L’asse t′ è il luogo con x′ = y ′ = z ′ = 0, cioè, per O, non è altro che la
WL di O′ (si veda figura 2.3). Si noti che tan φ = v.
12 CAPITOLO 2. FORMULAZIONE DELLA RELATIVITÀ SPECIALE
t
t’
φ
x
Figura 2.3: Asse t′ vista da O. La linea tratteggiata e’ inclinata di 45 gradi, e rappresenta
quindi la WL di un fotone.
Consideriamo ora l’esperimento eseguito da O′ della riflessione di un fotone. Il fotone viene emesso al tempo t′ = −a da O′ in direzione x′ positiva.
Incontra uno specchio al tempo t′ = 0 (e quindi posizionato in x′ = +a), e
viene riflesso indietro (e quindi raggiunge O′ in x′ = 0 al tempo t′ = +a). L’esperimento, nello spazio-tempo di O′ , appare come mostrato a sinistra della
figura 2.4. La riflessione viene vista da O come mostrato invece a destra in
figura. Il fotone viene messo in E, da cui parte una WL a 45 gradi, e ricevuto
in R, a cui arriva una WL, anchessa inclinata di 45 gradi ma in direzione
opposta. L’intersezione di queste 2 WL, punto P, è evidentemente l’evento
riflessione. È chiaro quindi che la retta congiungente P e l’origine deve essere
l’asse t′ = 0 su cui avviene la riflessione, a distanza +a dall’origine. Cioè
l’asse x′ . Si noti che l’angolo fra gli assi t e t′ è uguale all’angolo fra gli assi
x e x′ . Il punto fondamentale è considerare che le WL di fotoni sono sempre rette inclinate di 45 gradi, indipendentemente dal sistema di riferimento.
Questo per via dell’invarianza della velocità della luce discussa precedentemente. Si noti come l’evento P sia simultaneo, per O′ , al suo passaggio
nell’origine al tempo t′ = t = 0, mentre lo stesso evento accada dopo per
2.2. DIAGRAMMI SPAZIO-TEMPO
13
l’osservatore O. Il concetto stesso di simultaneità perde di significato in RS.
t’
Riflessione in O’
t’
t
φ
Vista da O
R
R
x’
φ
P
P
x
x’
E
E
Figura 2.4: Riflessione di fotoni in O′ come viene vista da O.
Ovviamente lo spazio tempo di O viene visto da O′ semplicemente considerando il caso precedente, con v rimpiazzata da −v (si veda figura 2.5).
t’
t
t
φ
φ
t’
x’
φ
x
φ
x
Figura 2.5: Moto relativo di O e O′ . O′ si muove lungo le x positive.
x’
Non e’ difficile mostrare che gli assi y ′ e z ′ (cioè gli assi spaziali perpendicolari al moto) rimangono invariati per O. Ci resta ora solo da trovare come
viene trasformata la scala degli assi t′ e x′ in O.
14 CAPITOLO 2. FORMULAZIONE DELLA RELATIVITÀ SPECIALE
2.2.1
Invarianza dell’intervallo
Siano E e P due eventi lungo un raggio di luce, separati da ∆xα . Per
l’invarianza di c = 1 abbiamo che
(
(∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 − (∆t)2 = 0
(2.2)
(∆x′ )2 + (∆y ′ )2 + (∆z ′ )2 − (∆t′ )2 = 0.
Definiamo intervallo fra due eventi la quantità
∆s2 ≡ −∆t2 + ∆x2 + ∆y 2 + ∆z 2 ,
(2.3)
dove per non appesantire la notazione, abbiamo omesso le parentesi tonde.
Sappiamo quindi che ∆s2 = 0 → ∆s′2 =0, cioè per fotoni, l’intervallo è un
invariante.
Dimostriamo ora che questo vale per eventi qualsiasi, cioè che
∆s2 = ∆s′2
(2.4)
Consideriamo un intervallo infinitesimo ds2 . Ora, data la trasformazione
fra i due sistemi, ds2 e ds′2 devono essere infinitesimi dello stesso ordine,
cioè ds2 = a ds′2 , dove la costante di proporzionalità può solo dipendere dal
modulo della velocitè relativa ai due sistemi v, non dalle sua direzione (per
l’isotropia dello spazio), né tanto meno dalle coordinate dei due eventi (per
l’omogeneità dello spazio).
Consideriamo ora tre sistemi di riferimento, K, K1 e K2 . Sia v1 la velocità
relativa fra K e K1 , v2 quella fra K e K2 , e v12 quella fra K1 e K2 . Da

2
2

ds = a(v1 )ds1
ds2 = a(v2 )ds22

 2
ds1 = a(v12 )ds22
ricaviamo
a(v2 )
= a(v12 )
(2.5)
a(v1 )
Ora, v12 dipende da v1 , v2 , e dall’angolo fra le due velocità, mentre, come
detto prima, v1 e v2 non dipendono da alcun angolo, ma solo dal valore
assoluto delle due velocità. Quindi l’eq. 2.5 può solo avere soluzione se a(v) =
costante = 1, cioè ds2 = ds′2 .
2.2. DIAGRAMMI SPAZIO-TEMPO
15
• Se ∆s2 > 0, l’intervallo si dice di tipo spaziale.
• Se ∆s2 < 0, l’intervallo si dice di tipo temporale.
• Se ∆s2 = 0, l’intervallo si dice di tipo luce o nullo.
Dato un evento, possiamo definire il suo cono di luce (figura 2.6), cioè il
luogo degli eventi che possono essere stati in contatto causale con l’evento
considerato (passato assoluto) e di quelli che potranno esserlo nel futuro
(futuro assoluto). La superficie del cono di luce forma un angolo di 45o con il
piano del presente definito dalla condizione t = 0 (qui esemplificato, in 2-D,
dal piano xy). Il complementare del cono di luce nello spazio-tempo descrive
l’altrove assoluto.
futuro assoluto
t
altrove
t=0
E
x
y
altrove
passato assoluto
Figura 2.6: Cono di luce dell’evento E. Lo spazio 3-D è qui rappresentato dal piano xy.
2.2.2
Iperboli invarianti
Cerchiamo ora la scala degli assi di O′ nello spazio-tempo di O. Si considerino
le due iperboli −t2 + x2 = +1, e −t2 + x2 = −1 in figura 2.7 a sinistra. La
prima, in verde, descrive ovviamente un luogo di intervalli spaziali, mentre la
16 CAPITOLO 2. FORMULAZIONE DELLA RELATIVITÀ SPECIALE
seconda, in rosso, temporali. Le due iperboli sono, per quanto visto prima,
invarianti relativistiche, cioè descrivono intervalli uguali a +1 e −1 anche
in O′ . Esse sono, asintoticamente, tangenti alle bisettrici, cioè a due raggi
di luce. Nella figura a destra, le coordinate (t, x) dell’evento A per O sono
(1, 0), mentre l’evento E ha coordinate (0, 1). Nel sistema O′ , per l’invarianza
delle iperboli, sono l’evento B e l’evento F ad avere coordinate (t′ , x′ ) uguali
a (1, 0) e (0, 1), rispettivamente. Notiamo che la retta tangente all’iperbole
in B e’ parallela all’asse x′ , e rappresenta il luogo di simultaneità a B per
O′ . Per O, invece, il luogo di simultaneità a B sarà una retta passante per
B stesso e parallela all’asse x.
t’
t
t’
t
x’
B
A
x’
x
F
E
x
Figura 2.7: Le iperboli verde e rossa marcano intervalli ds2 = +1 e ds2 = −1
rispettivamente.
2.3
Dilatazione del tempo
Consideriamo l’evento B in figura 2.7, che in O′ ha coordinate (t′ , x′ ) = (1, 0).
Le coordinate di B in O saranno date dal sistema seguente:
(
−t2 + x2 = −1
t = x/v,
(2.6)
2.3. DILATAZIONE DEL TEMPO
da cui
t= √
17
1
> 1.
1 − v2
(2.7)
√
Il fattore 1/ 1 − v 2 ≡ γ è detto fattore di Lorentz. L’eq. 2.7 ci dice cioè
che un intervallo di tempo ∆t misurato in O, equivale ad un intervallo γ∆t′
misurato in O′ , cioè è più lungo. O vede le lancette degli orologi di O′
muoversi più lentamente di quelle dei propri orologi.
t
C
t’
B
x’
D
E
A
F
x
Figura 2.8: Dilatazione del tempo.
Chiedamoci: O′ vede quindi gli orologi di O muoversi più velocemente? Se si,
questo sembra produrre un paradosso, poichè sarebbe in contraddizione con
principio di relatività Galileiana. Il paradosso è solo apparente. Possiamo
dire che:
• Tutti gli osservatori sono d’accordo sul risultato di dati eventi. Due
orologi affiancati vengono letti nello stesso modo dai due osservatori.
• Il problema è il “rate” al quale le lancette corrono. Per potere fare un
confronto, occorre leggere due orologi in due istanti diversi. Essendo
18 CAPITOLO 2. FORMULAZIONE DELLA RELATIVITÀ SPECIALE
in moto relativo, i due orologi saranno affiancati solo in uno dei due
istanti diversi.
Come misura l’intervallo di tempo O? Consideriamo la figura 2.8. O deve
′
confrontare la lettura di un singolo orologio di O′ (Oclock
che si muove lungo
una WL da A a B) con due orologi diversi. Il primo, nell’ordine, “legge”
′
′
Oclock
in A. Il secondo, che si trova in F al tempo t = 0, “legge” Oclock
in B.
La WL del primo orologio di O è l’asse t, mentre la WL del secondo orologio
di O e’ la retta passante per F e B.
′
• O dice: il mio primo orologio e Oclock
in A leggono entrambi t = t′ = 0.
′
Il mio secondo orologio in B legge t = γ > 1, mentre Oclock
legge t′ = 1.
′
Quindi Oclock
rallenta.
• O′ dice: sono d’accordo sulla lettura degli orologi. Ma per potere dire
′
che il mio Oclock
rallenta, devi essere sicuro che i tuoi due orologi siano
′
sincronizzati, altrimenti il fatto che Oclock
e il tuo secondo orologio
segnino, in B, due tempi diversi non è significativo.
• O dice: sono sincronizzati. Infatti in A e F segnano lo stesso tempo
t = 0.
• O′ dice: non lo sono per me. L’evento simultaneo a B, per me, è E,
non C. Le coordinata temporale di E è t = 1/γ, che è prima di t = γ,
segnato dal secondo orologio in B. Quindi i tuoi due orologi non sono
sincronizzati. Inoltre, il tuo primo orologio, in A segna t = 0, mentre
in E segna intervallo t = 1/γ, mentre la lettura del mio da A a B
(simultaneo ad E) va da t′ = 0 a t′ = 1. È il tuo primo orologio che
rallenta.
La relativitè Galileiana non è violata. Il “trucco” sta nel fatto che i due osservatori fanno misure di intervalli di tempo in due modi diversi. O, dovendo
usare due orologi, deve necessariamente utilizzare il concetto di simultaneità
degli eventi, concetto che, come visto, dipende dal sistema di riferimento.
Per O, A e F sono simultanei (entrambi i suoi orologi segnano t = 0), ma
non per O′ (non sono simultanei), e quindi, se i due orologi di O segnano
lo stesso tempo t = 0 in due eventi non simultanei, significa che non sono
sincronizzati.
Due note:
2.4. CONTRAZIONE DELLE DISTANZE
19
• O vede tutto l’Universo di O′ rallentato. Non è un effetto di meccanica degli orologi, tutti i processi gli appaiono più lenti, anche quelli
biologici.
• Non sono illusioni ottiche dovute alla “lettura” degli orologi.
Tempo proprio
Definiamo tempo proprio τ il tempo misurato da un singolo orologio che passa
attraverso due eventi. Cioè, nel caso di prima, ∆t′ . Per un orologio a riposo
in O′ si ha che ∆x′2 = ∆y ′2 = ∆z ′2 = 0, per cui ∆s2 = −∆t′2 = −∆τ 2 .
Notiamo che il tempo proprio per O è invece ∆τ = ∆t/γ.
2.4
Contrazione delle distanze
La contrazione delle distanze è l’effetto in qualche modo “speculare” della
dilatazione del tempo. Si consideri un regolo di lunghezza ℓ a riposo in O′ ,
e posizionato lungo l’asse x′ , cioè lungo la direzione del moto relativo di O′
rispetto ad O. Quale è la lunghezza del regolo per O? Consideriamo la
figura 2.9.
Il regolo lungo ℓ in O′ si trova, al tempo t′ = 0 definito fra gli eventi
A e C. L’asse t′ è ovviamente la WL della coda del regolo, mentre la retta
parallela a t′ e passante per B e C è la WL della punta del regolo. Per O, al
suo tempo t = 0, il regolo è lungo AB che indichiamo come xB .
20 CAPITOLO 2. FORMULAZIONE DELLA RELATIVITÀ SPECIALE
t
t’
punta
coda
x’
C
A
B
x
Figura 2.9: Contrazione delle distanze.
Se indichiamo le coordinate in O dell’evento C come (tC , xC ), per invarianza
dell’intervallo abbiamo
−t2C + x2C = ℓ2 .
Inoltre, da tC = vxC , otteniamo
(
xC = γ ℓ
tC = vγ ℓ
Osservando che
da tB = 0, otteniamo
(2.8)
xC − xB
= v,
tC − tB
xB = xC − vtC .
Sostituendo i valori per xC e tC di eq. 2.8, finalmente si ha
xB = ℓ γ(1 − v 2 ) =
ℓ
.
γ
(2.9)
2.5. TRASFORMATE DI LORENTZ
21
Il regolo appare quindi più corto in O. In questo caso l’assimetria dei due
sistemi è palese: in O′ il regolo è a riposo, mentre si muove rispetto ad O.
Nel caso della dilatazione del tempo, l’assimetria è più sottile, e nasce dal
modo di misurare gli intervalli di tempo.
È infine semplice mostrare che perpendicolarmente al moto non si ha
alcuna contrazione delle distanze.
2.5
Trasformate di Lorentz
Diamo ora una trattazione più formale di quanto visto fino ad ora. Consideriamo sempre un boost di O′ in direzione x positiva, con velocità v. In
generale, avremo che
′
t = αt + βx


 ′

x = ηt + σx
(2.10)
′

y
=
y


 ′
z = z.
Se osserviamo la parte destra di figura 2.4, vediamo che l’asse t′ (luogo degli
eventi x′ = 0) ha eq. t = x/v, da cui ricaviamo η/σ = −v. Analogamente,
l’asse x′ (luogo degli eventi t′ = 0) ha eq. t = vx, da cui β/α = −v. Quindi
′
t = α(t − vx)



x′ = σ(x − vt)

y′ = y


 ′
z = z.
(2.11)
Sempre osservando figura 2.4, Consideriamo gli eventi R e P che sono connessi
da un raggio di luce. Se in O le coordinate (t, x) di R sono (tR , xR ), quelle
di P saranno (tP , xP ) = (xR , tR ). In O′ abbiamo invece che R ha coordinate
(t′ , x′ ) = (α(tR −vxR ), 0), mentre P (t′ , x′ ) = (0, σ(xP −vtP )), usando eq. 2.11.
Poiché i due eventi sono connessi da un raggio di luce, anche in O′ l’intervallo
deve essere nullo:
∆s2 = −[α(tR − vxR )]2 + [σ(xP − vtP )]2 = 0.
22 CAPITOLO 2. FORMULAZIONE DELLA RELATIVITÀ SPECIALE
Da tR = xP e xR = tP otteniamo α = σ. Abbiamo quindi
′
t = α(t − vx)



x′ = α(x − vt)

y′ = y


 ′
z = z.
(2.12)
da cui, usando ∆s2 = −∆t2 + ∆x2 = −∆t′2 + ∆x′2 , otteniamo
−α2 (t − vx)2 + α2 (x − vt)2 = −t2 + x2 =⇒ α2 =
1
≡ γ 2.
1 − v2
Delle due soluzioni α = ±γ scegliamo α = +γ, in modo che v = 0 dia
l’indentità, e non l’inversione delle coordinate. Abbiamo quindi
′
t = γt − γvx


 ′

x = −γvt + γx
(2.13)
′

y
=
y


 ′
z = z,
che rappresenta la trasformazione di Lorentz, cioè la relazione fra le coordinate di O′ e O, dove O′ si muove con velocità v lungo le x positive. È
evidente che la relazione che esprime le coordinate di O come combinazione
lineare delle coordinate di O′ si ottiene semplicemente cambiando v in −v,
cioè

t = γt′ + γvx′



x = γvt′ + γx′
(2.14)
′

y
=
y



z = z′,
Un modo più compatto di scrivere le relazioni 2.13 è il seguente. Per ogni
α = 0, 1, 2, 3 scriviamo
′
α′
x =
3
X
β=0
′
′
Λαβ xβ ≡ Λαβ xβ ,
(2.15)
dove nella seconda uguaglianza abbiamo usato la convezione di Einstein, cioè
ogni volta che compare un indice ripetuto, una volta in alto ed una in basso
2.6. COMPOSIZIONE DELLE VELOCITÀ
23
(in questo caso β), si conviene che esiste una sommatoria su quell’indice.
Cioè nel nostro caso β è un indice muto. Da 2.13, i coefficienti non nulli in
eq. 2.15 sono
′
′
Λ00 = γ
Λ01 = −γv
′
′
(2.16)
Λ10 = −γv
Λ11 = γ
′
′
2
3
Λ2 = 1
Λ3 = 1.
In forma matriciale, possiamo scrivere la

γ
−γv

′
−γv
γ
Λαβ = 
 0
0
0
0
2.6
trasformazione come

0 0
0 0

1 0
0 1
(2.17)
Composizione delle velocità
Consideriamo ora una particella che abbia velocità w′ rispetto all’osservatore
O′ , il quale si muove rispetto ad O con velocità v lungo l’asse x positivo.
Assumiamo, per adesso, che w′ = w ′ sia parallela al moto relativo fra i due
osservatori, e nella medesima direzione. Ci proponiamo di trovare la velocità
w della particella rispetto ad O.
Differenziando le prime 2 espressioni in eq. 2.14 si ha
(
dt = γdt′ + γvdx′
dx = γvdt′ + γdx′ ,
da cui
w=
γ(vdt′ + dx′ )
v + w′
dx
=
=
,
dt
γ(dt′ + vdx′ )
1 + vw ′
dove w ′ = dx′ /dt′ .
Notiamo che:
• w = 1 =⇒ (1 − v)(1 − w ′ ) = 0, cioè v = 1 e/o w ′ = 1.
• w < 1 =⇒ v, w ′ < 1.
• w ′ = 1 =⇒ w = 1 ∀ v (invarianza della velocità della luce).
(2.18)
(2.19)
24 CAPITOLO 2. FORMULAZIONE DELLA RELATIVITÀ SPECIALE
• v, w ′ ≪ 1 =⇒ w = v + w ′ (composizione Galileiana).
Se w′ non è parallela a v, l’eq. 2.19 è valida per la componente di w lungo
x, cioè
v + wx′
wx =
.
(2.20)
1 + vwx′
Inoltre, da dy = dy ′, wy = dy/dt, wy′ = dy ′/dt′ , e dalla prima di eq. 2.18,
otteniamo
wy′
dy ′
dy
=
=
,
(2.21)
wy =
dt
γ(dt′ + vdx′ )
γ(1 + vwx′ )
e analogamente
wz =
wz′
.
γ(1 + vwx′ )
(2.22)
Infine, per una v fra i due osservatori qualsiasi, cioè non necessariamente
lungo x′ , possiamo dividere w′ nelle componenti parallela wk′ e perpendicolare
′
w⊥
a v, ottenendo
wk =
w⊥ =
2.6.1
v + wk′
1 + vwk′
′
w⊥
.
γ(1 + vwk′ )
(2.23a)
(2.23b)
Aberrazione della luce
Un’applicazione immediata delle formule sulla composizione delle velolcità
riguarda l’aberrazione della luce. Possiamo identificare il piano definito da
w′ e da v con il piano x′ y ′ di O′ , dove la direzione e verso di v definiscono
l’asse x′ (figura 2.10). Da
(
′
w⊥
= w′ sin θ′
(2.24)
wk′ = w′ cos θ′ ,
usando eq. 2.23a e 2.23b, abbiamo
w⊥
w′ sin θ′
= tan θ =
.
wk
γ(w′ cos θ′ + v)
(2.25)
2.6. COMPOSIZIONE DELLE VELOCITÀ
y
25
y’
v
w’
θ’
O
x
O’
x’
Figura 2.10: Aberrazione della luce.
Se la particella emessa in O′ con angolo θ′ è un fotone (w = w ′ = 1), possiamo, da eq. 2.25, scrivere una relazione fra l’angolo di emissione nei due
sistemi:
sin θ′
tan θ =
,
(2.26)
γ(cos θ′ + v)
che può anche essere scritta come
v + cos θ′
1 + v cos θ′
sin θ′
.
sin θ =
γ(1 + v cos θ′ )
cos θ =
(2.27a)
(2.27b)
Immaginiamo di avere una sorgente di radiazione isotropa in O′ . Metá
della radiazione è emessa con un angolo −π/2 < θ′ < π/2 (mentre il rimanente 50% con π/2 < θ′ < 3/2π). Per O, usando eq. 2.27a e 2.27b, l’angolo
corrispondente a θ′ = ±π/2 risulta essere
(
cos θ = v
(2.28)
sin θ = 1/γ.
Se γ ≫ 1, abbiamo θ ∼ 1/γ. Cioè l’osservatore O vede metà della radiazione
“inconata” entro un angolo ∼ 1/γ davanti alla particella emittente. L’effetto
si chiama beaming (figura 2.11).
26 CAPITOLO 2. FORMULAZIONE DELLA RELATIVITÀ SPECIALE
1/γ
O’
O
Figura 2.11: Beaming dei fotoni.
2.6.2
Effetto Doppler
Consideriamo una sorgente luminosa O′ in moto con velocità v che forma
un angolo θ rispetto ad un osservatore all’infinito O (figura 2.12). Si noti
che θ è l’angolo misurato nel sistema dell’osservatore, non in quello della
sorgente. Assumiamo che fra i punti 1 e 2 la sorgente compia un’oscillazione,
cioè che ∆t′ = 2π/ω ′, dove ∆t′ è il periodo dell’oscillazione, nel sistema O′
della sorgente. Per O si ha L = v∆t e, utilizzando le trasformate di Lorentz,
∆t = γ∆t′ = γ(2π/ω ′). Ora, O riceve due segnali emessi in 1 e 2 con un
ritardo dato da
∆tA = ∆t − D = (1 − v cos θ)∆t,
(2.29)
dove abbiamo usato D = v∆t cos θ. La frequenza osservata è quindi
ω=
2π
2πω ′
ω′
=
=
.
∆tA
2πγ(1 − v cos θ)
γ(1 − v cos θ)
(2.30)
Rispetto alla formula classica, si ha il fattore γ a denominatore, dovuto
alla trasformazione del tempo fra i due sistemi di riferimento. Notiamo che
cos θ > 0 =⇒ ω > ω ′ .
2.7. TRASFORMAZIONE DELL’ACCELERAZIONE
27
O
D
θ
O’ 1
v
L
2
Figura 2.12: Effetto Doppler.
La formula 2.30 è ibrida, in quanto non separa chiaramente quantità
misurate in O rispetto a O′ . Può comunque essere riscritta come
ω ′ = ωγ(1 − v cos θ),
(2.31)
oppure, utilizzando eq. 2.27a,
ω = ω ′ γ(1 + v cos θ′ ).
2.7
(2.32)
Trasformazione dell’accelerazione
Differenziando eq. 2.23a e 2.23b otteniamo
dwk =
e
dw⊥ =
γ 2 (1
1
dw ′ ,
+ vwk′ )2 k
1
′
′
(1 + vwk′ )dw⊥
− vw⊥
dwk′ .
′ 2
γ(1 + vwk )
(2.33)
(2.34)
Utilizzando ora la prima di eq. 2.18 si ha
ak ≡
dwk
1
= 3 ′3 a′k ,
dt
γ σ
(2.35)
28 CAPITOLO 2. FORMULAZIONE DELLA RELATIVITÀ SPECIALE
e
a⊥ ≡
dw⊥
1
′ ′
= 2 ′3 (σ ′ a′⊥ − vw⊥
ak ),
dt
γ σ
(2.36)
′
dove a′k ≡ dwk′ /dt′ , a′⊥ ≡ dw⊥
/dt′ , e σ ′ ≡ (1 + vwk′ ).
2.7.1
MCRF
Possiamo ora definire il cosiddetto MCRF (per Momentary Comoving Rest
Frame), cioè un sistema di riferimento rispetto al quale la particella sia, in
ogni istante, in quiete. L’MCRF sarà diverso da istante a istante, ed è in
tale sistema che la definizione di accelerazione può essere confrontata con
l’analogo Newtoniano.
′
Nell’MCRF (che per noi è O′ ) abbiamo che w⊥
= wk′ = 0 =⇒ σ ′ = 1,
e quindi eq. 2.35 e 2.36 danno le relazioni seguenti fra le accelerazioni nel
MCRF della particella, e quelle nel sistema O dell’osservatore:
2.7.2
a′k = γ 3 ak
(2.37a)
a′⊥
(2.37b)
2
= γ a⊥ .
Particella uniformemente accelerata
Una particella si dice uniformemente accelerata se è soggetta ad un’accelerazione costante nel tempo nel suo MCRF. Vogliamo sapere quanto vale la
velocità v della particella dopo un tempo t, sapendo che v = 0 a t = 0, e la
strada che ha percorso.
Immaginiamo che il moto avvenga lungo l’asse x.
particella a′ = a′k =costante. Sappiamo che (eq. 2.37a)
a′ = γ 3 a = γ 3
da cui
a′ dt =
Integrando
a′ t =
dv
dt
1
dv.
(1 − v 2 )3/2
v
,
(1 − v 2 )1/2
Nel sistema della
2.8. I (FINTI) PARADOSSI DELLA RELATIVITÀ
da cui
v(t) = √
a′ t
.
1 + a′2 t2
29
(2.38)
Scrivendo v = dx/dt, La strada percorsa in un tempo t, se x = 0 a t = 0,
sarà data da
Z t
a′ t
1 √
1 + a′2 t2 − 1 .
(2.39)
x(t) =
dt √
= ′
a
1 + a′2 t2
0
Notiamo infine come v(t) e x(t) nel limite non relativistico coincidano con le
formule classiche v = at e x = at2 /2.
Se, ad esempio, a′ = 10 m/s2 , chiediamoci quanto tempo occorre alla
particella per arrivare ad avere una velocità v=0.999. Possiamo usare la
formula per v(t) (eq. 2.38) esplicitando questa volta t:
t=
1
v
√
.
′
a 1 − v2
Scriviamo a′ in unità naturali: a′ = 10/c2 = 1.1 × 10−16 1/m, e quindi
abbiamo t = 2 × 1017 m che equivale a circa 22 anni.
Chiedamoci ora questi 22 anni a quanti anni del tempo proprio τ della
particella corrispondono. Da dτ = dt/γ, abbiamo
Z t √
Z t r
Z t
1
a′2 t2
dt
=
= ′ sinh−1 (a′ t),
dt 1 − v 2 =
dt 1 −
τ=
′2
2
1+a t
a
0
0
0 γ
(2.40)
che corrispondono a circa 3.6 anni.
2.8
2.8.1
I (finti) paradossi della Relatività
Il paradosso dei gemelli
Un astronauta parte per un viaggio lasciando il suo gemello sulla Terra.
L’astronauta viaggia per un tempo τ = 7 anni del suo tempo a velocità v =
0.96 rispetto alla Terra, poi inverte i motori e torna indietro alla medesima
velocità. Al suo ritorno sulla Terra, troverà il suo gemello più giovane, con
la stessa età, o più invecchiato?
Consideriamo il diagramma spazio tempo del viaggio in figura 2.13.
30 CAPITOLO 2. FORMULAZIONE DELLA RELATIVITÀ SPECIALE
t"
t
A
x"
B2
t’
x’
B
B1
P
x
Figura 2.13: Diagramma spazio-tempo del paradosso dei gemelli.
Mentre per il gemello rimasto sulla Terra possiamo considerare un solo sistema inerziale O, per il gemello viaggiatore occorre considerare un primo
sistema O′ uscente, ed un secondo sistema O′′ rientrante. La traiettoria dei
due viaggi è rappresentata dalle freccie rosse.
Le coordinate dell’evento di partenza sono P → (0, 0), e anche P →′ (0, 0).
O
O
L’evento B di inversione avrà coordinate B →′ (τ, 0) per il viaggiatore, mentre
O
B → (γτ, vγτ ) nel sistema della Terra. A questo il viaggiatore inverte i
O
motori, e cambia sistema di riferimento, ponendosi in O′′ . Le coordinate
dell’evento di rientro R saranno R →′′ (τ, 0) per il sistema dell’astronave,
O
2.8. I (FINTI) PARADOSSI DELLA RELATIVITÀ
31
mentre per il sistema terra R → (2γτ, 0).
O
In definiva, per l’astronauta passa un tempo uguale a 2τ = 14 anni,
mentre per il gemello rimasto sulla Terra passano 2γτ = 50 anni.
Notiamo che l’evento simultaneo a B sulla Terra nel sistema uscente è
l’evento B1, le cui coordinate nel sistema della Terra sono A → (τ /γ, 0), cioè
O
sono passati 2 anni. Come deve essere per il principio di relatività Galileiano, l’astronauta vede il gemello sulla Terra invecchiare meno velocemente.
Quando improvvisamente cambia sistema di riferimento, l’evento simultaneo
a B sulla Terra diviene l’evento B2, la cui coordinata temporale (sulla Terra)
è 48 anni. A questo punto l’astronauta “vede” il suo gemello istantaneamente
invecchiare, e poi, durante il viaggio di ritorno che dura 7 anni, vede invece
che per il gemello sulla Terra ne passano solo 2 (da B2 ad A).
Ma cosa significa “vede il suo gemello istantaneamente invecchiare”? Il
punto fondamentale è che per poter “vedere” il gemello sulla Terra, il viaggiatore deve registrare in qualche modo quello che accade sulla Terra mentre
lui viaggia. Per fare questo può far mandare altri viaggiatori dopo di lui
che passano la Terra a velocità v e controllano l’età del gemello. Analogamente può mandare viaggiatori in rientro prima di lui che controllino l’età
del gemello terrestre. Il viaggiatore leggerebbe che, quando l’astronave ha
raggiunto il punto B, l’ultimo dei suoi colleghi uscenti ha registrato che sono
passati 2 anni sulla Terra, e rimarrebbe perplesso del leggere che invece il
primo dei suoi colleghi in viaggio di rientro ha registrato un tempo di 48
anni sulla Terra al momento dell’inversione dei motori. Qual’è l’errore? Il
sistema dei viaggiatori in uscita, smettendo di registrare l’età del gemello
sulla Terra una volta che l’astronave giunge la punto B, copre di fatto solo il
tratto P-B1 dell’asse del tempo terrestre, cosı̀ come il sistema dei viaggiatori
in rientro copre solo il tratto B2-A. Questi sistemi sono una cattiva scelta,
non coprendo tutto lo spazio-tempo terrestre (il tratto B1-B2).
Notiamo infine che l’effetto è reale, non essendoci simmetria fra i due
gemelli: la Terra è un unico sistema inerziale, mentre l’astronave è descritta
da due sistemi inerziali diversi. In relatività non esistono paradossi.
32 CAPITOLO 2. FORMULAZIONE DELLA RELATIVITÀ SPECIALE
2.8.2
Il paradosso del garage
Immaginiamo che O′ guidi un autobus lungo 20 m a velocità v = 0.8, e che lo
voglia posteggiare dentro un box lungo solo 15 m. Sulla porta del box si trova
l’amico O, a cui è stato detto di chiudere la porta quando tutto l’autobus
fosse entrato nel garage.
Cerchiamo di descrivere la situazione. L’autobus è lungo ℓ′a = 20 m
nel suo sistema di riferimento, quindi in quello di O′ , mentre per O la sua
lunghezza sarà ℓa = ℓ′a /γ = 12 m. Per lui non ci sono problemi a farlo stare
nel box che è lungo ℓb = 15 m e quindi a chiudere la porta, non fosse che il
box, per O′ , appare lungo solo ℓ′b = ℓb /γ = 9 m. Sembra quindi che in un
sistema (quello solidale a box) la porta possa venire chiusa, mentre che ciò
non sia possibile nel sistema solidale con l’autobus. Questo è un paradosso,
perché la chiusura o meno della porta deve essere un evento la cui realtà è
indipendente dal sistema di riferimento.
Dobbiamo considerare due eventi; uno è la chiusura della porta non appena la coda dell’autobus entra nel box, l’altro è l’urto del muso dell’autobus
contro la parete opposta del box. Cerchiamo le coordinate di questi eventi
nei due sistemi di riferimento.
Nel sistema O abbiamo visto che il bus (12 m) entra nel box (15 m).
Assegniamo all’evento “chiusura della porta” le coordinate (0, 0)m. Quando
la porta viene chiusa, il muso dell’autobus si trova a 15 − 12 = 3 m dal fondo
del box. L’urto avviene quindi dopo un tempo 3/0.8 = 3.75m. Le coordinate
dell’evento “urto” sono quindi (3.75, 15)m. L’urto avviene dopo la chiusura
della porta.
Vediamo ora le coordinate dei due eventi nel sistema dell’autobus O′ .
Ricordiamo che l’autobus è lungo 20 m, mentre il box solo 9 m. In questo
sistema è il box che si muove a velocità 0.8 incontro al bus. È chiaro che
il muso urterà contro la parete opposta del box prima che l’autobus riesca
ad entrare nel box. Diamo all’evento “urto” le coordinate (0, 0). Quanto ci
mette la coda del bus (che è fuori dal box al momento dell’urto) a fermarsi?
Non può fermarsi istantaneamente, poichè l’onda d’urto ci metterà un tempo
minimo 20/1 m a propagare dal muso alla coda (abbiamo assunto qui che
l’onda d’urto propaghi alla velocità dell luce). La coda, in 20 m di tempo
a velocità 0.8 percorre un tratto di 20 × 0.8 = 16 m. Poiché al momento
dell’urto del muso con la parete, la coda si trovava a 20 − 9 = 11m dalla
2.9. ESERCIZI
33
porta d’ingresso, vediamo che effettivamente il bus, comprimendosi, riesce ad
entrare nel box. La coda enterà nel box (e quindi la porta viene chiusa) dopo
un tempo 11/0.8 = 13.75m dall’urto. Le coordinate dell’evento “chiusura”
sono quindi (13.75, 20)m. L’urto avviene prima della chiusura della porta.
Questo non è un paradosso. Se calcoliamo l’intervallo fra i due eventi,
abbiamo ∆s2 = −(3.752 )+(152 ) = 210m2 (oppure ∆s′2 = −(13.752 )+(20)2 =
210m2 ). L’intervallo (invariante come deve essere) è di tipo spaziale, cioè
positivo. Gli eventi chiusura e urto non sono quindi connessi causalmente, e
in questo caso esistono sistemi di riferimento in cui l’ordine temporale viene
scambiato, senza che questo crei alcun problema concettuale. Ancora una
volta, non esistono paradossi in relatività.
2.9
Esercizi
1. Scrivere nelle unità in cui c = 1, le unità di accelerazione, forza, energia,
potenza.
2. I tachioni sono ipotetiche particelle che viaggiano con v > 1 nel sistema dell’emettitore. Immaginiamo che un ricevitore R si trovi a distanza L dall’emettitore E quando riceve un messaggio tachionico, e che, immediatamente
risponda inviando un tachione come risposta. Quanto tempo passa per E
fra l’emissione del primo tachione e la ricezione del tachione di risposta?
3. Un pione π ha un tempo di decadimento, nel suo sistema di riferimento, di
tdec = 2.5 × 10−8 sec. Se viaggia a v = 0.999 rispetto ad un osservatore,
quale tempo di decadimento misura l’osservatore?
4. La stella s1 ha velocità v rispetto ad un osservatore. La stella s2 ha velocità
v rispetto ad s1 , la stella s3 ha velocità v rispetto ad s2 e cosı̀ via. Calcolare
la velocità della stella sn rispetto all’osservatore.
Capitolo 3
MECCANICA
RELATIVISTICA
3.1
Equazione della meccanica
L’eq. di Newton
F=m
dv
dt
(3.1)
non è relativisticamente corretta, poichè una forza costante applicata sufficientemente a lungo produrrebbe velocità arbitrariamente grandi.
Sperimentalmente si trova che la legge della meccanica deve essere modificata come segue:
d
(3.2)
F = (mγv).
dt
Affinchè eq. 3.2 sia relativisticamente corretta, occorre che i due membri a
destra e sinistra si trasformino nello stesso modo passando da un sistema
di riferimento ad un altro. In meccanica Newtoniana il problema non esiste,
poichè l’accelerazione di un oggetto, al contrario della velocità, è indipendente
dal sistema di riferimento.
Da eq. 3.2 si ha
F = mγ
dv
dγ
dγ
+ mv
= mγa + mv ,
dt
dt
dt
34
(3.3)
3.2. QUANTITÀ RELATIVISTICHE
35
dove, si noti, la forza ha due componenti: una parallela all’accelerazione
(come in meccanica Newtoniana), e una, nuova, parallela alla velocità.
Da dγ/dt = γ 3 v · a, possiamo riscrivere eq. 3.3 come
mγa = F − mγ 3 v(v · a).
(3.4)
mγ 3 (v · a) = F · v,
(3.5)
Moltiplicando vettorialmente ambo i membri per v abbiamo poi
che inserita in eq. 3.4 da infine
1
[F − v(F · v)]
γ
Notiamo che nel caso in cui a e v siano parallele si ha
ma =
(3.6)
F = mγ 3 a.
3.2
3.2.1
Quantità relativistiche
Momento lineare
Il momento lineare (o, semplicemente, il momento) è definito come
p = mγv.
(3.7)
Da eq. 3.2 abbiamo quindi
dp
= F,
(3.8)
dt
che sembra l’equivalente Newtoniano. Notiamo però che p e v, in questo
caso, non sono linearmente proporzionali.
3.2.2
Momento angolare
Il momento angolare è definito come
da cui, notando che v × p = 0,
L = x × p,
dL
= x × F.
dt
Cioè se F = 0, allora L è costante.
(3.9)
(3.10)
36
CAPITOLO 3. MECCANICA RELATIVISTICA
3.2.3
Energia cinetica
Il lavoro compiuto da una forza è dW = F · dx = dK, dove abbiamo assunto
che il lavoro aumenti esclusivamente l’energia cinetica K. Abbiamo quindi
dK
= F · v,
dt
(3.11)
da cui, utilizzando eq. 3.5 e notando che (v · dv/dt)dt = dv 2 /2, si ottiene
1
dK = mγ 3 dv 2 .
2
(3.12)
L’integrale di eq. 3.12 da 0 a v 2 fornisce quindi l’energia cinetica acquisita:
Z 2
m v 3 2
γ du = m(γ − 1).
(3.13)
K=
2 0
Per v = 0 si ha K = 0. Al primo ordine in v 2 , se v ≪ 1, abbiamo
1
1 2
(3.14)
K = m 1 + v + . . . − m ≃ mv 2 ,
2
2
cioè, per velocità non relativistiche, ritroviamo la formulazione Newtoniana.
3.2.4
Energia totale
Da K = γm − m, definendo l’energia totale come
E ≡ γm
(3.15)
e l’energia di massa (o energia a riposo) come
E0 ≡ m,
(3.16)
E = K + E0 .
(3.17)
possiamo scrivere
Nel limite non relativistico si ha E ≃ m + 1/2mv 2 , espressione che non ha
un corrispettivo Newtoniano. Notiamo anche che, da eq. 3.11, abbiamo
dE
= F · v,
dt
(3.18)
3.2. QUANTITÀ RELATIVISTICHE
37
mentre da eq. 3.7 e 3.15,
v = p/E.
(3.19)
L’eq. 3.16 rappresenta un risultato fondamentale della relatività, cioé l’equivalenza fra massa ed energia (usando unità standard avremo E0 = mc2 ).
Nei processi fisici la quantità che si conserva è l’energia, non la massa.
Ad esempio, nella reazione chimica
1
H2 + O2 −→ H2 O
2
si libera ∆E ≃ 2.8 × 105 Joule/mole, a cui corrisponde una variazione di
massa ∆M = ∆E/c2 ≃ 3.1 × 10−10 kg (usiamo il S.I.). Da Mmole ≃ 0.018 g,
abbiamo ∆M/M ≃ 1.7 × 10−8 , che è trascurabile.
Nella fissione di un nucleo di
n+
238
238
U −→
U ad opera di un neutrone lento,
143
Ba +
93
Kr + 3n,
si libera un’energia ∆E ≃ 170 MeV, a cui corrisponde ∆M ≃ 3 × 10−28 kg.
Da MU ≃ 3.97 × 10−25 kg, abbiamo che ∆M/M ≃ 7.6 × 10−4 , quasi cinque
ordini di grandezza maggiore rispetto al caso di reazioni chimiche.
3.2.5
Relazione fra momento ed energia
Da E = γm e p = mγv, elevando al quadrato entrambe le espressioni e
facendone la differenza, otteniamo E 2 = p2 + m2 , cioè
p
(3.20)
E = p2 + m2 ,
da confrontare con E = p2 /2m in meccanica Newtoniana.
Fotoni
L’eq. 3.20 permette di definire un’energia anche per particelle di massa nulla
(e.g., i fotoni). Se m = 0 abbiamo infatti
E = p.
In meccanica Newtoniana, m = 0 =⇒ E → ∞.
(3.21)
38
CAPITOLO 3. MECCANICA RELATIVISTICA
Eq. 3.21 implica che se m = 0, da E = p, ricordando v = p/E, allora
v = 1. Cioè particelle di massa nulla devono necessariamente viaggiare alla
velocità della luce. È importante osservare che per i fotoni le espressioni
p = mγv e E = γm non hanno significato, ma nondimeno p ed E sono
definite (e finite) poichè m = 0 =⇒ v = 1.
3.3
3.3.1
Trasformazioni di Lorentz
Momento
Immaginiamo di avere una particella di velocità w′ in O′ , il quale si muove
con velocità v lungo l’asse x positivo di O. Vogliamo trovare una relazione
che leghi il momento della particella calcolato nei due sistemi di riferimento.
Se la velocità della particella in O è w = (wx , wy , wz ), il √
suo momento
sarà dato da p = (px , py , pz ) = mγw (wx , wy , wz ), dove γw ≡ 1/ 1 − w 2 , e la
sua energia da E = mγw . In O′ avremo le analoghe espressioni primate, cioè
w′ = (wx′ , wy′ , wz′ ), p′ = (p′x , p′y , p′z ), eccetera.
Ora, per esprimere w′ in funzione di w e v, possiamo utilizzare le eq. 2.20,
2.21, e 2.22, semplicemente scambiando il ruolo dei due sistemi di riferimento,
e operando la sostituzione v → −v. Utlizzando eq.2.20, possiamo scrivere
 ′
px = γv (px − vE)



 p′ = p
y
y
′

p
=
p
z

z

 ′
E = γv (E − vpx ),
(3.22)
dove
√ γv è il fattore di Lorentz del moto relativo fra i due sistemi, cioè γv ≡
1/ 1 − v 2 . La trasformazione inversa è banalmente

px = γv (p′x + vE ′ )



 p = p′
y
y
′

p
=
p
z

z


E = γv (E ′ + vp′x ).
(3.23)
3.3. TRASFORMAZIONI DI LORENTZ
39
È interessante notare come il vettore con componenti (E, px , py , pz ) si trasformi esattamente come (t, x, y, z) (eq. 2.13 e 2.14). Il perchè e l’importanza di
questo fatto risulteranno chiari nel prossimo Capitolo.
Per un boost generico, non necessariamente lungo l’asse x positivo, si ha
che
(
p′ = p + (γv − 1)(v · p)v/v 2 − γv Ev
(3.24)
E ′ = γv (E − v · p),
con l’ovvia trasformazione inversa.
Qualche passaggio mostra che
E ′2 − p′2 = E 2 − p2 = m2 .
(3.25)
La massa a riposo è quindi un invariante relativistico (non dipende cioè dal
sistema di riferimento).
3.3.2
Forza
L’eq. 3.8 deve valere in ogni sistema di riferimento. Nel caso di boost lungo
l’asse x positivo, usando eq. 3.22, possiamo scrivere
d
dp′x
(3.26)
= ′ = γv ′ (px − vE).
dt
dt
Differenziando la prima delle eq. 2.13 e dividendo per dt, otteniamo
Fx′
dt′
= γv (1 − vwx ),
dt
dove wx = dx/dt. Quindi
d
1
d
=
,
′
dt
γv (1 − vwx ) dt
che può essere sostituito in eq. 3.26, ottenendo
1
1
dpx
dE
′
=
Fx =
−v
(Fx − vF · w),
(1 − vwx ) dt
dt
(1 − vwx )
dp′y
dpy
Fy
′
=
,
Fy = ′ =
′
dt
dt
γv (1 − vwx )
dp′
dpz
Fz
Fz′ = z′ =
=
.
′
dt
dt
γv (1 − vwx )
(3.27a)
(3.27b)
(3.27c)
40
CAPITOLO 3. MECCANICA RELATIVISTICA
Per un boost generico possiamo scrivere
(
Fk′ = [Fk − v(F · w)]/(1 − v · w)
F⊥′ = F⊥ /[γv (1 − v · w)].
(3.28)
Si noti come, nel caso non relativistico, si abbia F′ = F.
3.4
Esempio: carica in un campo elettromagnetico
Per un campo EM abbiamo F = e(E + v × B). Il lavoro compiuto dalla forza
è
dW = F · v dt = eE · v dt = −e dφ,
(3.29)
dove abbiamo introdotto il potenziale elettrico E = −∇φ. L’energia potenziale è quindi dU = −dW , cioè U = e φ, mentre l’energia della particella
diviene
p
Etot = E + U = p2 + m2 + eφ = mγ + eφ.
(3.30)
3.4.1
Campo elettrico costante ed uniforme
Orientiamo il sistema di riferimento in modo che E = (Ex , 0, 0). Da dp/dt =
eE si ha


px = eEx t + const
(3.31)
py = const


pz = const.
Poniamo ora pz = 0 a t = 0, in modo che il moto avvenga nel piano xy.
Inoltre, se px = 0 a t = 0, il moto avviene lungo l’asse x. Quindi px =
γmvx = eEx t, da cui
ǫt
dx
=√
vx =
,
(3.32)
dt
1 + ǫ2 t2
dove ǫ ≡ eEx /m è l’accelerazione. Integrando, e supponendo che x = 0 a
t = 0, abbiamo la legge oraria della carica:
1 √
1 + ǫ2 t2 − 1 ,
(3.33)
x(t) =
ǫ
3.4. ESEMPIO: CARICA IN UN CAMPO ELETTROMAGNETICO
41
che abbiamo visto nel capitolo precedente come caso generale di particella
uniformemente accelerata. Notiamo che eq. 3.33 può essere riscritta come
2
1
1
x+
− t2 = 2 ,
ǫ
ǫ
che rappresenta un’iperbole avente come asintoto la retta x = t − 1/ǫ.
Nel caso caso non relativistico ǫt ≪ 1, da cui vx ≃ ǫt e x(t) ≃ 1/2ǫt2 , cioé
la legge oraria è una parabola. Gli andamenti di vx (t) e x(t) sono mostrati
in figura 3.1.
NR
R
x
NR
v
1
R
t
t
Figura 3.1: Legge oraria e velocità di una carica in un campo Ex uniforme e costante.
NR rappresenta il limite non relativistico.
Nel caso relativistico, la forza aumenta la massa della carica (mγ), non
la sua velocità.
3.4.2
Campo magnetico costante ed uniforme
In questo caso abbiamo
d
(mγv) = e(v × B).
(3.34)
dt
Notiamo che poichè la forza è comunque perpendicolare alla velocità, ricordando eq. 3.3, possiamo scrivere
mγ
dv
= e(v × B)
dt
(3.35)
42
CAPITOLO 3. MECCANICA RELATIVISTICA
Poniamo ora B = (0, 0, Bz ), da cui


mγ v̇x = evy Bz
mγ v̇y = −evx Bz


mγ v̇z = 0,
(3.36)
che ci porta a concludere che z(t) = vz t + z0 , con vz = const. Il moto lungo
l’asse del campo è quindi rettilineo ed uniforme.
Moltiplicando per l’unità immaginaria i la seconda di eq. 3.36, e sommandola membro a membro con la prima, otteniamo
d(vx + ivy )
= −ie(vx + ivy )Bz ,
dt
(3.37)
vx + ivy = (vx0 + ivy0 )e−iωc t ,
(3.38)
mγ
che integrata porta a
dove
eBz
(3.39)
mγ
è detta frequenza di ciclotrone. Notiamo che nel piano xy, perpendicolare a
2
2
2
Bz , si ha che v⊥
≡ vx2 + vy2 = vx0
+ vy0
= const.
ωc ≡
Ponendo ora
(
vx0 = v⊥ cos α
vy0 = v⊥ sin α,
dove α è detto pitch angle, possiamo riscrivere eq. 3.38 come
(
vx = v⊥ cos (ωc t − α)
vy = v⊥ sin (ωc t − α),
(3.40)
(3.41)
che integrate danno
(
x(t) = v⊥ /ωc , sin (ωc t − α) + x0
y(t) = v⊥ /ωc cos (ωc t − α) + y0 ,
(3.42)
che rappresenta un moto circolare di raggio R = v⊥ /ωc = mγv⊥ /eBz . Il moto
circolare, unito al moto uniforme lungo z, dá origine ad un moto elicoidale.
Rispetto al caso non relativistico, si ha la comparsa del fattore γ in ωc .
3.5. ESEMPIO: PARTICELLA IN UN POTENZIALE CENTRALE
3.5
43
Esempio: particella in un potenziale centrale
Consideriamo una particella in un potenziale centrale V (r). Per simmetria,
il momento angolare L si deve conservare, quindi il moto avviene in un piano
(che possiamo identificare con xy). L’energia della particella
E = γm + V (r)
(3.43)
è l’altra costante del moto.
p
In coordinate polari (r, φ), con r = x2 + y 2, abbiamo
(
v = ṙ r̂ + r φ̇ φ̂
(3.44)
L = r r̂ × mγ(ṙ r̂ + r φ̇ φ̂) = mr 2 φ̇γ ẑ.
p
In eq. 3.43 operiamo ora la sostituzione γ = 1 + γ 2 v 2 , eliminiamo quindi
v 2 attraverso la relazione
v 2 = ṙ 2 + r 2 φ̇2 = φ̇2 (r ′2 + r 2 ),
dove r ′ ≡ dr/dφ. Il termine φ̇2 può essere esplicitato da
L2 = m2 r 4 φ̇2 γ 2 ,
ottenendo quindi per l’energia
r
E=m
da cui
dr
dφ
2
1 + L2
+ r2 =
r ′2 + r 2
+ V (r),
m2 r 4
r4 (E − V )2 − m2 .
2
L
(3.45)
(3.46)
Effettuando ora la sostituzione u ≡ 1/r, moltiplicando per u4 e derivando in
d/dφ ambo i membri di eq. 3.46, e dividendoli quindi per 2du/dφ, si ha infine
d2 u
α
+
u
=
(E + αu),
dφ2
L2
(3.47)
dove abbiamo posto V = −α/r (α = GmM nel caso di potenziale Gravitazionale).
44
CAPITOLO 3. MECCANICA RELATIVISTICA
Nel limite non relativistico si ha E + αu = E − V ≃ E0 = m, e quindi
αm
d2 u
+u= 2 ,
2
dφ
L
(3.48)
che è l’equazione Newtoniana della traiettoria.
Ponendo
q=
e
p=
r
α2
L2
(3.49)
L2 − α2
αE
(3.50)
1−
eq. 3.47 divene
d2 u
q2
2
+
q
u
=
,
dφ2
p
da cui, operando la sostituzione w = u − 1/p,
d2 w
+ q 2 w = 0.
dφ2
(3.51)
La soluzione di eq. 3.51 si ottiene facilmente come
w = A cos [q(φ − φ0 )],
da cui
r(φ) =
con e ≡ Ap, detta eccetricità.
p
,
1 + e cos [q(φ − φ0 )]
(3.52)
(3.53)
Nel limite non relativistico q ≃ 1 (da α ≪ L), e quindi, per e < 1,
l’orbita è un’ellisse. Nel caso relativistico, invece, q < 1, implicando che
l’asse dell’orbita ruota (precessione del pericentro). Infatti, il pericentro è
definito da cos [q(φ − φ0 )] = 1 che implica φ = φ0 . Dopo un’orbita, la fase
del pericentro sarà φ = φ0 + 2π/q, ruotata quindi di un angolo


2π
1
δ=
− 2π = 2π  q
− 1 .
q
α2
1−
L2
In situazioni astronomiche α ≪ L, da cui
2
GMm
α2
.
δ≃π 2 =π
L
L
3.5. ESEMPIO: PARTICELLA IN UN POTENZIALE CENTRALE
45
Test osservativi sul moto dei pianeti danno δ circa sei volte più grande di
quello previsto dall’equazione precedente. Questo avviene poichè la forza
gravitazionale non può essere trattata in modo completo nell’ambito della
relatività speciale.
Capitolo 4
ALGEBRA VETTORIALE
4.1
Quadrivettori
Un vettore è un oggetto geometrico che può essere definito indipendentemente
da un sistema di coordinate. Consideriamo ora il vettore “posizione” nello
spazio-tempo O:
∆~x → {∆xα }
(4.1)
O
α
0
1
2
3
dove ∆x = ∆x , ∆x , ∆x , ∆x sono le componenti del vettore in O. Abbiamo già visto come cambiano le coordinate in un boost (eq. 2.15):
′
′
xα = Λαβ xβ ,
dove abbiamo utilizzato la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti.
Definiamo generico quadrivettore (4-vettore, cioè un vettore nello spazio
~ → {Aα } tale che, in O′ , si abbia
di Minkowski) un vettore A
O
′
′
Aα = Λαβ Aβ ,
(4.2)
cioè un oggetto le cui componenti cambiano come le componenti del vettore
posizione. Vale che
~ +B
~ → (A0 + B 0 , A1 + B 1 , A2 + B 2 , A3 + B 3 ),
A
(4.3)
~ → (µA0 , µA1 , µA2 , µA3 ).
µA
(4.4)
O
e
O
46
4.1. QUADRIVETTORI
4.1.1
47
Basi
La base è costituita da quattro 4-vettori particolari. In O, la base è data da

~e0 → (1, 0, 0, 0)


O



~e1 → (0, 1, 0, 0)
O
(4.5)

~e2 → (0, 0, 1, 0)


O


~e → (0, 0, 0, 1).
3
O
Notiamo che in O′ , ad esempio, ~e0′ →′ (1, 0, 0, 0), ma che ~e0′ 6= ~e0 , poichè
O
sono 4-vettori definiti in sistemi di riferimento diversi. Se ci chiediamo quale
è la componente β di ~eα , essa è data da (~eα )β = δαβ .
Un 4-vettore può essere espresso come combinazione lineare dei 4-vettori
~ → (A0 , A1 , A2 , A3 ) può essere scritto come
base, cioè A
O
~ = A0~e0 + A1~e1 + A2~e2 + A3~e3 = Aα~eα .
A
(4.6)
Poichè un 4-vettore è indipendente dal sistema di riferimento (sono le componenti del 4-vettore a dipendere dal sistema di riferimento), deve valere
che
~ = Aα~eα = Aα′ ~eα′ .
A
(4.7)
Notiamo che le singole componenti della combinazione lineare 4.7 sono, in
′
genere, diverse, cioè ad esempio, A0 ~e0′ 6= A0~e0 etc. É invece la somma che
produce il medesimo vettore.
′
′
′
′
Ora Aα~eα = Aα ~eα′ = Λαβ Aβ ~eα′ = Aβ Λαβ ~eα′ = Aα Λβα ~eβ ′ , da cui Aα (~eα −
′
Λβα ~eβ ′ ) = 0. Quindi
′
~eα = Λβα ~eβ ′ .
(4.8)
Si noti che la formula precedente non è un cambio di componenti simile
a eq. 4.2, ma invece esprime la base di O come combinazione lineare dei
4-vettori base di O′ .
48
CAPITOLO 4. ALGEBRA VETTORIALE
Esempio
~ → (5, 0, 0, 2).
O′ viaggia con velocità v lungo x relativamente ad O. Sia A
~ in O′ sono
Le componenti di A
 0′
′
′
′
′
A = Λ00 A0 + Λ01 A1 + Λ02 A2 + Λ03 A3



A1′ = Λ1′ A0 + Λ1′ A1 + Λ1′ A2 + Λ1′ A3
0
1
2
3
2′
2′ 0
2′ 1
2′ 2
2′ 3

A = Λ0 A + Λ1 A + Λ2 A + Λ3 A


 3′
′
′
′
′
A = Λ30 A0 + Λ31 A1 + Λ32 A2 + Λ33 A3
O
= 5γ
= −5vγ
=0
= 2,
dove i coefficienti della trasformazione di Lorentz sono dati da eq. 5.59. Cioè
~ → (5γ, −5vγ, 0, 2).
A
′
O
4.1.2
Trasformazioni inverse
′
I coefficienti Λβα dipendono solo dalla velocità relativa dei due sistemi di
′
riferimento, cioè Λβα (v). Eq. 4.8 esprime la base di O partendo dalla base
di O′ utilizzando la trasformazione con velocità v. Allora la base di O′ deve
potersi ottenere dalla base di O con una trasformazione con velocità −v, cioè
~eµ′ = Λνµ′ (−v)~eν .
(4.9)
′
La matrice [Λνµ′ ] è identica a [Λβα ], solo con v cambiata in −v. Notiamo che
la matrice [Λ] è costruita usando la velocità del sistema “sopra” rispetto a
′
quello “sotto”. Cioè in [Λνµ ] compare la velocità di O′ rispetto a O (che è
+v), mentre in [Λνµ′ ] compare la velocità di O rispetto a O′ (cioè −v).
′
′
Ora, da ~eβ ′ = Λνβ ′ (−v) ~eν , abbiamo ~eα = Λβα (v) ~eβ ′ = Λβα (v) Λνβ ′ (−v) ~eν ,
dove compaiono solo le basi di O. Quindi deve essere
′
Λβα (v) Λνβ ′ (−v) = δαν ,
(4.10)
che implica ~eα = δαν ~eν .
La formula 4.10 è la definizione di matrice inversa. Notiamo anche che, da
′
′
′
A = Λβα Aα , si ha Λνβ ′ (−v) Aβ = Λνβ ′ (−v) Λβα (−v) Aα = δαν Aα = Aν , cioè le
~ in O sono ottenute da quelle in O′ trasformandole
componenti del 4-vettore A
con −v, come deve essere.
β′
4.2. 4-VELOCITÀ E 4-MOMENTO
49
Se osserviamo eq. 4.2 e 4.9, vediamo come base e componenti si trasformino in modo inverso uno rispetto all’altro. Solo in questo modo un 4-vettore
~ = Aα~eα risulta essere indipendente dal sistema di riferimento.
A
4.2
4.2.1
4-velocità e 4-momento
4-velocità
Nello spazio 3-D della meccanica Newtoniana, la velocità è un vettore tangente al moto di una particella. Nello spazio-tempo di Minkowski, possiamo definire quadrivelocità un vettore tangente alla WL di una particella, e
che abbia lunghezza, nel sistema O′ della particella, uguale ad una unità di
tempo.
t’
t
WL
x’
e’0
P
e’1
e0
e
1
x
Figura 4.1: 4-velocità di una particella nell’evento P. La 4-velocità ~u è il vettore base
~e0′ .
Con questa definizione, se la particella ad esempio si muove di moto rettilineo
ed uniforme, il vettore 4-velocità coincide con ~e0′ . Possiamo utilizzare questa
identità come definizione di 4-velocità, cioè
50
CAPITOLO 4. ALGEBRA VETTORIALE
La 4-velocità ~u di una particella è il vettore base ~e0′ del sistema rispetto
al quale la particella stessa è a riposo.
Se la particella è in moto non uniforme, ovviamente non esiste un sistema
rispetto al quale la particella sia a riposo. Possiamo però utilizzare il concetto
di MCRF, e definire la 4-velocità come il vettore base ~e0′ del MCRF. Tale
vettore è ovviamente tangente alla WL della particella (figura 4.1).
4.2.2
4-momento
Definiamo 4-momento p~ il 4-vettore
~p ≡ m~u,
(4.11)
dove m è la massa a riposo della particella. Scrivendo p~ → (p0 , p1 , p2 , p3 ),
O
definiamo p0 = E, energia della particella, mentre p1 , p2 e p3 sono dette
componenti spaziali del 4-momento.
A questo punto non è immediatamente chiaro il perchè ~e0′ si chiami 4velocità. Consideriamo la velocità della particella v come il solito boost di
O′ lungo l’asse x postivo (cioè, consideriamo O′ come il sistema in cui la
particella
e a riposo). Quali sono le componenti di ~u e ~p in O? Da ~u = ~e0′ e p~ = m~u,
utilizzando le tegole per la trasformazione della componenti di un 4-vettore
viste in precedenza, si ha immediatamente che
′
uα = Λαβ′ (~e0′ )β = Λα0′ ,
(4.12)
pα = mΛα0′ ,
(4.13)
e
cioè, ricordando che Λνµ′ = Λνµ′ (−v),
 0
u



u1

u2


 3
u
=γ
= γv
=0
= 0,
(4.14)
4.2. 4-VELOCITÀ E 4-MOMENTO
51
e
 0
p



 p1

p2


 3
p
= mγ
= mγv
=0
= 0.
(4.15)
Per piccole v, cioè nel caso non relativistico, le componenti spaziali di ~u
sono (v, 0, 0), che ci dice perché ~u si chiami 4-velocità. Notiamo anche che,
sempre per piccole v, sia p0 ≃ m + 1/2mv 2 , cioè l’energia totale è l’energia
di massa più l’energia cinetica Newtoniana.
Abbiamo ottenuto i medesimi risultati del capitolo precedente. Nella
formulazione covariante, però, due concetti differenti, la velocità ed il momento, sono inglobati in un unico 4-vettore. Questo è molto importante,
poiché sappiamo esattamente le regole di trasformazione dei 4-vettori.
4.2.3
Conservazione del 4-momento
Nella meccanica Newtoniana, le interazioni fra particelle sono governate da
due principi empirici: la conservazione dell’energia e la conservazione del
momento. In relatività postuliamo che il 4-momento totale,
~p =
X
p~i ,
(4.16)
si conservi durante un’interazione, dove la somma è estesa a tutte le particelle che partecipano all’interazione. Cioè il 4-momento è lo stesso prima
e dopo l’interazione. La conservazione del momento in 3-D vale non relativisticamente. Nel 4-momento è inclusa anche la massa a ripose delle
particelle.
È importante considerare cosa significhi “prima” e “dopo” un’interazione, avendo visto come, in relatività, il concetto di simultaneità dipenda dal
sistema di riferimento. Consideriamo figura 4.2.
52
CAPITOLO 4. ALGEBRA VETTORIALE
t
t’
x’
B
x
A
Figura 4.2: Conservazione del 4-momento.
Per O, l’evento-interazione A accade prima di t = 0, mentre l’evento-interazione
B accade dopo t = 0, quindi in t = 0 il 4-momento è la somma dei 4-momenti
dopo A e prima di B. Per O′ , invece, entrambi gli eventi sono prima di t′ = 0,
per cui il 4-momento in t′ = 0 è la somma dei 4-momenti dopo sia A che B.
Per il principio di conservazione del 4-momento, il 4-momento prima e dopo
l’evento A deve essere lo stesso, cosı̀ come prima e dopo B. Ogni osservatore vede lo stesso p~ (le componenti sono diverse, ma il 4-vettore è lo stesso).
Ogni osservatore può definire una linea di tempo costante (una superficie 3-D
nello spazio-tempo), a quel tempo sommare tutti i 4-momenti, ed ottenere lo
stesso vettore di ogni altro osservatore.
Esiste infine un sistema di riferimento particolare, il sistema del centro
del momento, in cui le coordinate del 4-momento sono
X
p~i → (E, 0, 0, 0).
CM
E è l’energia totale delle particelle.
(4.17)
4.3. PRODOTTO SCALARE
4.3
53
Prodotto scalare
In modo del tutto simile all’intervallo ds2 , possiamo definire grandezza di un
4-vettore come
~ 2 ≡ −(A0 )2 + (A1 )2 + (A2 )2 + (A3 )2 .
(A)
(4.18)
Poichè le componenti di un 4-vettore sono definite in modo da trasformarsi
come le componenti del vettore posizione (∆t, ∆x, ∆y, ∆z), dall’invarianza
dell’intervallo segue l’invarianza della grandezza, cioè
~ ′ )2 = (A)
~ 2.
(A
(4.19)
L’invarianza è assicurata dall’aver definito la grandezza con il segno “-”
davanti alla componente “0”.
4-vettori di grandezza positiva si dicono di tipo spaziale, di grandezza
negativa di tipo temporale, e di grandezza uguale a zero di tipo nullo (nota
che non necessariamente hanno componenti (0, 0, 0, 0)).
Dati due 4-vettori, è ora naturale il prodotto scalare o prodotto interno
come
~·B
~ ≡ −A0 B 0 + A1 B 1 + A2 B 2 + A3 B 3 .
A
(4.20)
Dimostriamo ora una fondamentale proprietà del prodotto scalare cosı̀
definito, cioè che il prodotto scalare è un invariante relativistico. Infatti,
~ ·A
~ = (A)
~ 2 è invariante. Anche (A
~ + B)
~ · (A
~ + B)
~ è invariante,
sappiamo che A
~ + B.
~ Ma poichè (A
~ + B)
~ · (A
~ + B)
~ =
in quanto modulo del 4-vettore A
~ 2 + (B)
~ 2 + 2A
~ · B,
~ ne consegue che anche A
~·B
~ deve necessariamente
(A)
essere invariante.
Due 4-vettori tale per cui
~·B
~ =0
A
(4.21)
si dicono ortogonali. Notiamo che due 4-vettori ortogonali non necessariamente formano un angolo π/2 in un diagramma spazio-tempo. In generale,
sono ortogonali se formano angoli uguali con un raggio di luce. Ad esempio,
guardando figura 4.1, vediamo che ~e0 e ~e1 sono fra loro ortogonali, ma lo sono
anche fra loro ~e0′ e ~e1′ . In particolare, i 4-vettori base, poichè ~e0 · ~e0 = −1,
~e1 · ~e1 = ~e2 · ~e2 = ~e3 · ~e3 = +1, e ~eα · ~eβ = 0 se α 6= β, formano una tetrade
54
CAPITOLO 4. ALGEBRA VETTORIALE
di 4-vettori mutualmente ortogonali di lunghezza unitaria (l’unità dell’asse
temporale è -1!).
Notiamo infine che un 4-vettore nullo (raggio di luce) è ortogonale a sé
stesso, e che per 4-velocità si ha che ~u · ~u = −1, valida in ogni sistema di
riferimento.
4.4
4-velocità e 4-accelerazione come differenziali
4-velocità
Possiamo dare ora una definizione più intuitiva della 4-velocità, analoga concettualmente alla definizione classica che se ne dá in meccanica Newtoniana.
Le coordinate del moto infinitesimo di una particella sono
d~x → (dt, dx, dy, dz),
O
(4.22)
da cui il modulo del moto risulta essere
(d~x)2 = −dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2 ,
(4.23)
cioè (d~x)2 = ds2 = d~x ·d~x, che risulta essere negativo (le WL di particelle sono
di tipo tempo, poichè v < 1). Definiamo allora tempo proprio la quantità
dτ 2 ≡ −ds2 = −d~x · d~x.
(4.24)
Consideriamo ora il 4-vettore
d~x
.
dτ
(4.25)
Esso è tangente alla WL del moto, essendo un multiplo di d~x (si noti che dτ
è un numero). Il suo modulo vale
d~x · d~x
d~x d~x
·
=
= −1,
dτ dτ
dτ 2
(4.26)
4.4. 4-VELOCITÀ E 4-ACCELERAZIONE COME DIFFERENZIALI 55
da cui ne consegue che il 4-vettore 4.25 è di tipo temporale, di modulo unitario, e tangente alla WL. Se ci mettiamo nel MCRF della particella, avremo
che
d~x → (dt, 0, 0, 0)
(4.27)
MCRF
da cui
d~x
→ (1, 0, 0, 0),
dτ MCRF
avendo notato che, nell’MCRF, dτ = dt. Quindi si ha
d~x
= (~e0 )MCRF,
dτ
(4.28)
(4.29)
che è la definizione vista in precedenza di 4-velocità ~u.
4-accelerazione
Consideriamo il 4-vettore
Poichè vale che
d~u
d2~x
= 2.
dτ
dτ
(4.30)
d
d~u
(~u · ~u) = 2~u ·
=0
dτ
dτ
(4.31)
(il prodotto scalare è invariante), ne consegue che ~u e d~u/dτ sono fra loro
ortogonali. Da ~u → (1, 0, 0, 0) segue che
MCRF
d~u
→ (0, ax , ay , az ).
dτ MCRF
(4.32)
Il 4-vettore
d~u
(4.33)
dτ
si chiama 4-accelerazione, e, come visto, vale che ~a · ~u = 0. Possiamo definire
quindi la 4-forza come
F~ ≡ m~a.
(4.34)
~a ≡
Notiamo che ~a ·~u = 0 =⇒ F~ ·~u = 0, cioè la 4-forza deve avere una dipendenza
dalla velocità, dipendenza che diviene trascurabile nel limite non-relativistico.
56
4.5
CAPITOLO 4. ALGEBRA VETTORIALE
Energia e momento
Consideriamo una particella di 4-momento p~. Allora possiamo scrivere che
~p · ~p = m2~u · ~u = −m2 = −E 2 +
cioè
2
2
E =m +
3
X
3
X
(pi )2 ,
(4.35)
i=1
(pi )2 .
(4.36)
i=1
Supponiamo ora un osservatore O′ che si muove con 4-velocità ~uobs (in
generale, non è la 4-velocità della particella). Allora vale che
~p · ~uobs = p~′ · ~e0′ ,
(4.37)
avendo notato che nell’MCRF di O′ ~u = ~e0′ . Nel frame O′ abbiamo
p~ →′ (E ′ , p′1 , p′2 , p′3 )
O
da cui eq. 4.37 diviene
E ′ = −~p · ~uobs .
(4.38)
L’eq. 4.38 significa che l’energia della particella relativa all’osservatore O′ ,
può essere calcolata da chiunque in ogni frame facendo il prodotto scalare
fra ~p e ~uobs che è indipendente dal sistema di riferimento.
4.5.1
Fotoni
I fotoni si muovono lungo un WL nulla, cioè d~x · d~x = 0 =⇒ dτ = 0. Non
è possibile definire un MCRF in questo caso, la velocità 3-D è sempre e
comunque v = 1.
Il 4-momento per un fotone deve essere un 4-vettore nullo, poichè parallelo
ad una WL nulla. Immaginiamo che il fotone viaggi lungo l’asse x. In questo
caso
p~ → (E, px , 0, 0),
O
da cui
~p · ~p = −E 2 + (px )2 = 0 =⇒ px = E.
(4.39)
4.6. ESEMPIO: SCATTERING COMPTON
57
Cioè per i fotoni il 3-momento spaziale è uguale all’energia.
Come viene vista l’energia di un fotone cambiando sistema di riferimento?
Possiamo operare una trasformazione di Lorentz di p~:
E ′ = γE − γvpx = γhν − γvhν = hν ′ ,
dove E = hν e E ′ = hν ′ . Abbiamo quindi
ν′
= γ(1 − v) =
ν
r
1−v
,
1+v
(4.40)
che è la formula dell’effetto Doppler nel caso di moto parallelo alla direzione
del fotone (si veda eq. 2.30).
Particella di massa nulla
Per una qualsiasi particella di massa nulla deve valere che
m2 = −~p · p~ = 0.
(4.41)
Cioè ogni particella con massa nulla deve avere il 4-momento nullo, e viceversa. Inoltre si ha p1 /p0 = 1, mentre per una particella massiva p1 /p0 <
1.
4.6
Esempio: scattering Compton
Elettrone a riposo
Consideriamo l’urto elastico fra un fotone di energia ǫ0 ed un elettrone a
riposo. Il processo è detto scattering Compton. La situazione è schematizzata
in figura 4.3.
Vogliamo trovare l’energia ǫ1 del fotone dopo l’interazione. La conservazione del 4-momento ci dice che
p~γ0 + ~pe0 = p~γ1 + ~pe1 ,
(4.42)
58
CAPITOLO 4. ALGEBRA VETTORIALE
dove
p~γ0 →′ (ǫ0 , ǫ0~n0 )
(4.43a)
p~γ1 →′ (ǫ1 , ǫ1~n1 )
(4.43b)
p~e0 →′ (m, 0, 0, 0)
(4.43c)
p~e1 →′ (mγ, P~ ).
(4.43d)
O
O
O
O
Per compattezza di notazione, abbiamo indicato con ~n0 e ~n1 i versori 3-D
lungo la direzione iniziale e finale del fotone, e con P~ il momento spaziale
finale dell’elettrone.
ε
1
θ
ε
0
e
Figura 4.3: Scattering Compton con un elettrone a riposo.
È possibile ora eliminare il 4-momento finale dell’elettrone riarrangiando
i termini di eq. 4.42 come ~pe1 = ~pe0 + ~pγ0 − ~pγ1 , e facendone la grandezza di
ambo i membri. Infatti, ricordando che (~p)2 = −m2 (eq. 4.35), abbiamo
−m2 = ~pe0 · p~e0 + p~γ0 · ~pγ0 + ~pγ1 · p~γ1 + 2~pe0 · p~γ0 − 2~pe0 · p~γ1 − 2~pγ0 · p~γ1 ,
da cui, utilizzando eq. 4.43a, 4.43b, 4.43c, e 4.43d,
−m2 = −m2 − 2mǫ0 + 2mǫ1 + 2ǫ1 ǫ0 (1 − cos θ),
dove ~n0 · ~n1 = cos θ (il prodotto scalare è da intendersi nel senso usuale 3-D).
Esplicitando infine ǫ1 abbiamo
h
i
ǫ0
ǫ0
ǫ1 =
≃
ǫ
1
−
(1
−
cos
θ)
,
(4.44)
0
ǫ0
(1 − cos θ)
1+ m
m
4.6. ESEMPIO: SCATTERING COMPTON
59
dove la seconda uguaglianza approssimata vale per piccoli angoli di scattering. Notiamo che ǫ1 < ǫ0 , per via del rinculo dell’elettrone. Inoltre, per
ǫ0 ≪ m (cioè per energie del fotone incidente molto inferiori alla massa a
riposo dell’elettrone) si ha ǫ1 ≃ ǫ0 . L’urto è quindi elastico, e viene chiamato
scattering Thomson.
Elettrone in moto
Immaginiamo ora ’interazione fra un fotone ed un elettrone in moto. La
trattazione vista precedentemente è valida nel sistema dell’elettrone O′ . La
strategia è portarsi con una trasformazione di Lorentz nel sistema dell’elettrone, lı́ trattare matematicamente l’interazione come visto sopra nel caso di
elettrone a riposo, e quindi operare una seconda trasformazione di Lorentz
per tornare al sistema del laboratorio (si veda figura 4.4).
θ0
ε
θ 0’
1
θ’
1
θ1
e
ε 1’
x
x’
O’: REST FRAME
O: LAB FRAME
ε
0
ε 0’
Figura 4.4: Scattering Compton con un elettrone in moto. Il sistema O è quello del
laboratorio, il sistema O′ è quello in cui l’elettrone e a riposo.
Possiamo utlizzare le formule Doppler 2.31 e 2.32 trascurando, per semplicità,
gli angoli, e considerando lo scattering elastico. Avremo quindi
ǫ′0 ∼ γǫ0
ǫ′1 ≃ ǫ′0
ǫ1 ≃ γǫ′1
dove la prima uguaglianza deriva dall’effetto Doppler nel passaggio da O a
O′ , la seconda è eq. 4.44 nel caso Thomson, e la terza è ancora effetto Doppler
60
CAPITOLO 4. ALGEBRA VETTORIALE
nel passaggio da O′ a O. Quindi
ǫ1 ∼ γ 2 ǫ0 .
(4.45)
Il fattore γ 2 è un puro effetto relativistico dovuto al doppio cambio di sistema
di riferimento., cioè alla doppia trasformazione di Lorentz, ognuna della quali
dá un fattore γ.
4.7
Esercizi
1. Date le seguenti espressioni, si determinino, per ognuna di esse, gli indici
liberi e gli indici muti, e si dica quante espressioni o equazioni descrivono:
(a) Aα Bα = 5;
′
(b) Aµ = Λµν Aν ;
′
(c) T αµλ Aµ Cλγ = D γα ;
(d) Rµν − 21 gµν R = Gµν .
2. Dati i numeri A0 = 5, A1 = 0, A2 = −1, A3 = −6, e B0 = 0, B1 = −2, B2 =
4, B3 = 0. Dati inoltre


1
0
2
3
 5 −2 −2 0 
,
Cαβ = 
4
5
2 −2
−1 −1 −3 0
si calcolino:
(a) Aα Bα ;
(b) Aα Cαβ per tutti i β;
(c) Aν Cµν per tutti i µ.
~ → (0, −2, 3, 5),
3. Dato A
O
~ in O′ , dove O′ si muove rispetto a O con
(a) Trovare le componenti di A
velocità v = 4/5 luno le x positive;
4.7. ESERCIZI
61
(b) Si faccia lo stesso in O′′ che si muove rispetto a O′ con v = 3/5 rlungo
le x′ positive;
~ nei 3 sistemi di riferimento.
(c) Trovare la grandezza di A
4. La trasformata di Lorentz da O a

1.25
 0

 0
0.75
O′ è data da

0 0 0.75
1 0
0 
.
0 1
0 
0 0 1.25
(a) Si determini direzione, verso e modulo della velocità di O′ rispetto a
O;
(b) Si determini la matrice della trasformata inversa;
~ in O.
~ → (1, 2, 0, 0), si determino le componenti di A
(c) Dato A
′
O
5. Disegnare in un diagramma spazio-tempo ~e0 e ~e1 . Disegnare ~e0′ e ~e1′ se O′
ha velocità v = +0.6 rispetto a O. Disegnare ~e0′′ e ~e1′′ se O′′ ha velocità
v = +0.6 rispetto a O′ .
6. O′ ha velocità v rispetto a O. O′′ ha velocità v ′ rispetto a O′ .
′′
(a) Trovare la trasformata da O a O′′ , Λαµ ;
′′
(b) Sia v = 0.6~ex , e v′ = 0.8~ey′ . Determinare esplicitamente Λαµ ;
(c) È una trasformata di Lorentz?
7.
(a) Si calcolino le componenti in O della 4-velocità di una particella la cui
velocità rispetto a O è v lungo le x positive;
(b) Generalizzare ad v = (v x , v y , v z );
(c) Scrivere v in termini di ~u.
~ di tipo temporale (V 2 < 0), esiste un
8. Si dimostri che per ogni 4-vettore V
~ sono nulle.
sistema di riferimento in cui le componenti spaziali di V
9.
(a) Mostrare che la somma di due vettori di tipo spaziale ortogonali è un
vettore di tipo spaziale;
(b) Mostrare che un vettore di tipo temporale ed uno nullo non banale (cioè
non con le tutte componenti identicamente nulle) non sono ortogonali.
62
CAPITOLO 4. ALGEBRA VETTORIALE
10. Scrivere l’energia totale di una particella con correzione all’ordine v 4 . Determinare per quale valore di v metà del termine cinetico Newtoniano eguaglia
la correzione in v 4 .
11. Una particella ha 4-momento p~ → (4, 1, 1, 0) kg. Si determini l’energia totale,
O
la massa a riposo e la 3-velocità della particella.
12. Due particelle, i cui 4-momenti sono ~p1 → (3, −1, 0, 0) kg e p~2 → (2, 1, 1, 0)
O
O
kg, interagiscono e danno origine a 3 nuove particelle, per le quali si ha
p3 → (1, 1, 0.0) kg, e p~4 → (1, −0.5, 0, 0) kg.
~
O
O
(a) Si determini il 4-momento, l’energia, la massa a riposo, e la 3-velocità
della terza particella prodotta.
(b) Trovare la 3-velocità del centro del momento.
13. Un’astronave, di 4-velocità ~u → (2, 1, 1, 1), incontra un raggio cosmico (una
O
particella ultra-relativistica prodotta probabilmente in una supernova) di
4-momento p~ → (300, 299, 0, 0) kg. Quale è l’energia del raggio cosmico
O
misurata dall’astronave?
14. Provare che la reazione di annichilazione ad un fotone, e+ − e− −→ 1γ, è
vietata, mentre è possibile a due fotoni.
15. Un fotone ha frequenza ν in O e la sua traiettoria forma un angolo θ rispetto
all’asse x. Se O′ si muove con velocità v lungo le x positive, quale è la
frequenza ν ′ misurata da O′ ?
16. Un fotone incide su di uno specchio con un angolo di incidenza θ, e viene
riflesso. Si calcoli il 4-momento trasferito allo specchio.
Capitolo 5
ALGEBRA TENSORIALE
5.1
5.1.1
Tensori
Definizione e tensore metrico
~ = Aα~eα e B
~ = B α~eα .
Si considerino due 4-vettori scritti sulla base di O, A
Se ne facciamo il prodotto scalare avremo
~·B
~ = (Aα~eα ) · (B β ~eβ ) = Aα B β (~eα · ~eβ ) = Aα B β ηαβ ,
A
(5.1)
dove i numeri reali
η00 = −1
η11 = η22 = η33 = +1
ηαβ = 0,
se α 6= β
(5.2a)
(5.2b)
(5.2c)
sono detti componenti del tensore metrico. Notiamo che ηαβ fornisce una
regola per associare a due 4-vettori un singolo reale.
Definiamo quindi tensore di tipo N0 una funzione di N 4-vettori nei reali,
funzione lineare nei suoi argomenti.
Il prodotto scalare è quindi un tensore 02 , e linearità significa che
~ ·B
~ = α(A
~ · B)
~
(αA)
~ + B)
~ ·C
~ =A
~·C
~ +B
~ ·C
~
(A
63
64
CAPITOLO 5. ALGEBRA TENSORIALE
e
~ · (β B)
~ = β(A
~ · B)
~
A
~ · (B
~ + C)
~ =A
~·B
~ +A
~ · C.
~
A
Chiamiamo quindi il tensore g( , ) tale per cui
~ B)
~ ≡A
~·B
~
g(A,
(5.3)
~
~ C)
~ = αg(A,
~ B)+βg(
~
~ C).
~
tensore metrico. Per linearità vale che g(αA+β
B,
B,
Notiamo che nella definizione di tensore non sono menzionate le componenti dei 4-vettori, ma unicamente i 4-vettori stessi. La regola che associa
ai 4-vettori i reali deve essere indipendente dal sistema di riferimento, come
lo è il prodotto scalare. Notiamo
anche che una funzione della posizione
0
f (t, x, y, z) è un tensore 0 .
~ eB
~ sono due 4-vettori specifici, A
~·B
~ è un reale
In pratica, si ha che A
specifico, g( , ) il nome della funzione che associa il reale ai due 4-vettori.
Componenti di un tensore
Nel sistema di riferimento O, le componenti di un tensore N0 sono i valori
che la funzione assume quando gli argomenti sono i 4-vettori base {~eα }. Le
componenti sono quindi dipendenti dal sistema di riferimento, essendo la
base, base di un sistema specifico. Notiamo anche che, con questa definizione,
le componenti del tensore metrico sono g(~eα , ~eβ ) = ~eα · ~eβ = ηαβ , come visto
in precedenza.
5.1.2
1-forme
Un tensore di tipo 01 si dice 1-forma. Altri nomi che vengono usati sono
covettore e vettore covariante. Una 1-forma è quindi tale che
~ ∈ R,
p̃(A)
e, date s̃ = p̃ + q̃ e r̃ = αp̃,
~ = p̃(A)
~ + q̃(A)
~
s̃(A)
~ = αp̃(A).
~
r̃(A)
5.1. TENSORI
65
Le 1-forme formano quindi uno spazio vettoriale, detto spazio duale dello
spazio dei 4-vettori.
Le componenti di una 1-forma sono, dalla definizione data in precedenza,
pα ≡ p̃(~eα ).
(5.4)
L’indice in basso identifica le componenti di una 1-forma, mentre l’indice in
alto identifica le componenti di un 4-vettore.
Vale che
~ = p̃(Aα~eα ) = Aα p̃(~eα ) = Aα pα = A0 p0 + A1 p1 + A2 p2 + A3 p3 ,
p̃(A)
(5.5)
~ e p̃. Si noti che la somma ha tutti i segni “+”. Algedetta contrazione di A
bricamente è importante notare che la 1-forma agisce senza fare riferimento
ad alcun altro tensore, al contrario del prodotto scalare, che usa un terzo
oggetto, il tensore metrico, per dare un reale. In altre parole, un 4-vettore
non mappa un 4-vettore nei reali, ma ha bisogno della metrica. Una metrica
differente darebbe un reale diverso, pur partendo dai medesimi 4-vettori.
Le componenti di p̃ sulla base di O′ sono date da
pβ ′ = p̃(~eβ ′ ) = p̃(Λαβ′ ~eα ) = Λαβ′ p̃(~eα ) = Λαβ′ pα .
(5.6)
Se ricordiamo che
′
′
Aα = Λαβ Aβ
~eβ ′ = Λαβ′ ~eα ,
vediamo come una 1-forma si trasformi come le basi, cioè in modo inverso
rispetto ai 4-vettori. Questo fa sı́ che la contrazione Aα pα sia indipendente
~ e ogni 1-forma p̃. Infatti
dal sistema di riferimento, per ogni 4-vettore A
Aα pα′ = (Λαβ Aβ )(Λµα′ pµ ) = Λαβ Λµα′ Aβ pµ = δβµ Aβ pµ = Aβ pβ .
′
′
′
I 4-vettori sono detti anche vettori contro-varianti, in quanto si trasformano in modo opposto rispetto alle basi. Notiamo che la trasformazione delle
basi è esprimere nuovi 4-vettori in termini dei vecchi, mentre la trasformazione di componenti è esprimere il medesimo oggetto su una nuova base.
Concettualmente sono due cose diverse.
66
CAPITOLO 5. ALGEBRA TENSORIALE
Base delle 1-forme
In modo analogo alla base dello spazio vettoriale, possiamo definire le 1-forme
base dello spazio duale come
p̃ ≡ pα ω̃ α .
(5.7)
Le 1-forme {ω̃ α} si dicono base duale di {~eα }. Da
~ = pα Aα = pα ω̃ α (A)
~ = pα ω̃ α(Aβ ~eβ ) = pα Aβ ω̃ α (~eβ )
p̃(A)
ne deduciamo che
ω̃ α (~eβ ) = δβα ,
(5.8)
cioè la β−esima componente dell’α−esima 1-forma base. Abbiamo quindi

ω̃ 0 → (1, 0, 0, 0)


O



 ω̃ 1 → (0, 1, 0, 0)
O

ω̃ 2 → (0, 0, 1, 0)


O


 ω̃ 3 → (0, 0, 0, 1)
(5.9)
O
Come nello spazio vettoriale, la trasformazione delle 1-forme base è inversa rispetto alla trasformazione delle componenti delle 1-forme, in modo
che l’oggetto geometrico sia indipendente dal sistema di riferimento. Cioè
abbiamo che
′
′
ω̃ α = Λαβ ω̃ β .
(5.10)
Riepilogando, le componenti dei 4-vettori e le basi 1-forme si trasformano allo stesso modo, ed inversamente rispetto ai 4-vettori base ed alle
componenti delle 1-forme.
Visivamente, noi pensiamo ai vettori come a frecce, a cui associamo una
direzione, un verso, ed un lunghezza una volta che si abbia definito una unità
di misura. Una 1-forma può essere pensata come ad una divisione in “fette”
di una certa zona dello spazio (figura 5.1). La contrazione di un vettore su di
una 1-forma dà un reale uguale al numero di “fette” attraversate dal vettore
stesso.
5.1. TENSORI
67
A
p
~ Il numero di “fette” attraversate da A
~ fornisce il
Figura 5.1: 1-forma p̃ e 4-vettore A.
~ = pα Aα .
reale p̃(A)
5.1.3
Derivata covariante
Consideriamo un campo scalare φ(~x) definito in ogni punto/evento dello spazio tempo. Una particella incontra un valore del campo, in generale diverso,
lungo la sua WL (figura 5.2). Possiamo parametrizzare la WL utilizzando il
tempo proprio τ della particella, cioè leggendo un orologio che muove lungo
la WL. Allora le coordinate, in O, degli eventi lungo la WL saranno
~x(τ ) → [t(τ ), x(τ ), y(τ ), z(τ )].
O
mentre la 4-velocità
(5.11)
dt dx dy dz
.
(5.12)
, , ,
~u →
O
dτ dτ dτ dτ
Il campo φ è quindi una funzione (implicita) di τ , φ = φ[t(τ ), x(τ ), y(τ ), z(τ )],
e la sua variazione lungo la WL è data da
dφ
∂φ dt ∂φ dx ∂φ dy ∂φ dz
=
+
+
+
=
dτ
∂t dτ
∂x dτ
∂y dτ
∂z dτ
∂φ 0 ∂φ 1 ∂φ 2 ∂φ 3
u +
u +
u +
u.
(5.13)
∂t
∂x
∂y
∂z
L’eq. 5.13 può essere intesa come la contrazione di una particolare 1-forma
con il 4-vettore velocità (si veda eq. 5.5). Infatti osserviamo come da un 4vettore (~u) si produca un reale (dφ/dτ ), che è il rate di variazione del campo
φ lungo la WL cui ~u è tangente. Poichè dφ/dτ è lineare in ~u, possiamo
concludere che le componenti di questa 1-forma sono, in O,
∂φ ∂φ ∂φ ∂φ
˜
dφ →
.
(5.14)
,
,
,
O
∂t ∂x ∂y ∂z
68
CAPITOLO 5. ALGEBRA TENSORIALE
τ=2
t
u
τ=1
φ=φ(τ)
τ=0
Ο
x
Figura 5.2: Campo scalare φ(τ ) = φ[t(τ ), x(τ ), y(τ ), z(τ )] percorso dalla WL di una
particella.
Il gradiente di un campo scalare è quindi una 1-forma, non un vettore.
Per poter essere un vettore avremmo dovuto introdurre una metrica, in modo
da sapere il numero il numero di “fette” per unità di lunghezza in cui si divide
lo spazio. Il concetto di “unità di lunghezza” è un concetto metrico.
Se operiamo ora un trasformazione di Lorentz, abbiamo che
(dφ̃)α′ = Λβα′ (dφ̃)β .
Poichè vale che
∂φ
∂φ ∂xβ
=
,
′
∂xα
∂xβ ∂xα′
ricaviamo che
(dφ̃)α′ =
cioè
Si usa la notazione
(5.15)
∂xβ
(dφ̃)β ,
∂xα′
∂xβ
= Λβα′ .
∂xα′
(5.16)
∂φ
≡ φ,α ,
∂xα
(5.17)
5.2. TENSORI
0
2
69
dove l’indice in basso ci dice che è la componente di una 1-forma, non di un
4-vettore.
Notiamo che x,αβ = δβα . Inoltre, da w̃ α (~eβ ) = δβα otteniamo che
˜ α = ω̃ α ,
dx
˜ α . Possiamo quindi scrivere
cioè la base delle 1-forme è dx
˜ = ∂f dx
˜ α.
df
∂xα
5.2
5.2.1
Tensori
0
2
Generalità
(5.18)
Definizione
Un tensore di tipo 02 è una funzione
lineare di due 4-vettori nei reali. Il
0
tensore metrico è un tensore 2 . Il più semplice è il prodotto di due 1-forme,
secondo la regola
seguente: siano p̃ e q̃ due 1-forme. Allora l’oggetto p̃ ⊗ q̃ è
~ e B,
~ dá il reale p̃(A)q̃(
~ B).
~
un tensore 02 se, fornito degli argomenti A
Il prodotto ⊗ viene detto prodotto esterno. Si noti che esso non è com~ B)
~ 6= q̃(A)p̃(
~ B).
~
mutativo, cioè che p̃ ⊗ q̃ 6= q̃ ⊗ p̃, poichè p̃(A)q̃(
Componenti
In generale, un tensore 02 non è un semplice prodotto esterno, ma può
comunque essere espresso come somma di prodotti esterni. Dalla definizione
data
in precedenza di componenti di un tensore, se f è un generico tensore
0
, le sue componenti sono
2
fαβ ≡ f(~eα , ~eβ ).
(5.19)
Notiamo che sono 16 componenti, visualizzabili come una matrice 4x4. Il
~ B
~ è
reale che si ottiene dando ad f come argomenti due 4-vettori generici A,
~ B)
~ = f(Aα~eα , B β ~eβ ) = Aα B β f(~eα , ~eβ ) = Aα B β fαβ ,
f(A,
che è una doppia somma sugli indici α e β.
(5.20)
70
CAPITOLO 5. ALGEBRA TENSORIALE
Base
La base ω̃ αβ dei tensori
0
2
deve essere tale che
f = fαβ ω̃ αβ ,
(5.21)
da cui si ha che
fµν = f(~eµ , ~eν ) = fαβ ω̃ αβ (~eµ , ~eν ) =⇒ ω̃ αβ (~eµ , ~eν ) = δµα δνβ = ω̃ α(~eµ )ω̃ β (~eν ),
cioè
ω̃ αβ = ω̃ α ⊗ ω̃ β
(5.22)
f = fαβ ω̃ α ⊗ ω̃ β .
(5.23)
è la base dei tensori 02 . Possiamo quindi scrivere
Simmetria e antisimmetria
~ B)
~ 6= f(B,
~ A).
~ Un tensore
In generale, f(A,
~ B)
~ = f(B,
~ A)
~
f(A,
0
2
si dice simmetrico se vale che
~ B.
~
∀A,
(5.24)
~ = ~eα e B
~ = ~eβ , si ha che per un
Utilizzando le basi come argomenti, cioè A
tensore simmetrico vale quindi
fαβ = fβα .
(5.25)
Dato un generico tensore h di tipo 02 , è possibile costruite un tensore
h(s) tale che
~ B)
~ + 1 h(B,
~ A).
~
~ B)
~ = 1 h(A,
(5.26)
h(s) (A,
2
2
Il tensore cosı̀ costruito è ovviamente simmetrico, e le sue componenti sono
1
h(s) αβ = (hαβ + hβα ) ≡ h(αβ) ,
2
(5.27)
dove gli indici scritti entro una parentesi tonda indicano, per convenzione, le
componenti di un tensore simmetrico.
0
2
5.2. TENSORI
Un tensore
0
2
71
si dice antisimmetrico se vale che
~ B)
~ = −f(B,
~ A)
~
f(A,
~ B.
~
∀A,
(5.28)
Ovviamente si ha
fαβ = −fβα .
(5.29)
In modo del tutto analogo ad eq. 5.26 ed 5.27, possiamo costruire un
tensore antisimmetrico come
~ B)
~ − 1 h(B,
~ A),
~
~ B)
~ = 1 h(A,
h[a] (A,
2
2
(5.30)
le cui componenti sono
1
h[a] αβ = (hαβ − hβα ) ≡ h[αβ] .
2
(5.31)
Gli indici scritti entro una parentesi quadra indicano, per convenzione, le
componenti di un tensore antisimmetrico.
Un tensore 02 si può dividere univocamente nelle sue parti simmetrica
ed antisimmetrica come h = h(s) + h(a) . In termini di componenti abbiamo
che
hαβ = h(αβ) + h[αβ] .
(5.32)
5.2.2
Ruolo del tensore metrico
~ B)
~ =
Come visto nella sezione 5.1.1, il tensore metrico, poichè si ha g(A,
~ A),
~ è simmetrico.
g(B,
Ora, dati g e un 4-vettore V~ , possiamo considerare l’oggetto
g(V~ , )
come una 1-forma, in quanto, fornito di un 4-vettore argomento, dá un reale.
Allora possiamo convenzionalmente scrivere che
g(V~ , ) ≡ Ṽ ( ),
dove la regola è
~ = g(V~ , A)
~ = V~ · A.
~
Ṽ (A)
(5.33)
72
CAPITOLO 5. ALGEBRA TENSORIALE
Il tensore metrico permette di associare ad un 4-vettore una 1-forma. Dalla
simmetria di g si ha che Ṽ ( ) ≡ g( , V~ ).
Le componenti della 1-forma Ṽ associata, attraverso g, al 4-vettore V~
sono, per definizione,
Vα ≡ Ṽ (~eα )
da cui
Vα = V~ · ~eα = ~eα · (V β ~eβ ) = V β (~eα · ~eβ ) = ηαβ V β .
(5.34)
Si noti come a sinistra si abbia l’indice basso, proprio delle componenti di
una 1-forma, mentre a destra si abbia l’indice alto, proprio delle componenti
di un 4-vettore. In particolare abbiamo
V0 = η0β V β = η00 V 0 + η01 V 1 + η02 V 2 + η03 V 3 = −V 0
0
1
2
3
1
(5.35b)
β
0
1
2
3
2
(5.35c)
V1 = η1β V = η10 V + η11 V + η12 V + η13 V = V
V2 = η2β V = η20 V + η21 V + η22 V + η23 V = V
V3 = η3β V β = η30 V 0 + η31 V 1 + η32 V 2 + η33 V 3 = V 3 .
Cioè, se
(5.35a)
β
(5.35d)
V~ → (a, b, c, d)
O
allora
Ṽ → (−a, b, c, d).
O
Possiamo ora operare l’operazione inversa, cioè associare ad una 1-forma
~ Da Aα = ηαβ Aβ , possiamo scrivere
Ã un 4-vettore A.
Aα = η αβ Aβ ,
(5.36)
dove η αβ è la matrice inversa di ηαβ , che esiste in quanto ηαβ è diagonale con
det = −1. Notiamo che, in termini di componenti, {ηαβ } = {η αβ }.
Possiamo concludere dicendo che il tensore metrico g mappa in modo
univoco ed invertibile le 1-forme nei 4-vettori, e viceversa. L’operazione
“pratica” è il cambio del segno della componente “0” (temporale).
Notiamo infine che nello spazio 3-D Euclideo, il tensore metrico è δij ,
per cui le componenti dei vettori coincidono con le componenti delle 1-forme
associate. In algebra elementare non si opera quindi una distinzione fra
spazio vettoriale ed il suo duale, in quanto coincidono. In relatività speciale
5.3. TENSORI
M
N
73
la metrica non è Euclidea (per via del segno “-” davanti alla componente
temporale), e la distinzione è significativa. Ad esempio, abbiamo che
∂φ
∂φ
∂φ
∂φ
˜ →
,
,
,
dφ
O
∂t ∂x ∂y ∂z
∂φ
∂φ
∂φ
∂φ
~ → − ,
dφ
.
,
,
O
∂t ∂x ∂y ∂z
~ con il segno “-” davanti
Sarebbe risultato arbitrario definire direttamente dφ
alla coordinata temporale.
Prodotto scalare di 1-forme
Per definizione, la grandezza di una 1-forma è uguale alla grandezza del 4vettore associato ad essa attraverso la metrica, cioè
(p̃)2 ≡ (~p)2 = ηαβ pα pβ .
(5.37)
Allora possiamo definire un prodotto scalare (o prodotto interno) per le 1forme come
1
(5.38)
p̃ · q̃ ≡ [(p̃ + q̃)2 − (p̃)2 − (q̃)2 ],
2
che esprime un reale dato da −p0 q0 + p1 q1 + p2 q2 + p3 q3 .
5.3
Tensori
M
N
A questo punto, il dualismo è completo, poichè possiamo considerare i 4vettori come funzioni lineari che mappano le 1-forme nei reali, cioè
~ i,
V~ (p̃) ≡ p̃(V~ ) = pα V α ≡ hp̃, V
(5.39)
dove la notazione h , i esprime la dualità della contrazione.
Analogamente ai tensori di tipo 02 , i tensori di tipo N0 sono funzioni
lineari di N vettori nei reali. Un tensore M0 sarà invece una funzione
lineare
1
di M 1-forme nei reali. I 4-vettori sono dunque tensori di tipo 0 .
74
CAPITOLO 5. ALGEBRA TENSORIALE
Ad esempio, un tensore 20 è una funzione lineare di due 1-forme nei reali.
~ , e, fornito delle 1-forme p̃ e q̃, dá il reale
Può essere scritto come V~ ⊗ W
~ (q̃) ≡ p̃(V~ )q̃(W
~ ) = V α pα W β qβ .
V~ (p̃)W
(5.40)
~ sono quindi V α W β , mentre la base dei tensori 2
Le componenti di V~ ⊗ W
0
è ~eα ⊗~eβ . In generale, le componenti di un tensore M0 sono ottenute usando
come
argomenti le 1-forme base ω̃ α, cosı̀ come le componenti di un tensore
0
sono ottenute usando come argomenti i 4-vettore base ~eα . Notiamo che le
N
componenti dei tensori M0 hanno
gli indici in alto (come i 4-vettori), mentre
0
le componenti dei tensori N hanno gli indici in basso (come le 1-forme).
A questo
punto possiamo generalizzare ulteriormente, e definire tensore
M
di tipo N una funzione lineare di N vettori ed M 1-forme nei reali.
Ad esempio, se R é un tensore 11 , significa che
~
R(p̃; A)
è un reale. Le componenti di R in un certo sistema O sono date, per
definizione, da
Rβα ≡ R(ω̃ α ; ~eβ ).
(5.41)
In generale, le componenti di un tensore M
hanno N indici bassi (detti
N
covarianti) ed M indici alti (detti controvarianti).
Se vogliamo le componenti di R nel sistema O′ che si muove, al solito,
rispetto a O lungo l’asse x positiva con velocità v, abbiamo che
′
′
′
′
′
Rβα′ ≡ R(ω̃ α ; ~eβ ′ ) = R(Λαµ ω̃ µ ; Λνβ ′ ~eν ) = Λαµ Λνβ ′ R(ω̃ µ; ~eν ) = Λαµ Λνβ ′ Rνµ .
(5.42)
Alzare ed abbassare gli indici
Abbiamo visto come la metrica mappi i tensori 10 (4-vettori) nei tensori 01
(1-forme), e come la metrica inversa agisca al contrario. Cosı̀, possiamo
dire
M−1
che la metrica mappa un generico tensore M
in
un
tensore
,
mentre
N
N+1
M
M+1
la metrica inversa mappa un tensore N in un tensore N−1 .
Ad esempio, se T è un tensore 21 , le sue componenti saranno del tipo
Tγαβ . Mappando la seconda 1-forma argomento (β) in un 4-vettore con la
5.4. DIFFERENZIAZIONE DI TENSORI
75
metrica, cioè
α
ηβµ Tγαµ = Tβγ
,
1
otteniamo le componenti di un tensore 2 . Se mappiamo la prima 1-forma
argomento (α) otteniamo
β
.
ηαµ Tγµβ = Tαγ
Infine, mappando il 4-vettore
(γ) con la metrica inversa, otteniamo le com
ponenti di un tensore 30 :
η γµ Tµαβ = T αβγ .
Le regole nell’alzare ed abbassare gli indici sono semplici: alzando od
abbassando un indice temporale (“0”) la componente cambia di segno, mentre
alzando od abbassando gli indici spaziali (“1,2,3”) la componente non cambia.
5.4
Differenziazione di tensori
Concludiamo il capitolo con qualche cenno alla differenziazione di tensori.
Abbiamo visto
che il gradiente di una funzione scalare f , pensabile come un
0
tensore 0 , è una 1-forma, cioè un tensore 01 . Possiamo quindi dire che
differenziando un tensore, si ottiene un tensore di un grado covariante più
alto.
In generale, consideriamo un tensore T di tipo 11 . Per definizione di
componenti abbiamo che
T = Tβα ω̃ β ⊗ ~eα .
(5.43)
Immaginiamo ora che le componenti di T siano funzione della posizione nello spazio-tempo. Come fatto nella differenziazione di una funzione scalare,
possiamo parametrizzare una WL con il suo tempo proprio τ , e valutare il
tasso di cambiamento di T lungo la WL stessa:
dT
T(τ + ∆τ ) − T(τ )
= lim
.
(5.44)
∆τ →0
dτ
∆τ
Ora, fissato un sistema di riferimento, le basi sono le stesse in tutto il sistema
(non vero in Relatività Generale). Cioè ω̃ α (τ + ∆τ ) = ω̃ α (τ ), e analogamente
per ~eα , da cui eq. 5.44 può essere scritta come
α
dTβ
dT
ω̃ β ⊗ ~eα ,
(5.45)
=
dτ
dτ
76
CAPITOLO 5. ALGEBRA TENSORIALE
dove la derivata in parentesi è la derivata ordinaria delle componenti Tβα
lungo la WL (come detto, le basi non cambiano). Ora, ricordando che
df
= f,γ uγ ,
dτ
abbiamo che
dTβα
α
= Tβ,γ
uγ .
dτ
(5.46)
Dalla
definizione 5.44, dT/dτ è un tensore dello stesso tipo di T, cioè di
1
tipo 1 . Poichè, da eq. 5.44, per ogni 4-vettore ~u abbiamo
dT
α
= Tβ,γ
ω̃ β ⊗ ~eα uγ ,
dτ
(5.47)
da cui deduciamo che l’oggetto ∇T, detto gradiente di T, e definito come
segue:
α
∇T ≡ Tβ,γ
ω̃ β ⊗ ω̃ γ ⊗ ~eα
(5.48)
è un tensore di tipo 12 .
Si usa la notazione
dT
≡ ∇~u T,
dτ
le cui componenti sono
α γ
u .
∇~u T → Tβ,γ
O
5.5
Esempio: il tensore energia–momento
Il tensore energia–momento (più correttamente sforzo–energia, in inglese
stress–energy tensor) riveste un ruolo particolarmente importante in una formulazione relativistica della meccanica, in quanto contiene i termini di densità e pressione dovuti ai campi. Consideriamo il caso di un fluido perfetto,
cioè, una collezione statistica di particelle in cui le forze parallele all’interfaccia fra due elementi del fluido stesso siano nulle. Il caso più semplice di fluido
perfetto è la cosiddetta polvere, cioè un fluido le cui particelle sono a riposo
in un qualche sistema di riferimento inerziale (MCRF). Questo significa che
non esistono moti random delle particelle.
5.5. ESEMPIO: IL TENSORE ENERGIA–MOMENTO
77
Se chiamiamo n la densità numerica (numero di particelle per unità di
volume) nel MCRF, in un sistema O′ in moto con velocità v lungo l’asse x,
la densità sarà
(5.49)
nO′ ≡ n′ = γ n,
a causa della contrazione della dimensione parallela al moto (e notando che
il numero di particelle si conserva).
Consideriamo ora il flusso di particelle, cioè il numero di particelle che
attraversano una superficie unitaria nell’unità di tempo. Nel MCRF esso è
ovviamente nullo (nel caso di polvere). In O′ , se immaginiamo la superficie
∆A′ perpendicolare alla direzione del moto, il numero di particelle attraverso
al superficie in un tempo ∆t′ sarà dato dato da n′ v∆t′ ∆A′ , da cui
′
flussox = γnv.
(5.50)
Se, in generale, la velocità delle particelle ha componenti v x , v y e v z , si ha
banalmente
′
(flusso)x = γnv x ,
′
(flusso)y = γnv y ,
′
(flusso)z = γnv z .
Possiamo quindi definire un 4-vettore, detto 4-flusso, come
~ ≡ n~u,
N
(5.51)
dove ~u e la 4-velocità. Allora, in un sistema O dove
~u → (γ, γv x , γv y , γv z )
O
abbiamo
~ → (γn, γnv x , γnv y , γnv z ).
N
O
(5.52)
Notiamo che in fisica Galileiana n è uno scalare, e il flusso dipende dal sistema
~ è un 4-vettore, quindi indipendente dal sistema
di riferimento. In relatività N
~ la densità
di riferimento (sono le sue componenti che variano). Dato N,
~ ·N
~ = −n2 , da cui n =
numerica n può essere ottenuta notando che N
~ ·N
~ )1/2 .
(−N
78
CAPITOLO 5. ALGEBRA TENSORIALE
Che la densità sia la componente temporale di un flusso 4-dimensionale
non deve sorprendere. Infatti consideriamo le WL delle particelle del fluido
nel sistema O′ rispetto al quale esso si muove (figura 5.3). Il numero di WL
che attraversano una superficie unitaria S1 nell’unità di tempo ∆t′ = 1 è
ovviamente il flusso numerico. Nella figura, la WL di tale superficie è una
retta vericale, ad x′ costante. In realtà, considerando che lo spazio è 3D
(xyz), la superficie unitaria per un tempo unitario definisce un volume unitario 3-D nello spazio-tempo ∆t′ = ∆y ′ = ∆z ′ = 1. Consideriamo ora una
superficie S2 a t′ costante, nella figura una retta orizzontale. Il “flusso” di
particelle attraverso questa superficie in una sua sezione con ∆x′ = 1 non
è altro che la densità delle particelle (considerando le 3 dimensioni spaziali,
∆x′ = 1 definisce un volume unitario ∆x′ = ∆y ′ = ∆z ′ = 1). La densità
può essere quindi vista come un flusso time-like, cioè un flusso attraverso una
superficie unitaria definita ad un tempo costante. In altre parole, nello spazio 4-dimensionale possiamo definire delle densità come numero di particelle
per unità di volume 3-D dxα dxβ dxµ . Quando i tre differenziali sono le tre
coordinate spaziali, abbiamo la densità classica. Quando uno dei differenziali
è la coordinata tempo, il volume 3-D è una superficie per un tempo, e quindi
si ha un flusso.
S1
t’
S2
∆ t’=1
particelle del fluido
∆ x’ =1
x’
5.5. ESEMPIO: IL TENSORE ENERGIA–MOMENTO
79
Figura 5.3: Linee d’Universo di particelle di fluido. Il flusso di WL nell’uniità di volume
∆t′ = ∆y ′ = ∆z ′ = 1 (S1) definita ad x′ costante è il normale flusso numerico di particelle,
cioè numero di particelle per unità di superficie per unità di tempo. Il flusso nell’unità di
volume ∆x′ = ∆y ′ = ∆z ′ = 1 (S2) definita a t′ costante è un flusso time-like, che coincide
con la densità numerica di particelle (numero di particelle per unità di volume).
Supponiamo ora che tutte le particelle abbiano massa a riposo m. La
densità di energia nell’MCRF è
ρ = mn,
(5.53)
assumendo trascurabili i moti random (polvere). Nel sistema in moto rispetto
al fluido O′ , da n′ = γn e m′ = γm, avremo che
ρ′ = γ 2 ρ.
(5.54)
Nell’equazione precedente compaiono due trasformazioni di Lorentz, una per
la densità e una per la massa. La densità di energia non è quindi la componente di un
4-vettore. Possiamo definirla come la componente di un tensore
di tipo 20 . Infatti per definire energia ci serviamo di una 1-forma per selezionare la componente 0-esima del 4-vettore energia-momento. Per definire
“densità” ci serviamo di una 1-forma per selezionare la componente 0-esima
del 4-flusso. In modo analogo, ci serviranno due 1-forme per definire un flusso di energia, una densità di momento, e un flusso
di momento. Definiamo
2
quindi il tensore energia–momento T di tipo 0 come segue:
˜ α , dx
˜ β ) = T αβ
T(dx
(5.55)
il flusso del momento α-esimo attraverso una superficie unitaria definita ad xβ
˜ α , p~i.
costante. Notiamo che il momento α-esimo può essere scritto come hdx
In particolare, avremo
• T 00 = flusso di energia attraverso superficie con x0 costante, cioè densità di energia;
• T 0i = flusso di energia attraverso una superficie con xi costante.
• T i0 = flusso di i-esimo momento attraverso superficie con x0 costante,
cioè densità di momento;
80
CAPITOLO 5. ALGEBRA TENSORIALE
• T ij = flusso di i-esimo momento attraverso superficie con xj costante.
È possibile dimostrare che T cosı̀ definito è simmetrico. Infatti flusso di
energia = densità di energia per velocità = densità di massa per velocità =
densità di momento, cioè T 0i = T i0 . Inoltre, nel caso in cui T ij 6= T ji , l’assenza di forze viscose parallele all’interfaccia fra elementi di fluido, produrrebbe
moti vorticosi con accelerazione infinita.
Notiamo che nel caso particolare di polvere, le componenti del tensore
energia–momento nel MCRF sono (T 00 )MCRF = ρ = mn, mentre tutte le
altre componenti sono nulle (solo nel MCRF), per assenza di moti random.
~ , esso ha le stesse compoSe consideriamo il tensore costruito come ~p ⊗ N
~
nenti di T, cioè T = p~ ⊗ N = mn~u ⊗ ~u. In termini di componenti,
T αβ = T(ω̃ α, ω̃ β ) = ρ ~u(ω̃ α)~u(ω̃ β ) = ρ uα uβ .
In un sistema generico O in cui
~u → (γ, γv x , γv y , γv z )
O
abbiamo quindi
T 00 =ργ 2 ,
T 0i =ρu0 ui = ργ 2 v i ,
T i0 =ρui u0 = ργ 2 v i ,
T ij =ρui uj = ργ 2 v i v j .
Per un fluido generico in cui esistono moti random, è definita ovviamente
anche una pressione p ed occorre considerare viscosità e conduzione di calore.
Anche in questo caso è possibile dimostrare che il tensore energia–momento
è simmetrico. È facile dimostrare che
T,βαβ = 0.
(5.56)
Con α = 0 l’equazione rappresenta la conservazione dell’energia, con β =
1, 2, 3 la conservazione delle tre componenti del momento.
5.6. ESERCIZI
81
Nel caso in cui viscosità e conduzione siano trascurabili si ha un fluido
perfetto (la polvere è un fluido perfetto a pressione nulla). In questo caso è
possibile vedere che
T = (p + ρ)~u ⊗ ~u + pg−1 ,
(5.57)
dove ricordiamo g−1 è l’inverso del tensore metrico. In termini di componenti
T αβ = (p + ρ)uα uβ + pη αβ ,
(5.58)
che formano la seguente matrice:


ρ 0 0 0
 0 px 0 0 

T αβ = 
 0 0 py 0  ,
0 0 0 pz
(5.59)
dove px , py , e pz sono le componenti della pressione lungo i 3 assi spaziali.
5.6
Esercizi
1. Dati i seguenti 4-vettori,
~ → (2, 1, 1, 0)
A
O
~ → (1, 2, 0, 0)
B
O
~ → (0, 0, 1, 1)
C
O
~ → (−3, 2, 0, 0),
D
O
~ = 1, p̃(B)
~ = −1, p̃(C)
~ = 1−, e p̃(D)
~ = 0, si determinino
sapendo che p̃(A)
le componenti di p̃ in O.
2. Dati ~eα e le 1-forme base {λ̃β }, dove
λ̃0 → (1, 1, 0, 0)
O
1
λ̃ → (1, −1, 0, 0)
O
2
λ̃ → (0, 0, 1, −1)
O
λ̃3 → (0, 0, 1, 1),
O
82
CAPITOLO 5. ALGEBRA TENSORIALE
(a) Si dimostri che p̃ 6= p̃(~eα )λ̃α ;
(b) Dato p̃ → (1, 1, 1, 1), determinare le componenti di p̃ sulla base {λ̃α }.
O
3. Dati p̃ → (1, 1, 0, 0) e q̃ → (−1, 0, 1, 0),
O
O
(a) Si determinino le componenti del tensore
0
2
h = p̃ ⊗ q̃;
(b) si determinino le componenti di h(s) e di h[a] .
4. Siano A un tensore 02 , e B un tensore 20 . Si dimostri che Aαβ Bαβ è
invariante relativistica.
5. Siano: A un tensore 20 antisimmetrico, B un tensore 02 simmetrico, C un
tensore 02 qualsiasi, e D un tensore 20 qualsiasi. Provare che:
(a) Aµν Bµν = 0;
(b) Aµν Cµν = Aµν C[µν] ;
(c) Bµν D µν = Bµν D (µν) .
6. Dati
√
~ → (1 + t2 , t2 , 2t, 0)
U
O
√
~
D → (x, 5tx, 2t, 0) :
O
(5.60)
~ può essere una 4-velocità? E D?
~
(a) U
~ . De(b) Determinare la 3-velocità di una particella la cui 4-velocità è U
terminarne i limiti per t → 0 e t → ∞;
(c) Trovare Uα ;
(d) Trovare U,αβ ;
(e) Dimostrare che per ogni β si ha Uα U,αβ = 0;
(f) Trovare D,ββ ;
(g) Trovare (U α D β ),β ;
(h) Trovare Uα (U α D β ),β ;
~ e ∇~ U
~
(i) Trovare ∇U~ D
D .
Capitolo 6
ELETTRODINAMICA
RELATIVISTICA
6.1
Equazioni di Maxwell
Le equazioni di Maxwell sono
∇ · D = 4πρ
∇·B =0
∂B
∇×E= −
∂t
(6.1a)
(6.1b)
(6.1c)
∂D
,
(6.1d)
∂t
dove D = ǫE e B = µH. In esse compaiono implicitamente 2 costanti, la
velocità della luce e la carica elettrica, che sono invarianti relativistiche. Ne
consegue che le equazioni di Maxwell sono invarianti relativistiche. Vogliamo ora scriverele in forma tensoriale. Per quanto visto precedentemente,
possiamo scegliere indifferentemente la forma covariante o controvariante.
∇ × H = 4πJ +
6.1.1
Conservazione della carica elettrica
Se scriviamo la densità di carica come
ρ ≡
de
,
dV
83
(6.2)
84
CAPITOLO 6. ELETTRODINAMICA RELATIVISTICA
dove dV ≡ dx1 dx2 dx3 è il volume 3-D, l’invarianza della carica elettrica ci
dice che
de = ρdV = ρ dx1 dx2 dx3
(6.3)
è invariante. Definiamo ora il 4-volume come
dV~ ≡ dx0 dx1 dx2 dx3 .
(6.4)
Mostriamo ora che dV~ è invariante. Consideriamo infatti un volume 3-D
di lato ℓ′ in quiete nel sistema O′ , sistema che come al solito si muove di
velocità v lungo l’asse x positiva rispetto a O (figura 6.1). In O′ il volume
3-D è quindi ℓ′3 .
z
v
z’
l’
l’
y
O
x
O’
y’
l’
Figura 6.1: Moto del volume 3-D ℓ′3 .
Applicando le trasformazioni di Lorentz, possiamo scrivere che
ℓx = ℓ′ /γ
ℓy = ℓ′
ℓz = ℓ′
da cui, per il volume 3-D, si ha
V =
V′
.
γ
x’
6.1. EQUAZIONI DI MAXWELL
85
Inoltre, poichè ∆t = γ∆t′ (dilatazione del tempo), ricaviamo che per il 4volume vale
V~ = V~ ′ ,
(6.5)
cioè il 4-volume è invariante, come volevamo dimostrare.
Ora, confrontando le definzioni 6.3 e 6.4, abbiamo che ρ si trasforma come
la componente “0” di un 4-vettore. Possiamo allora scrivere la conservazione
della carica,
∂ρ
+∇·J=0
∂t
in forma tensoriale come
µ
J,µ
=0
(6.6)
dove le componenti della 4-corrente J~ sono
J~ → (ρ, J x , J y , J z ) .
O
(6.7)
Come fatto unendo due concetti classici diversi, energia e momento, in
un unico 4-vettore, anche qui abbiamo unito due concetti diversi, densità
di carica e densità di corrente, in un unico 4-vettore. Questo è importante,
poichè sappiamo esattamente come si trasformano i 4-vettori passando da un
sistema di riferimento all’altro.
6.1.2
Equazione delle onde
Ricordiamo che, dati il potenziale scalare φ e vettoriale A, il gauge di Lorentz
è
∂φ
∇·A+
= 0.
(6.8)
∂t
da cui, nel caso delle eqz. di Mazwell nel vuoto, ricaviamo l’equazione delle
onde,
∂2φ
= −4πρ
∂t2
∂2A
∇2 A − 2 = −4πJ.
∂t
~ le cui componenti sono
Se ora definiamo il 4-potenziale A,
∇2 φ −
~ → (φ, Ax , Ay , Az ) ,
A
O
(6.9a)
(6.9b)
(6.10)
86
CAPITOLO 6. ELETTRODINAMICA RELATIVISTICA
possiamo scrivere le 4 equazioni 6.9a e 6.9b in forma tensoriale come
β
Aβ,α
,α = −4πJ .
(6.11)
Come esempio concreto, consideriamo al caso β = 0. Abbiamo
0
A0,α
,α = −4πJ ,
cioè, da eq. 6.10,
φ,α
,α = −4πρ.
Notiamo che compaiono una derivata covariante ed una controvariante. Esplicitando il conto si ha
,3
,2
,1
φ,0
,0 + φ,1 + φ,2 + φ,3 = −
∂2φ ∂2φ ∂2φ ∂2φ
∂2φ
+
+
+
=
−
+ ∇2 φ = −4πρ
∂t2
∂x2
∂y 2
∂z 2
∂t2
e analogamente i casi β = 1, 2, 3 danno le tre equazioni per le componenti
del potenziale vettore in eq. 6.9b.
Possiamo scrivere anche il gauge di Lorentz (eq. 6.8) in forma tensoriale
come
Aα,α = 0.
(6.12)
6.1.3
Tensore elettromagnetico
Vogliamo ora cercare la forma tensoriale dei campo E e B. I campi, scritti
in termini dei potenziali, sono
B = ∇ × A,
E = −∇φ −
(6.13a)
∂A
.
∂t
(6.13b)
I due campi danno, in totale, 6 componenti
indipendenti, che possiamo
0
pensare come le componenti di un tensore 2 antisimmetrico con diagonale
nulla. Se costruiamo un tensore F di componenti
Fµν ≡ Aν,µ − Aµ,ν
(6.14)
vediamo che è ovviamente antisimmetrico e che, osservando eq. 6.13a e 6.13b,
fornisce le 6 componenti dei campi. Il tensore F viene detto tensore elettromagnetico.
6.1. EQUAZIONI DI MAXWELL
87
Esplicitiamo ora le componenti. Innanzitutto, da eq. 6.10, abbiamo che
Ã → (−φ, Ax , Ay , Az ) .
O
Inoltre, eq. 6.13a e 6.13b ci dicono immediatamente che
F00 = F11 = F22 = F33 = 0.
e
F01 = A1,0 − A0,1 =
F02 = A2,0 − A0,2 =
F03 = A3,0 − A0,3 =
F12 = A2,1 − A1,2 =
F13 = A3,1 − A1,3 =
F23 = A3,2 − A2,3 =
∂Ax
∂t
∂Ay
∂t
∂Az
∂t
∂Ay
∂x
∂Az
∂x
∂Az
∂y
∂φ
= −Ex
∂x
∂φ
+
= −Ey
∂y
∂φ
+
= −Ez
∂z
∂Ax
−
= Bz
∂y
∂Ax
−
= −By
∂z
∂Ay
−
= Bx .
∂z
+
Le componenti del tensore elettromagnetico in

0 −Ex −Ey
Ex
0
Bz
Fµν = 
Ey −Bz
0
Ez By −Bx
6.1.4
forma di matrice sono quindi

−Ez
−By 
.
(6.15)
Bx 
0
Equazioni di Maxwell in forma tensoriale
Equazioni con sorgenti
Consideriamo le due equazioni di Maxwell con sorgenti:
∇ · E = 4πρ
∂E
∇×B−
= 4πJ.
∂t
(6.16a)
(6.16b)
88
CAPITOLO 6. ELETTRODINAMICA RELATIVISTICA
Utilizzando il tensore elettromagnetico, possiamo scriverle come
,ν
Fµν
= 4πJµ .
(6.17)
Consideriamo la prima delle 4 equazioni 6.17, ponendo µ = 0. Abbiamo
,ν
,0
,1
,2
,3
F0ν
= F00
+ F01
+ F02
+ F03
= 4πJ0
che, da eq. 6.15, in termini di componenti dei campi equivale a
−
∂Ez
∂Ex ∂Ey
−
−
= −4πρ,
∂x
∂y
∂z
cioè eq. 6.16a.
Poniamo ora µ = 1 in eq. 6.17. Abbiamo
,ν
,0
,1
,2
,3
F1ν
= F10
+ F11
+ F12
+ F13
= 4πJ1
cioè
−
∂Ex ∂Bz ∂By
+
−
= 4πJx ,
∂t
∂y
∂z
che è la componente x di eq. 6.16b. Analogamente
,ν
F2ν
= 4πJ2 ,
e
,ν
F3ν
= 4πJ3 ,
sono la componente y e z di eq. 6.16b.
Conservazione della carica
µ
Ricordando che J,µ
= 0, da eq. 6.17, la conservazione della carica implica che
µ
µν
4πJ,µ
= F,µν
= 0.
(6.18)
6.2. TRASFORMAZIONI DEI CAMPI
89
Equazioni interne
Consideriamo ora le due equazioni di Maxwell “interne”, cioè quelle in cui
non compaiono sorgenti:
∇·B=0
∂B
∇×E+
= 0.
∂t
(6.19a)
(6.19b)
Sono anch’esse 6 equazioni, e possono essere scritte in forma tensoriale come
Fµν,σ + Fσµ,ν + Fνσ,µ = 0.
(6.20)
Notiamo che nella formula precedente non ci sono somme implicite. È facile rendersi conto che l’antisimmetria del tensore elettromagnetico e la sua
diagonale nulla, implicano che le uniche combinazioni di indici che danno un
risultato non nullo sono quelle in cui i 3 indici di ciascun termine sono diversi
fra loro e che combinazioni in cui compaiono i medesimi indici, ma in ordine
diverso, danno il medesimo risultato. Detto questo, abbiamo le permutazioni
di 4 oggetti distinti (i possibili valori di un indice), a gruppi di 3, cioè 43 = 4
possibili risultati:
F12,3 + F31,2 + F23,1 = 0
(6.21)
che coincide eq. 6.19a,
F02,3 + F30,2 + F23,0 = 0
F01,3 + F30,1 + F13,0 = 0
F01,2 + F20,1 + F12,0 = 0,
(6.22)
(6.23)
(6.24)
che, rispettivamente, danno le componenti x, y, e z di eq. 6.19b.
6.2
Trasformazioni dei campi
Applichiamo ora le trasformazioni di Lorentz al tensore elettromagnetico.
Questo ci permette di calcolare immediatamente le trasformazioni dei campi
E ed B passando da un sistema di riferimento ad un altro in moto relativo.
Come al solito consideriamo un boost lungo l’asse x positivo.
90
CAPITOLO 6. ELETTRODINAMICA RELATIVISTICA
Sappiamo che le componenti di un generico tensore di tipo
anche quelle del tensore elettromagnetico) si trasformano come
0
2
(e quindi
Fµ′ ν ′ = Λαµ′ Λβν′ Fαβ ,
(6.25)
dove, ricordiamo Λση′ = Λση′ (−v).
Analizziamo le singole componenti trasformate. Innanzitutto è immediato
vedere che
F0′ 0′ = Λα0′ Λβ0′ Fαβ
= Λ00′ Λ00′ F00 + Λ00′ Λ10′ F01 + Λ10′ Λ00′ F10 + Λ10′ Λ10′ F11 = 0,
dove abbiamo esplicitato solo i coefficienti di Lorentz non nulli. Analogamente,
F1′ 1′ = F2′ 2′ = F3′ 3′ = 0.
Inoltre
Ex′ = F1′ 0′ = Λ01′ Λ10′ F01 + Λ11′ Λ00′ F10
= −Λ01′ Λ10′ F10 + Λ11′ Λ00′ F10 = (−γ 2 v 2 + γ 2 )F10 = F10 = Ex
cioè
Ex′ = Ex .
Per la componenti y ′ e z ′ si ha, rispettivamente
Ey′ = F2′ 0′ = Λ22′ Λ00′ F20 + Λ22′ Λ10′ F21 = γEy − γvBz
e
Ez ′ = F3′ 0′ = Λ33′ Λ00′ F30 + Λ33′ Λ10′ F31 = γEz + γvBy .
In definitiva, considerando le componenti di E parallela e perpendicolare
al moto, possiamo scrivere
Ek′ = Ek
(6.26a)
E⊥′
(6.26b)
= γ(E⊥ + v × B).
6.3. CAMPI DA CARICHE IN MOTO UNIFORME
91
In modo del tutto analogo, per le componenti del campo magnetico B
troviamo
Bx′ = F2′ 3′ = Λ22′ Λ33′ F23 = F23 = Bx
By′ = F3′ 1′ = Λ33′ Λ01′ F30 + Λ33′ Λ11′ F31 = γvF30 + γF31 = γvEz + γBy
Bz ′ = F1′ 2′ = Λ01′ Λ22′ F02 + Λ11′ Λ22′ F12 = γvF02 + γF12 = −γvEy + γBz ,
cioè, in termini di componenti parallele e perpendicolari al moto,
Bk′ = Bk
(6.27a)
′
B⊥
= γ(B⊥ − v × E).
(6.27b)
Scalari invarianti
Le regole dell’algebra tensoriale ci dicono che ogni scalare costruito partendo
da tensori è invariante rispetto a cambi di sistemi di riferimento. Allora
possiamo dire che lo scalare
Fµν F µν = 2(B 2 − E 2 )
è invariante, cosı̀ come
det F = (E · B)2 .
Cioè, le quantità B 2 − E 2 ed E · B sono invarianti relativistiche.
6.3
Campi da cariche in moto uniforme
Consideriamo una carica q in moto con velocità lungo l’asse x di O. Nel
sistema O′ della carica il campo E vale
Ex′ = q x′ /r ′3
Ey′ = q y ′/r ′3
Ez′ = q z ′ /r ′3 ,
dove r ′ =
p
x′2 + y ′2 + z ′2 , mentre per il campo B abbiamo
Bx′ = By′ = Bz′ = 0.
92
CAPITOLO 6. ELETTRODINAMICA RELATIVISTICA
Nel sistema O dell’osservatore, utlizzando eq. 6.26a e 6.26b, si ottiene
Ex = Ex′ = q x′ /r ′3
Ey = γq y ′/r ′3
Ez = γq z ′ /r ′3 ,
e, da, eq. 6.27a e 6.27b,
Bx = 0
By = −q γ v z ′ /r ′3
Bz = q γ v y ′/r ′3 .
Utilizzando le trasformate di Lorentz
x′ = γ(x − vt)
y′ = y
z ′ = z,
otteniamo
Ex = q γ (x − vt)/r 3
Ey = q γ y/r 3
Ez = q γ z/r 3 ,
(6.28a)
(6.28b)
(6.28c)
Bx = 0
By = −q γ v z/r 3
Bz = q γ v y/r 3,
(6.29a)
(6.29b)
(6.29c)
e
p
con r = γ 2 (x − vt)2 + y 2 + z 2 . Notiamo che i campi cosı̀ ottenuti non sono
altro che il “campo di velocità” ottenuto dai potenziali di Leinard–Wiechart.
Supponiamo ora che il punto P dello spazio 3-D in cui vogliamo calcolare
i campi abbia coordinate (0, b, 0), mentre la carica si muove lungo l’asse x, e
si trova in (0, 0, 0) al tempo t = 0 (figura 6.2).
6.3. CAMPI DA CARICHE IN MOTO UNIFORME
93
y
Ey
E
P
B
b
q
Ex
O
z
vt
v
x
Bz
Figura 6.2: Carica q in moto lungo l’asse x. Si calcola il valore dei campi E ed B nel
punto P, in funzione del tempo t.
Abbiamo quindi, da eq. 6.28a, 6.28b, e 6.28c il campo E nel punto P,
Ex (P ) = −q γvt/(γ 2 v 2 t2 + b2 )3/2
Ey (P ) = q γb/(γ 2 v 2 t2 + b2 )3/2
Ez (P ) = 0,
e, da eq. 6.29a, 6.29b, e 6.29c il campo B nel punto P,
Bx (P ) = 0
By (P ) = 0
Bz (P ) = q γvb/(γ 2 v 2 t2 + b2 )3/2 .
Notiamo che Bz (P ) = vEy (P ), che, per nel caso ultrarelativistico γ ≫ 1,
diviene Bz (P ) ≃ Ey (P ). Il campo E si trova nel piano xy è diretto lungo la
congiungente fra la carica q ed il punto P, mentre il campo B, perpendicolare
a E, è parallelo all’asse z nel piano zy. Il valore massimo di Ey (e quindi di
Bz ) si ha al tempo t = 0, cioè quando la carica si trova in (0, 0, 0), e vale
Ey = Bz = qγ/b2 , mentre il valore massimo di Ex è Ex ≃ q/b2 ≪ Ey (si
94
CAPITOLO 6. ELETTRODINAMICA RELATIVISTICA
veda figura 6.3). Il campo elettromagnetico è quindi concentrato nel piano
perpendicolare al moto.
E y = Bz
Ex
0
t
Figura 6.3: Valori dei campi E ed B nel pun to P in funzione del tempo.
Spettro
Lo trasformata di Fourier dell’impulso di radiazione in P è, poichè Ex ≪ Ey ,
Z +∞
Z
qγb +∞ 2 2 2
1
iωt
Ey (t) e dt =
(γ v t + b2 )−3/2 eiωt dt
Ẽ(ω) ≃
2π −∞
2π −∞
qω
bω
=
,
(6.30)
K1
2
πγv
γv
dove K1 è la funzione di Bessel modificata del prim’ordine. Lo spettro
dell’impulso è quindi
dW
q2ω2
bω
2
2
.
(6.31)
= |Ẽ(ω)| = 2 2 4 K1
dAdt
π γ v
γv
Notiamo come lo spettro “tagli” per ω >
∼ γv/b, come implicato dal principio
di indeterminazione.
6.4
Elettrodinamica covariante
Abbiamo già visto la trattazione relativistica del moto di cariche soggette
alla forza di Lorentz. Vogliamo ora farne una trattazione covariante.
6.4. ELETTRODINAMICA COVARIANTE
6.4.1
95
La 4-forza di Lorentz
Dalla definizione classica FLorentz = q[E + v × B], vediamo come la 4-forza
di Lorentz debba necessariamente contenere il tensore elettromagnetico F e
la 4-velocità ~u. Scriviamo quindi
F µ = qFνµ uν
(6.32)
da cui ricaviamo l’equazione tensoriale del moto di una particella carica:
aµ =
q µ ν
F u .
m ν
(6.33)
Analizziamo la componente temporale di eq. 6.32. Ponendo µ = 0 otteniamo
F 0 = qFν0 uν = q(F00 u0 + F10 u1 + F20 u2 + F30 u3 )
= q(−F00 u0 − F01 u1 − F02 u2 − F03 u3 )
= q(Ex γvx + Ey γvy + Ez γvz ).
(6.34)
Poichè abbiamo F µ = dpµ /dτ , la componente F 0 della 4-forza di Lorentz ci
fornisce la variazione di energia (potenza) della particella e, quindi, in termini
classici 3-D, eq. 6.34 rappresenta la conservazione dell’energia,
dW
= q E · v,
dt
dove abbiamo usato usato dt = γdτ . Se ora poniamo µ = 1 in eq. 6.32, si ha
F 1 = qFν1 uν = q(F01 u0 + F11 u1 + F21 u2 + F31 u3 )
= q(F10 u0 + F11 u1 + F12 u2 + F13 u3 )
= q(γEx + γvy Bz − γvz By ),
(6.35)
cioè
dpx
= q[Ex + (v × B)x ].
dt
Analogamente, ponendo µ = 2 e µ = 3 in eq. 6.33, si ha
dpy
= q[Ey + (v × B)y ],
dt
(6.36)
(6.37)
96
CAPITOLO 6. ELETTRODINAMICA RELATIVISTICA
e
dpz
= q[Ez + (v × B)z ],
(6.38)
dt
cioè le componenti spaziali dell’equazione del moto di una particella carica
in un campo elettromagnetico. Significa che la forza di Lorentz “classica” è
in realtà relativisticamente invariante. Questo poichè lo sono le equazioni di
Maxwell.
Notiamo infine che, in generale, scrivere l’equazione del moto in forma
tensoriale permette di unire due concetti classici diversi, l’equazione del moto
3-D, e, nella sua componente “0”, la conservazione dell’energia.
6.5
6.5.1
Radiazione da cariche relativistiche
Potenza totale
Supponiamo di avere una carica in moto che emetta radiazione isotropicamente nel suo MCRF O′ . Vogliamo calcolare le caratteristiche della radiazione nel sistema dell’osservatore O, rispetto al quale la carica si muove.
Immaginiamo la velocità della carica orientata lungo l’asse x.
Nel MCRF il momento 3-D della radiazione è nullo poichè la radiazione
è isotropa, cioé
p′1 = p′2 = p′3 = 0.
Allora, se dW ′ è l’energia emessa in un intervallo di tempo dt′ , nel sistema
O abbiamo
′
(6.39)
dW = dp0 = Λ0µ′ dpµ = γ dp′0 = γ dW ′.
È importante avere in mente che p~ è qui il 4-momento della radiazione emessa,
non della carica, mentre Λαβ′ è la trasformata di Lorentz relativa al moto della
carica. Ora, pochè dt = γdt′ , otteniamo che
dW
dW ′
=
,
dt
dt′
(6.40)
cioè la potenza emessa è invariante (se la radiazione è isotropa nel MCRF).
Ricordiamo ora la formula di Larmor:
P′ =
2q 2 ′ 2
|a | ,
3
(6.41)
6.5. RADIAZIONE DA CARICHE RELATIVISTICHE
97
dove la potenza è misurata nel sistema della carica, e l’accelerazione è un
3-vettore. Se ci spostiamo nello spazio 4-D di Minkoski, da ~u · ~a, abbiamo
che, nel MCRF, a′0 = 0. Quindi, numericamente, |a′ |2 = ~a · ~a, valida in ogni
sistema di riferimento. Quindi abbiamo che, in O, la potenza totale è
2q 2
P =
~a · ~a.
3
(6.42)
Se ora consideriamo quanto visto nel Capitolo 2 per quanto riguarda la
trasformazione dell’accelerazione, possiamo, utilizzando eq. 2.37a e 2.37b,
scrivere
P =
2q 2
2q 2 ′ ′ 2q 2 ′2
2q 2 4 2 2
~a · ~a =
~a · ~a =
(ak + a′2
)
=
γ (γ ak + a2⊥ ).
⊥
3
3
3
3
(6.43)
È importante notare che per particelle ultrarelativistiche a⊥ ≫ ak , per cui,
nonostante il fattore extra γ 2 , il termine dominante nell’equazione di Larmor
relativistica 6.43 è a2⊥ .
6.5.2
Distribuzione angolare della radiazione emessa
Energia
Nel MCRF della carica, consideriamo una quantità infinitesima di energia
dW ′ emessa entro l’angolo solido dΩ′ = dφ′ dµ′, con µ′ ≡ cos θ′ , e θ′ angolo
rispetto all’asse x′ (figura 6.4). La componente spaziale del momento della
radiazione entro dΩ′ non sarà nulla (lo è se integrata su tutto l’angolo solido).
Abbiamo quindi
′
p0 = Λ0µ′ pµ = γp′0 + γvp′1 ,
(confrontarle con eq. 6.39). Ora, per i fotoni, p′1 /p′0 = µ′ , da cui
dW = γ(1 + vµ′)dW ′ .
(6.44)
Ora, la trasformazione di µ è data da eq. 2.27a, e inoltre φ = φ′ in quanto
l’angolo azimutale è perpendicolare al moto. Possiamo scrivere quindi
dµ′
γ 2 (1 + vµ′ )2
dφ = dφ′ ,
dµ =
98
CAPITOLO 6. ELETTRODINAMICA RELATIVISTICA
da cui
dΩ′
.
dΩ = 2
γ (1 + vµ′ )2
L’energia emessa per unità di angolo solido vista nel sistema O dell’osservatore è quindi
′
dW
3
′ 3 dW
= γ (1 + vµ )
.
(6.45)
dΩ
dΩ′
Potenza
Vogliamo ora trovare la potenza emessa. Nel MCRF semplicemente la potenza è
dW ′
.
(6.46)
P′ =
dt′
Nel sistema O abbiamo invece due scelte possibili:
• dt = γdt′ : intervallo di tempo durante il quale abbiamo emissione in
O. Questa scelta fornisce la potenza emessa in O: Pe
• dtA = γ(1 − vµ)dt′ : intervallo di tempo della radiazione ricevuta da
O. Il fattore extra (1 − vµ) viene dal moto della sorgente (si veda la
trattazione dell’effetto Doppler fatta in 2.6.2). Questa scelta fornisce
la potenza ricevuta in O: Pr .
Abbiamo quindi
dPe
dP ′
1
= γ 2 (1 + vµ′)3
= 4
′
dΩ
dΩ
γ (1 − vµ)3
dP ′
1
dPr
= γ 4 (1 + vµ′)4
= 4
′
dΩ
dΩ
γ (1 − vµ)4
dP ′
dΩ′
dP ′
,
dΩ′
(6.47a)
(6.47b)
dove abbiamo utilizzato γ(1 + vµ′ ) = 1/[γ(1 − vµ)]. Poichè Pr è la potenza
che viene effettivamente misurata da un osservatore, consideriamo ora solo
eq. 6.47b.
6.5. RADIAZIONE DA CARICHE RELATIVISTICHE
99
x’
d Ω’
a’
v
Θ’
θ’
q
φ’
Figura 6.4: Emissione di radiazione entro l’angolo solido dΩ′ nel MCRF della carica q.
Carica ultrarelativistica
Supponiamo che la radiazione sia isotropa in O′ , e assumiamo una carica
ultrarelativistica, v ≃ 1. Allora eq. 2.27a al secondo ordine in θ diviene
µ ≃ 1 − θ2 . Inoltre possiamo scrivere
r
1
1
v = 1 − 2 ≃ 1 − 2,
γ
2γ
da cui la potenza ricevuta (eq.6.47b) diviene
4
dP ′
2γ
dPr
≃
.
(6.48)
dΩ
1 + γ 2 θ2
dΩ′
Carica accelerata
Fino ad ora non abbiamo considerato alcun motivo specifico per il quale la
carica emetta radiazione. Consideriamo adesso che la carica sia accelerata,
e quindi esplicitiamo il termine dP ′/dΩ′ . Nel sistema della carica, possiamo
utilizzare l’approssimazione di dipolo per il pattern della radiazione emessa:
dP ′
q 2 a′2
=
sin2 Θ′ ,
dΩ′
4π
(6.49)
100
CAPITOLO 6. ELETTRODINAMICA RELATIVISTICA
dove Θ′ è l’angolo fra accelerazione e la direzione considerata della radiazione
emessa (figura 6.4). Ora, scrivendo ~a′ = a′k + a′⊥ , abbiamo
2 2
2
dP
q 2 (γ ak + a⊥ )
=
sin2 Θ′ ,
4
dΩ
4π (1 − vµ)
(6.50)
dove abbiamo usato eq. 6.47b, e le regole di trasformazione dell’accelerazione,
eq. 2.37a ed 2.37b.
Ci manca ora da scrivere Θ′ del sistema O. Analizziamo due casi particolari:
• a k v: in questo caso Θ′ = θ′ (figura 6.4), e, usando eq. 2.27a, abbiamo
sin2 θ
sin Θ = 2
,
γ (1 − vµ)2
2
′
da cui
dPk
q 2 2 sin2 θ
=
a
.
dΩ
4π k (1 − vµ)6
(6.51)
• a ⊥ v: in questo caso cos Θ′ = sin θ′ cos φ′ , e, sempre usando eq. 2.27a,
abbiamo
sin2 Θ′ = 1 −
sin2 θ cos2 φ
,
γ 2 (1 − vµ)2
da cui
q2 2
1
dP⊥
=
a⊥
dΩ
4π
(1 − vµ)4
sin2 θ cos2 φ
1− 2
.
γ (1 − vµ)2
(6.52)
La radiazione, nel sistema O, viene ricevuta inconata entro un angolo ∼
1/γ. Uno schema del pattern della radiazione emessa è mostrato in figura 6.5.
6.6. ESERCIZI
101
MCRF: O’
LAB: O
∼1/γ
a’
v
x’
v
MCRF: O’
x
LAB: O
a’
∼1/γ
v
x’
v
x
Figura 6.5: Pattern della radiazione emessa da una carica accelerata nel sistema MCRF
O′ (a sinistra), e nel sistema dell’osservatore O. In alto, il caso in cui a′ k v, in basso
a′ ⊥ v.
6.6
Esercizi
1. Una sorgente celeste si muove con velocità v verso un osservatore, ed il suo
moto forma un angolo θ rispetto alla linea di vista. Si determini la velocità
apparente proiettata sulla volta celeste (cioè perpendicolarmente alla linea
di vista).
2. Scrivere la legge di Ohm in forma tensoriale.
3. Una particella di massa a riposo m so muove di velocità v lungo l’asse x
in un sistema O. Nel suo sistema O′ , la particella emette parte della sue
energia interna W ′ come radiazione isotropa.
(a) Esiste una forza di reazione sulla particella? Oppure resta ferma in
O′ ?
(b) La particella è accelerata nel sistema O?
102
CAPITOLO 6. ELETTRODINAMICA RELATIVISTICA
(c) Quale è il 4-momento della radiazione emessa in O′ ? E in O?
(d) La particella rallenta in O per via della componente x del momento
della radiazione?
(e) Come si riconcilia con la conservazione del 4-momento?
4. Una particella di massa a riposo m assorbe un fotone di energia hν, convertendo la sua energia come energia interna. Dopo l’interazione la particella
ha massa a riposo m′ e si muove con velocità v ′ rispetto al sistema in cui
prima dell’interazione era ferma.
(a) Trovare la relazione fra m e m′ ;
(b) Trovare la medesima relazione nel caso in cui la particella si muove,
prima dell’interazione, con velocità v.

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