Appunti 2010 Potenziale e.s

Ottobre 2011
Il potenziale elettrostatico
Si dice che una forza ammette potenziale se il lavoro compito da quella forza su un tragitto
qualunque che vada da un punto A ad un punto B nello spazio non dipende dal tragitto stesso ma
soltanto dal punto di partenza e da quello di arrivo INDIPENDENTEMENTE dallo specifico
percorso fatto, questo e’ il caso della forza elettrostatica in quanto dipende soltanto da coordinate
spaziali . Infatti in generale:
se e’ F = F (x,y,z) e si tratta di una funzione che descrive un fenomeno fisico cioe’ e’ una funzione
“buona” cioe’ continua con tutte le derivate necessarie continue e ds =dxi+dyj+dzk in coordinate
cartesiane, abbiamo che nell’integrale che permette di calcolare il lavoro
B
L =  F ( x, y, z )ds l’integrando avra’ una funzione primitiva f(r) che potra’ dipendere solo dalle
A
coordinate x,y,z e quindi alle fine sara’ L= f(B) – f(A) cioe’ indipendentemente dal percorso che va
da A a B.
La quantita’ V(r) si chiama il potenziale prodotto dalla carica Q nel punto r, (o piu’ in generale
prodotto dal campo elettrostatico E)
Caso della forza elettrostatica. Lavoro L per spostare una carica q nel campo elettrico generato da
una carica puntiforme Q nel percorso da A a B, qualunque esso sia:
B
B
kQ
kQ
kQ kQ
kQ B
kQ

L/q =  2 u r ds =  2 dr  
=
e ponendo V (r) =
[= - f(r)]
|
A
r
r
rB
rA
A r
A r
L/q = V(rA) – V(rB)
Se si ricorda che e’ anche L (A → B) = T(B) – T(A) dove T e’ l’energia cinetica data dalla formula:
1
T = mv 2 sara’ anche T(A) + qV(A) = T(B) + qV(B). Qundi la quantita’ qV(r) puo’ essere
2
interpretata come energia potenziale elettrostatica e la quantita’ T+qV energia totale del sistema
somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale
Esempi ed applicazioni pratiche
Carica puntiforme Q che genera il campo e.s. Consideriamo una particella di massa m e carica q
inizialmente ferma alla distanza r. Se la particella e’ lasciata libera sara’ allontanata dalla forza
Colombiana ed acquistera’ energia cinetica allora
kQ
q (dato che la
alla distanza r , dato che la particella e’ ferma, sara’ l’ Energia totale Etot=
r
energia cinetica e’ nulla)
1
a distanza infinita Etot = mv 2 (energia potenziale elettrostatica nulla dato che e’ r = ∞) e quindi
2
kQq 1 2
 mv +0 [T(r)]
dovendosi conservare l’energia sara’: 0 [V(∞)] +
r
2
Campo costante E(x) diretto secondo l’asse x a partire da x=o. Consideriamo una carica puntiforme
q di massa m a distanza x=a dall’origine con velocita’ iniziale nulla
Anche in questo caso la particella sara’ respinta dal campo ed acquistera’ velocita’
L(a →b) lungo un segmento parallelo al campo E
b
L /q =
 Edx = Ex |
b
a
= Eb – Ea , in tal caso e’ V(x) = -Ex
a
Se la particella e’ inizialmente in x = 0 con v = 0 e quindi con Etot inizialmente nulla arrivera’ nel
punto b in modo che l’energia totale si conservi e cioe’
1
1
0 + 0 = -qEb + mv 2 e quindi mv 2 = qEb cioe’ e uguale al lavoro del campo e.s.
2
2