Moto in campi elettrico e magnetico perpendicolari

Moto in campi elettrico e magnetico perpendicolari
a) Descrivere il moto di una particella di massa m e carica elettrica q in presenza di un campo
~ ed un campo magnetico B
~ uniformi e perpendicolari tra loro.
elettrico E
b) Utilizzare il risultato per risolvere il problema seguente. Della luce ultravioletta causa l’emissione di elettroni, con velocità trascurabile, dall’armatura negativa di un condensatore piano
~ parallelo alle
di separazione h. Il condensatore è situato in un campo magnetico uniforme B
armature, tra le quali è mantenuta una differenza di potenziale V . Quanto deve valere B perchè
gli elettroni non raggiungano l’armatura positiva del condensatore?
1
Soluzione
~ Lungo B,
~ infatti, non agiscono forze e,
a) Proiettiamo il moto sul piano perpendicolare a B.
nel caso, possiamo avere solo un ³componente´ della velocità costante. La forza complessiva
~ + ~v ∧ B
~ , con ~v velocità della particella nel sistema del
agente sulla particella vale f~ = q E
laboratorio. Mettiamoci adesso in un sistema che trasli rispetto al laboratorio con velocità
costante v~0 . Avremo che la velocità della particella ~v rispetto al laboratorio vale ~v = v~0 + v~0 ,
dove v~0 è la velocità della particella nel nuovo sistema di riferimento. La forza agente sulla
particella può essere scritta
h
³
´
i
0
~
~
~
~
f = q E + v~0 + v ∧ B
~ + v~0 ∧ B
~ = 0,
Scegliendo la velocità di traslazione del nuovo sistema di riferimento in modo che E
~ v~0 ed E
~ formanti nell’ordine una terna cartesiana
cioè con v0 = E/B e con le direzioni e i versi B,
sinistrorsa, la forza diventa
~
f~ = q v~0 ∧ B.
Nel sistema di riferimanto in moto, cioè, tutto avviene come se fosse presente solo il campo
magnetico, e la particella descriverà un moto circolare uniforme con raggio
r=
mv 0
qB
e frequenza di ciclotrone ω =
qB
.
m
Componendo questo moto circolare con la velocità di traslazione v~0 del sistema di riferimento,
nel sistema del laboratorio si osserva una cicloide.
b) L’elettrone viene emesso da fermo, quindi, nel sistema in moto del punto a) ha velocità iniziale
v~0 = −v~0 , con v0 = E/B = V /(hB). Il raggio dell’orbita dell’elettrone nel sistema in moto vale
quindi
mv 0
mV
r=
=
qB
qhB 2
Perchè l’elettrone non arrivi a toccare l’armatura positiva dovrà essere
s
2mV
mV
2r < h, da cui 2
< h ovvero B >
2
qhb
qh2
.
2