formule e dimostrazioni

http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI
MATEMATICA
Prof. Francesco Marchi1
Appunti ed esercizi su:
funzioni elementari: formule e
dimostrazioni
24 dicembre 2010
1 Per
altri materiali didattici o per informazioni:
Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/
Indirizzo email: [email protected]
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
Indice
1 Funzioni elementari: formule e “regole di calcolo”
1.1 Funzioni circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Definizioni e fatti basilari . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 La relazione goniometrica fondamentale . . . . .
1.1.3 Espressione di una funzione in termini delle altre
1.1.4 Archi associati . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Formule di addizione e sottrazione . . . . . . . .
1.1.6 Formule di duplicazione e di bisezione . . . . . .
1.1.7 Formule cosiddette parametriche . . . . . . . . .
1.1.8 Formule di prostaferesi e di Werner . . . . . . . .
1.2 Funzioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Definizioni e fatti fondamentali . . . . . . . . . .
1.3 Funzioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
4
4
5
6
7
8
9
9
9
10
2 Le funzioni elementari: esercizi
2.1 Dimostrazione di identità . . . . . . . . . .
2.1.1 Funzioni goniometriche . . . . . . .
2.1.2 Funzione esponenziale . . . . . . . .
2.1.3 Funzione logaritmica . . . . . . . . .
2.2 Dimostrazioni di formule e relazioni generali
2.2.1 Esercizio 1 (esempio guidato) . . . .
2.2.2 Esercizio 2 (esempio guidato) . . . .
2.2.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Esercizio 6 . . . . . . . . . . . . . .
2.2.7 Esercizio 7 . . . . . . . . . . . . . .
2.2.8 Esercizio 8 . . . . . . . . . . . . . .
2.2.9 Esercizio 9 . . . . . . . . . . . . . .
2.2.10 Esercizio 10 . . . . . . . . . . . . . .
2.2.11 Esercizio 11 . . . . . . . . . . . . . .
2.2.12 Esercizio 12 (esempio svolto) . . . .
2.3 Il software yEd e i grafi delle dimostrazioni
2.3.1 Esercizio 1 (esempio svolto) . . . . .
2.3.2 Esercizio 2 (esempio svolto) . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
12
12
12
14
14
15
15
15
16
16
16
16
16
17
17
17
17
17
17
18
18
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
2.3.3
Esercizio 2 (esempio svolto) . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Formulario
A.1 Funzioni circolari . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 Relazioni tra funzioni goniometriche .
A.1.2 Formule di addizione e sottrazione . .
A.1.3 Formule di duplicazione e di bisezione
A.1.4 Formule cosiddette parametriche . . .
A.1.5 Formule di prostaferesi e di Werner . .
A.2 Funzioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . .
A.2.1 Proprietà delle potenze . . . . . . . .
A.3 Funzioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . .
A.3.1 Proprietà dei logaritmi . . . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
20
20
20
21
22
22
23
24
24
25
25
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
Capitolo 1
Funzioni elementari:
formule e “regole di
calcolo”
Tutte le formule dimostrate in questo capitolo sono riportate e numerate, per
comodità, nell’appendice A e ad esse faremo riferimento con indicazioni del tipo:
“utilizzando la A.3b . . . ”, “tramite la formula A.4b . . . ” e simili.
1.1
1.1.1
Funzioni circolari
Definizioni e fatti basilari
Definizione 1. Si dice circonferenza goniometrica la circonferenza di raggio unitario avente centro nell’origine degli assi cartesiani.
Usando la formula che dà l’equazione della circonferenza, noti centro e raggio,
possiamo facilmente trovare che l’equazione della circonferenza goniometrica è
la seguente:
x2 + y 2 = 1
Definizione 2. Si dice seno di un angolo l’ordinata del punto di intersezione
tra la retta che individua l’angolo e la circonferenza goniometrica.
Definizione 3. Si dice coseno di un angolo l’ascissa del punto di intersezione
tra la retta che individua l’angolo e la circonferenza goniometrica.
Definizione 4. Si dice tangente di un angolo l’ordinata del punto di intersezione tra la retta che individua l’angolo e la retta di equazione x = 1.
Teorema 1. (Relazione analitica tra sin, cos, tan). Tra le funzioni goniometriche sussiste la seguente relazione algebrica:
sin x
tan x =
(1.1)
cos x
3
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
Dimostrazione. Si consideri il grafico rappresentato in figura 1.1; sia x l’angolo
0
\ I triangoli AOB
\ e A\
AOB.
OB 0 sono simili, perciò . . .
Figura 1.1: Grafico utilizzato per la dimostrazione della relazione algebrica sussistente fra
le funzioni seno, coseno, tangente.
1.1.2
La relazione goniometrica fondamentale
Con considerazioni di geometria analitica, si dimostra che:
sin2 x + cos2 x = 1
1.1.3
Espressione di una funzione in termini delle altre
Dimostriamo in questa sezione che tra le funzioni goniometriche sussistono le
relazioni sintetizzate nella tabella 1.1.
Relazione tra seno e coseno
Dimostrazione. Utilizzando la A.1, con banali passaggi algebrici, è possibile
ottenere le relazioni cercate.
Tangente in funzione di seno e coseno
Dimostrazione. Si utilizza la relazione algebrica che lega tangente, seno e coseno
(A.2) e le formule appena dimostrate che esprimono il seno in funzione del coseno
e viceversa.
4
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
Tabella 1.1: Espressione di una funzione goniometrica in termini delle altre.
sin x
cos x
sin x
/
√
± 1 − cos2 x
cos x
p
± 1 − sin2 x
/
tan x
± √ sin x 2
1−sin x
√
±
1−cos2 x
cos x
tan x
tan x
± √1+tan
2x
1
± √1+tan
2x
/
Seno e coseno in funzione della tangente
Dimostrazione. A partire dalle formule che esprimono la tangente in funzione
del solo seno o del solo coseno, con passaggi algebrici, è possibile ricavare le
formule cercate.
1.1.4
Archi associati
Basandoci su considerazioni geometriche, si nota che:
sin(−α) = − sin(α)
cos(−α) = cos(α)
...
5
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
1.1.5
Formule di addizione e sottrazione
Dimostriamo qui di seguito che valgono le seguenti formule di addizione e
sottrazione di seno, coseno e tangente:
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
tan(α − β) =
tan α − tan β
1 + tan α tan β
tan(α + β) =
tan α + tan β
1 − tan α tan β
Sottrazione del coseno
Dimostrazione. Si faccia riferimento alla figura 1.2.
[ e β = AOB
\ gli angoli assegnati. Si costruisce nel primo
Siano α = AOC
quadrante un triangolo congruente al triangolo OBC. Utilizzando le definizioni
di seno e coseno e di circonferenza goniometrica, risulta che:
C(cos α, sin α);
B(cos β, sin β);
0
C (cos(α − β), sin(α − β));
A(1, 0)
0
0
Poiché AOC ∼
= OBC, risulterà CB = C A, ossia:
p
(cos α − cos β)2 + . . .
Sviluppando i calcoli ed utilizzando la A.1, otteniamo la formula cercata.
6
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
Figura 1.2: Grafico utilizzato per la dimostrazione della formula di sottrazione del coseno.
Addizione del coseno
Partendo dalla A.4a, possiamo scrivere:
cos(α + β) = cos(α − (−β)) = . . . = cos α cos β − sin α sin β
Addizione del seno
Utilizzando le formule relative agli archi associati, è possibile dimostrare che:
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Sottrazione del seno
Anche qua, con un semplice trucco algebrico, possiamo scrivere:
sin(α − β) = sin(α − (−β)) = . . . = sin α cos β − cos α sin β
Sottrazione della tangente
Addizione della tangente
1.1.6
Formule di duplicazione e di bisezione
Duplicazione
Le seguenti formule di duplicazione:
sin(2x) = 2 sin x cos x cos(2x) = cos2 x − sin2 x tan(2x) =
7
2 tan x
1 − tan2 x
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
si dimostrano facilmente a partire dalle formule di addizione, con accorgimenti
come il seguente:
sin(2x) = sin(x + x) = sin x cos x + sin x cos x = . . .
Bisezione
Sono le seguenti:
sin
cos
tan
1.1.7
x
2
x
2
x
2
r
1 − cos x
2
r
1 + cos x
2
r
1 − cos x
1 + cos x
=±
=±
=±
Formule cosiddette parametriche
Formula per il seno
Dimostrazione. Ricordandoci che vogliamo introdurre gli angoli x/2, possiamo
riscrivere la A.5a nel seguente modo:
x
x
sin x = 2 sin
cos
2
2
Possiamo adesso dividere il secondo membro per 1 = cos2 (x/2) + sin2 (x/2):
sin x = 2
sin(x/2) cos(x/2)
cos2 (x/2) + sin2 (x/2)
Volendo ottenere un’espressione che contenga la tangente, possiamo dividere
numeratore e denominatore per cos2 (x/2); otteniamo cosı̀:
sin
x
2
=
2t
;
1 + t2
avendo posto
t = tan
x
2
Formula per il coseno
Si ricava, in modo analogo, partendo dalla formula di duplicazione del coseno.
8
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
1.1.8
Formule di prostaferesi e di Werner
Le formule di prostaferesi
Dimostrazione. Sommando membro a membro la A.4c e la A.4d, otteniamo:
sin(α + β) + sin(α − β) = 2 sin α cos β
Consideriamo ora il seguente cambiamento di variabile e la sua trasformazione
inversa:
(
p=α+β
q =α−β =
(
α=
β=
;
p+q
2
p−q
2
Otterremo allora la seguente:
sin p + sin q = 2 sin
p−q
p+q
cos
2
2
Viceversa, sottraendo le A.4c e la A.4d otterremo . . .
E ancora, se consideriamo le formule del coseno . . .
Le formule di Werner
Sommando e sottraendo membro a membro le formule di addizione e sottrazione
di seno e coseno, è possibile ricavare le seguenti formule dette di Werner:
1.2
1.2.1
sin x sin y =
1
[cos(x − y) − cos(x + y)]
2
cos x cos y =
1
[cos(x − y) + cos(x + y)]
2
sin x cos y =
1
[sin(x + y) + sin(x − y)]
2
Funzioni esponenziali
Definizioni e fatti fondamentali
Definizione 5. Si definisce potenza n-sima di un numero a il prodotto di a
per se stesso effettuato n volte, ossia:
.
an = a
. . . · a}
| · a{z
n volte
9
(1.2)
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
E’ chiaro che dalla definizione precedente non è possibile dare un significato
3
ad espressioni come a0 , a−2 , a 25 : che senso avrebbe moltiplicare un numero per
se stesso zero volte? o meno due volte?
Vedremo come dare un senso alle scritture precedenti.
Innanzitutto diciamo che, per definizione, vale:
.
a0 = 1
Consideriamo ora la seguente moltiplicazione:
1.2
am · an = a
. . . · a} · a
. . . · a} =
| · a{z
| · a{z
n volte
m volte
1.2
=a
. . . · a} = an+m
| · a{z
n+m volte
Consideriamo adesso la seguente moltiplicazione:
A.10b
A.10a
an · a−n = an−n = a0 = 1
Considerando il primo e l’ultimo membro, ricaviamo che:
a−n =
1
an
Veniamo adesso al rapporto tra potenze:
an
1
= an · m
m
a
a
1.3
A.10g
A.10b
= an · a−m = an−m
Funzioni logaritmiche
10
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
Tabella 1.2: Confronto e relazioni tra funzioni circolari e funzioni iperboliche.
Funzioni circolari
Funzioni iperboliche
eıx = cos x + ı sin x
ex = cosh x + sinh x
e−ıx = cos x − ı sin x
e−x = cosh x − sinh x
Relazioni definitorie
Relazione fondamentale
cos x =
eıx +e−ıx
2
cosh =
ex +e−x
2
sin x =
eıx −e−ıx
2
sinh =
ex −e−x
2
cos2 x + sin2 x = 1
cosh2 x − sinh2 x = 1
D[cos x] = − sin x
D[cosh x] = sinh x
D[sin x] = cos x
D[sinh x] = cosh x
cos x = cosh(ıx)
sin x = −ı sinh(ıx)
Proprietà di derivazione
Relazione tra funzioni circolari ed iperboliche
11
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
Capitolo 2
Le funzioni elementari:
esercizi
2.1
Dimostrazione di identità
Dimostrare le uguaglianze proposte negli esercizi seguenti, facendo riferimento
alle formule riportate nell’appendice A, come negli esempi svolti.
2.1.1
Funzioni goniometriche
Vedi [?], vol. 3, ess. 317-382, pagg. 610-614.
Esercizio 1 (esempio svolto)
Dimostriamo la seguente identità:
tan 2x(1 − 2 sin2 x) = sin 2x
Dimostrazione.
A.5c
tan 2x(1 − 2 sin2 x) = tan 2x · cos 2x
(2.1)
sin 2x
=
· cos 2x = sin 2x
cos 2x
A.2
Esercizio 2 (esempio svolto)
Dimostriamo la seguente identità:
sin2 (x − y) + cos2 (x + y) = 1 − sin 2x cos 2y
12
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
Dimostrazione.
A.4d
A.4b
sin2 (x − y) + cos2 (x + y) = (sin x cos y − cos x sin y)2 + cos2 (x + y) =
A.4b
= (sin x cos y − cos x sin y)2 + (cos x cos y − sin x sin y)2 =
= sin2 xcos2 y + cos2 x sin2 y − 2 sin x cos y cos x sin y+
+ cos2 x cos2 y + sin2 x sin2 y − 2 cos x cos y sin x sin y =
A.1
= sin2 x(cos2 y + sin2 y) + cos2 x(sin2 y + cos2 y) − 4 sin x cos x sin y cos y =
A.1
A.5a
= 1 − 2 sin x cos x · 2 sin y cos y = 1 − sin 2x sin 2y
Esercizio 3
Dimostrare le seguenti identità:
cos 2x
= 1 − tan2 x
cos2 x
2 cos2 x
tan 2x
=
tan x
cos 2x
(sin x + cos x)2
1
= (1 + tan x)2
1 + cos 2x
2
1−
tan x
1
=
2 cos2 x
tan 2x
tan x − tan y
sin(x − y)
=
tan x + tan y
sin(x + y)
tan x − sin x
x
= sin2
2 tan x
2
tan x − tan(x + y) =
13
sin(x − y)
cos 2x · cos(x + y)
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
2.1.2
Funzione esponenziale
Esercizio 1 (esempio svolto)
Dimostrare che:
32 · 35 ·
√
7
1
32 =
3−51/7
Dimostrazione.
√
7
32 · 35 ·
A.10f
A.10g
A.10b
32 = 32 · 35 · 32/7 = 351/7 =
1
3−51/7
Esercizio 2
Come esercizio, si possono considerare gli esercizi 18-30 pag. 614 di [?], considerando come punto di arrivo il risultato proposto di fianco. Qui di seguito,
riportiamo alcune identità riprese da tale testo.
√
√
55x−2
3
( 25x · 5x )6 :
= 52x+4
25
√
2
2
(21−x−x : 2x )4
= 25x −6x
2−x
2+x
(2
)
√
√
√
2x+1
3
6
( 2x · 2x+1 ) : 2x = 2 3
2.1.3
Funzione logaritmica
Esercizio 1 (esempio svolto)
Dimostrare che vale:
Dimostrazione.
√
3 3
7
log3 √
=
3
6
3
√
3 3
log3 √
3
3
A.10c
1
A.10f
= log3
3
3 · 32
1
1
33
7
= log3 3 2 − 3 = log3 3 6
A.11c
=
7
A.11f 7
log3 3 =
6
6
14
3
A.10b
= log3
32
1
33
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
Esercizio 2
Come esercizio, si possono considerare gli esercizi 4-8 pag. 656 di [?] e 92-99
pag. 661, considerando come punto di arrivo il risultato proposto di fianco. Qui
di seguito, riportiamo alcune identità riprese da tale testo.
r
2
3 9
=−
log 23
4
3
√
5 5
7
log5 √
=
3
6
5
1 + log
√
10 −
√
1
6
log 10 − log 10 = log 10
3
log(x − y) + log(x + y) − log(x2 − 2xy + y 2 ) = log
2.2
x+y
x−y
Dimostrazioni di formule e relazioni generali
Dimostrare le formule e relazioni proposte di seguito, mettendo in evidenza, in
ogni passaggio in cui lo si ritenga opportuno, le altre formule, definizioni e fatti
notevoli utilizzati per la dimostrazione.
2.2.1
Esercizio 1 (esempio guidato)
tan x
Dimostrazione 1. Dimostrare che: sin x = ± √1+tan
,
2x
p
sapendo che: 1) tan x = sin x/ cos x e che: 2) cos x = ± 1 − sin2 x
Dimostrazione. Vogliamo innanzitutto far sparire la funzione coseno, per cui,
utilizzando sia l’ipotesi 1 (definizione di tangente) che l’ipotesi 2, scriveremo:
tan x =
sin x
p
± 1 − sin2 x
Elevando al quadrato entrambi i membri, dopo una serie di passaggi algebrici,
si ottiene la formula cercata.
2.2.2
Esercizio 2 (esempio guidato)
Dimostrazione 2. Dimostrare la seguente formula, detta di prostaferesi:
sin p + sin q = 2 sin
p+q
p−q
cos
2
2
a partire dalle formule di addizione e sottrazione del seno.
15
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
Qui di seguito proponiamo le linee guida della dimostrazione.
Dimostrazione. Si mettano a sistema le formule di addizione e di sottrazione
del seno e si sommino membro a membro tali equazioni. Si consideri il seguente
cambiamento di variabili:
(
α+β =p
α−β =q
Si consideri la trasformazione inversa (che esprime cioè α e β in funzione di p e q).
Si eseguano le opportune sostituzioni; si ottiene cosı̀ la formula desiderata.
2.2.3
Esercizio 3
Con procedimento analogo a quello dell’esercizio precedente, dimostrare le formule che esprimono la differenza dei seni, la somma dei coseni, la differenza dei
coseni (sin p − sin q; cos p + cos q; . . . ).
2.2.4
Esercizio 4
Dimostrazione 3. Dimostrare la formula di duplicazione del coseno, considerando come nota la formula di sottrazione del coseno.
Dimostrazione. Per la formula di duplicazione del coseno, ci serve la formula di
addizione del coseno. Dovremo allora ricavare tale formula a partire da quella
di sottrazione del coseno . . .
2.2.5
Esercizio 5
Dimostrazione 4. A partire dalla formula di duplicazione del coseno (cos 2x =
cos2 x−sin2 x), ed utilizzando la relazione goniometrica fondamentale, dimostrare
la seguente versione alternativa per la formula di duplicazione del coseno:
cos(2x) = 2 cos2 x − 1
2.2.6
Esercizio 6
Ricavare e dimostrare la formula di triplicazione del seno, ossia la formula che
esprime, in termini del solo sin x, il valore del sin(3x).
2.2.7
Esercizio 7
Ricavare e dimostrare la formula di triplicazione della tangente, ossia la formula
che esprime, in termini della sola tan x, il valore di tan(3x).
16
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
2.2.8
Esercizio 8
A partire dalla seguente formula di bisezione della tangente:
r
x
1 − cos x
tan
=±
2
1 + cos x
dimostrare la seguente versione alternativa della formula:
x
sin x
=
tan
2
1 + cos x
2.2.9
Esercizio 9
Dimostrare, ricorrendo anche ad un grafico sul piano cartesiano, la formula di
sottrazione del coseno.
2.2.10
Esercizio 10
Dimostrare, avvalendosi anche di considerazioni geometriche, la formula che lega
algebricamente le funzioni seno, coseno, tangente.
2.2.11
Esercizio 11
Dimostrare la formula di addizione della tangente, note quelle di addizione del
seno e del coseno.
2.2.12
Esercizio 12 (esempio svolto)
Dimostrare la formula che esprime la tangente in funzione del solo seno.
Dimostrazione. Per la A.2, vale:
tan x =
sin x
cos x
Inoltre, considerando la A.3c, possiamo scrivere:
tan x = ± p
sin x
1 − sin2 x
che è la formula cercata.
2.3
Il software yEd e i grafi delle dimostrazioni
In questa sezione, proponiamo di utilizzare il software yEd 1 per rappresentare
tramite grafi le relazioni esistenti fra definizioni, teoremi ed altri teoremi.
E’ possibile estendere progressivamente il grafo, via via che vengono aggiunte
nuove definizioni e nuovi teoremi.
1 Tale
software è liberamente scaricabile dal sito [?].
17
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
2.3.1
Esercizio 1 (esempio svolto)
Costruire un grafo che illustri definizioni e teoremi utilizzati nella dimostrazione
della formula di sottrazione del coseno.
Proponiamo tale grafo in figura 2.1, in cui abbiamo evidenziato in verde le
definizioni ed in giallo le formule e i teoremi.
Figura 2.1: Grafo che rappresenta le definizioni (nei riquadri verdi) e le formule (in giallo)
utilizzate per la dimostrazione della formula di sottrazione del coseno.
2.3.2
Esercizio 2 (esempio svolto)
Ampliare il grafo realizzato per l’esercizio precedente, introducendo la formula
di sottrazione della tangente e le ipotesi (definizioni e teoremi) necessari a dimostrarla.
Ripercorrendo la dimostrazione della formula di sottrazione della tangente, notiamo che, oltre a vari passaggi algebrici banali, abbiamo bisogno della definizione
della funzione tangente e delle formule di sottrazione del seno e del coseno.
Otterremo cosı̀ il grafico proposto in figura 2.2.
Figura 2.2: Grafo che rappresenta le definizioni (nei riquadri verdi) e le formule (in giallo)
utilizzate per la dimostrazione della formula di sottrazione della tangente.
18
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
2.3.3
Esercizio 2 (esempio svolto)
Ampliare il grafo realizzato per l’esercizio precedente, introducendo la formula di
duplicazione del seno e le ipotesi (definizioni e teoremi) necessari a dimostrarla.
La formula di duplicazione del seno si dimostra a partire da quella di addizione
del seno, la quale a sua volta si dimostra a partire da quella di sottrazione
del seno; quest’ultima, infine, si dimostra usando le formule relative agli archi
associati e la formula di sottrazione del coseno.
Tutto ciò è sintetizzato nel grafico proposto in figura 2.3.
Figura 2.3: Grafo che rappresenta le definizioni (nei riquadri verdi) e le formule (in giallo)
utilizzate per la dimostrazione della formula di duplicazione del seno.
19
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
Appendice A
Formulario
A.1
A.1.1
Funzioni circolari
Relazioni tra funzioni goniometriche
Relazioni fondamentali
sin2 x + cos2 x = 1
(A.1)
sin x
cos x
(A.2)
tan x =
20
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
Espressione di una funzione in termini delle altre
p
sin x = ± 1 − cos2 x
= ±√
tan x
1 + tan2 x
p
cos x = ± 1 − sin2 x
= ±√
1
1 + tan2 x
tan x = ± p
√
=±
A.1.2
sin x
1 − sin2 x
1 − cos2 x
cos x
(A.3a)
(A.3b)
(A.3c)
(A.3d)
(A.3e)
(A.3f)
Formule di addizione e sottrazione
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
(A.4a)
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
(A.4b)
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
(A.4c)
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
(A.4d)
tan(α − β) =
tan α − tan β
1 + tan α tan β
(A.4e)
tan(α + β) =
tan α + tan β
1 − tan α tan β
(A.4f)
21
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
A.1.3
Formule di duplicazione e di bisezione
Duplicazione
sin(2x) = 2 sin x cos x
(A.5a)
cos(2x) = cos2 x − sin2 x
(A.5b)
= 1 − 2 sin2 x
(A.5c)
= 2 cos2 x − 1
(A.5d)
tan(2x) =
2 tan x
1 − tan2 x
(A.5e)
Bisezione
sin
cos
tan
A.1.4
x
2
x
2
x
2
r
=±
r
=±
r
=±
1 − cos x
2
(A.6a)
1 + cos x
2
(A.6b)
1 − cos x
1 + cos x
(A.6c)
Formule cosiddette parametriche
Sia t = tan
x
2
. Allora:
sin x =
2t
1 + t2
(A.7a)
cos x =
1 − t2
1 + t2
(A.7b)
tan x =
2t
1 − t2
(A.7c)
22
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
A.1.5
Formule di prostaferesi e di Werner
Prostaferesi
sin x + sin y = 2 sin
x+y
x−y
cos
2
2
(A.8a)
sin x − sin y = 2 cos
x+y
x−y
sin
2
2
(A.8b)
cos x + cos y = 2 cos
x+y
x−y
cos
2
2
(A.8c)
cos x − cos y = −2 sin
x−y
x+y
sin
2
2
(A.8d)
Werner
sin x sin y =
1
[cos(x − y) − cos(x + y)]
2
(A.9a)
cos x cos y =
1
[cos(x − y) + cos(x + y)]
2
(A.9b)
sin x cos y =
1
[sin(x + y) + sin(x − y)]
2
(A.9c)
23
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
A.2
Funzioni esponenziali
A.2.1
Proprietà delle potenze
a0 = 1
(a 6= 0)
(A.10a)
am · an = am+n
(A.10b)
am
= am−n
an
(A.10c)
an
bn
(A.10d)
(am )n = am·n
(A.10e)
a n
b
√
n
=
m
am = a n
(A.10f)
1
an
(A.10g)
aloga x = x
(A.10h)
a−n =
24
http://francescomarchi.wordpress.com
http://francescomarchi.wordpress.com
A.3
A.3.1
Funzioni logaritmiche
Proprietà dei logaritmi
Laddove non è indicata esplicitamente la base, è inteso che la proprietà vale
qualsiasi sia la base.
log(xy) = log x + log y
log
x
y
(A.11a)
= log x − log y
(A.11b)
log xn = n log x
(A.11c)
logb x
logb a
(A.11d)
loga ax = x
(A.11e)
loga a = 1
(A.11f)
loga x =
25