CENTRO SALESIANO DON BOSCO – TREVIGLIO
Corso di Informatica
1) Un’urna contiene 10 palline numerate da 1 a 10. Si calcoli la probabilità che:
a) estraendo successivamente 2 palline, rimettendo ogni volta la pallina estratta nell’urna, si
abbiano due numeri primi;
b) estraendo successivamente 2 palline, non rimettendo ogni volta la pallina nell’urna, si
abbiano un numero primo e un numero non primo;
c) estraendo contemporaneamente 3 palline, esse siano 2 palline con un numero inferiore a 5 e
una con un numero maggiore o uguale a 5;
R.
a) I casi possibili sono tutti i modi con cui si possono presentare due dei dieci numeri, anche
ripetuti in quanto dopo ogni estrazione la pallina viene rimessa nell’urna e quindi può essere
nuovamente estratta. Ricorrendo al Calcolo Combinatorio ciò significa considerare come casi
possibili le Disposizioni con ripetizione di 10 elementi presi 2 alla volta, cioè
D10' , 2 = 10 2 = 100
I casi favorevoli sono tutti i modi con cui possono presentarsi, anche con ripetizione, due dei
quattro numeri primi {1,3,5,7} cioè sono le D4' , 2 = 4 2 = 16 .
Pertanto la Probabilità, rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibili, è
16
4
p=
=
100 25
b) I casi possibili sono tutti i modi con cui si possono presentare due dei dieci numeri, ma un
numero può presentarsi una sola volta in quanto non viene rimesso nell’urna. Ricorrendo al
Calcolo Combinatorio ciò significa considerare come casi possibili le Disposizioni semplici di
10 elementi presi 2 alla volta, cioè D2 = 10 ⋅ 9 = 90
I casi favorevoli sono tutti i gruppi formati da un numero primo e un numero non primo ed
inoltre occorre tener conto tutti i possibili modi con cui si possono presentare. Ciò significa
innanzitutto calcolare quanti gruppi si possono fare con un numero primo scegliendolo fra i
quattro numeri primi, D4,1 = 4 , e quanti gruppi sono possibili scegliendo un numero non
primo fra i sei numeri non primi, D6,1 = 6 , ed inoltre calcolare tutti i modi in cui le due
palline estratte si possono presentare, che sono le Permutazioni di 2 oggetti, P2 = 2 ⋅ 1
Dunque i casi possibili risultano D4,1 ⋅ D6,1 ⋅ P2 = 4 ⋅ 6 ⋅ 2 = 48
48 8
=
90 15
c) I casi possibili sono tutti i modi con cui si possono estrarre tre palline ed essendo
l’estrazione contemporanea non ha alcuna rilevanza l’ordine dell’estrazione. Ciò significa per
il Calcolo Combinatorio calcolare le Combinazioni di 10 elementi di classe 3, ovvero
10 ⋅ 9 ⋅ 8
C10,3 =
= 120
3 ⋅ 2 ⋅1
I casi favorevoli sono tutti i gruppi formati da due delle quattro palline aventi un numero
inferiore a 5, che sono le C 4, 2 e da una delle 6 con un valore maggiore o uguale a 5
Pertanto la probabilità è p =
4⋅3
⋅ 6 = 36
2
36
3
Pertanto la probabilità è p =
= .
120 10
(5,6,7,8,9,10); quindi sono C 4, 2 ⋅ 6 =
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Probabilità – Verifica 10
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2) Si lancino contemporaneamente due dadi. Calcolare la probabilità che le due facce.
a) siano due numeri uguali
b) siano due numeri dispari
c) siano due numeri primi
d) siano uno pari e uno dispari
R:
I casi possibili sono le coppie, che si possono formare con le 6 facce, considerando che sulle
facce dei due dadi si possono presentare gli stessi numeri. Ciò significa calcolare le
Disposizioni con ripetizione di 6 oggetti scelti a due a due D6' , 2 = 6 2 = 36
a) I casi favorevoli sono le 6 coppie di facce con numeri uguali, pertanto la probabilità è
6 1
p=
=
36 6
b) i casi favorevoli sono i gruppi formati da un numero dispari scelto fra i tre (1,3,5), ovvero
le Disposizioni di 3 elementi scelti uno alla volta, D3,1 = 3 tenendo presente di tutti i possibili
modi con cui si possono presentare, (ad ogni gruppo ottenuto da un dado deve corrispondere
un gruppo dell’altro dado)
D3,1 ⋅ D3,1 = 3 ⋅ 3 = 9
Pertanto la probabilità è
9 1
p=
=
36 4
c) i casi favorevoli sono i gruppi formati da un numero primo scelto fra i tre (2,3,5), cioè le
D3,1 = 3 tenendo presente che ad ogni gruppo formato con un dado deve corrispondere un
gruppo formato col secondo dado; pertanto risultano
D3,1 ⋅ D3,1 = 3 ⋅ 3 = 9
Pertanto la probabilità è
9 1
p=
=
36 4
d) i casi favorevoli sono il gruppo formato da un numero scelto fra i 3 pari (2,4,6) D3,1 = 3 e il
gruppo formato da un numero dispari scelto fra i tre dispari (1,3,5) D3,1 = 3 tenendo presente
che ad ogni gruppo di un dado corrisponde un gruppo dell’altro dado e che inoltre è
necessario considerare che i due gruppi si devono permutare in quanto possono presentarsi i
numeri pari su un dado e i numeri dispari sull’altro e viceversa. Dunque i casi favorevoli
risultano
D3,1 ⋅ D3,1 ⋅ P2 = 3 ⋅ 3 ⋅ 2 = 18
Pertanto si ha la probabilità
18 1
p=
=
36 2
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3) Si lancino tre monete e si osservi il numero delle “teste” e delle “croci” che si presentano.
Si calcoli la probabilità che
a) escano tre teste
b) esca almeno una testa
c) escano due croci
R:
I casi possibili sono i gruppi che si possono formare con 2 oggetti (testa o croce) presi tre alla
volta considerando che si possono ripetere. Dunque sono le Disposizioni con ripetizione
D2' ,3 = 2 3 = 8
a) i casi favorevoli sono uno solo, pertanto la probabilità è
1
p=
8
b) in tale caso l’evento è l’unione dei tre eventi A=”esce una testa”, B=”escono due teste” e
C=”escono tre teste” e per la proprietà additiva della probabilità si ha
p( A ∪ B ∪ C ) = p( A) + p(B ) + p(C )
3
3
1
Poiché p ( A) = , p (B ) = , p (c ) = otteniamo
8
8
8
3 3 1 7
p= + + =
8 8 8 8
Si poteva giungere allo stesso risultato considerando l’evento opposto “non esce alcuna testa”,
1
ovvero “escono tre croci” che ha probabilità p = e per la proprietà della probabilità
8
dell’evento opposto otteniamo
1 7
p = 1− =
8 8
c) i casi favorevoli sono i modi in cui si possono scegliere, non tenendo conto dell’ordine,
3⋅ 2
due croci sulle tre possibili, ovvero le Combinazioni C 3, 2 =
= 3.
2
Pertanto la probabilità risulta
3
p=
8
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4) Nel gioco del lotto, che consiste nell’estrarre 5 palline da un’urna contenente 90 palline
numerate da 1 a 90, si calcoli la probabilità di
a) vincere con un estratto, ovvero estrarre una pallina di un numero fissato
b) fare un ambo, ovvero estrarre due numeri fissati
c) non estrarre il numero fissato
d) fare un ambo giocando 3 numeri
R:
I casi possibili sono tutte le cinquine che si possono estrarre dai 90 numeri, ovvero, non
90 ⋅ 89 ⋅ 88 ⋅ 87 ⋅ 86
contando l’ordine di estrazione, le Combinazioni C 90,5 =
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
a) i casi favorevoli sono tutti i modi in cui, estratto il numero fissato, si possono raggruppare
89 ⋅ 88 ⋅ 87 ⋅ 86
quattro numeri degli 89 rimasti nell’urna, ovvero le Combinazioni C89, 4 =
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
Pertanto la probabilità, rapporto fra i casi possibili e i casi possibili, è
C89, 4 89 ⋅ 88 ⋅ 87 ⋅ 86
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
1
p=
=
⋅
=
C 90,5
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
90 ⋅ 89 ⋅ 88 ⋅ 87 ⋅ 86 18
b) i casi favorevoli sono tutti i modi in cui, estratti i due numeri fissati, si possono
89 ⋅ 88 ⋅ 87
raggruppare 3 numeri degli 88 rimasti nell’urna, cioè le Combinazioni C88,3 =
3 ⋅ 2 ⋅1
Pertanto la probabilità, rapporto fra casi favorevoli e casi possibili, è
C88,3 88 ⋅ 87 ⋅ 86
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
1
p=
=
⋅
=
C 90,5
3 ⋅ 2 ⋅ 1 90 ⋅ 89 ⋅ 88 ⋅ 87 ⋅ 86 400,5
c) per la proprietà della probabilità dell’evento complementare, essendo l’evento “non esce il
numero estratto” l’evento complementare di “esce un numero estratto,
1 17
p = 1− =
18 18
1
, in questo caso si devono
d) richiamando la probabilità di fare ambo vista al punto b)
400,5
però considerare in quanti modi di possono ottenere due numeri dai tre fissati, ovvero, non
3⋅ 2
contando l’ordine, le Combinazioni C 3, 2 =
= 3.
2
Dunque la probabilità è
C88,3
1
p=
⋅3 =
C 90,5
133,5
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Probabilità – Verifica 10
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5) Siano dati un cubo circoscritto ad una sfera di raggio r nella quale è iscritto un cono
equilatero. Si scelga a caso un punto all’interno del cubo: si determini la probabilità che tale
punto sia esterno al cono.
R:
r
La figura rappresenta la sezione verticale del cubo circoscritto alla sfera nella quale è iscritto
il cono equilatero.
La probabilità è determinata dal rapporto tra il volume del cubo diminuito del volume del
cono (volume favorevole) e il volume del cubo (volume possibile).
Poiché il raggio della sfera è r lo spigolo del cubo è 2r e quindi il volume del cubo
(2r )3 = 8r 3 .
Calcoliamo il volume del cono. Il triangolo sezione è equilatero e equiangolo e poiché il
raggio è bisettrice, l’angolo indicato è
π
π
6
; quindi l’area di base risulta, essendo il suo raggio
2
3
3
3
r ⋅ cos =
r , π
r = π ⋅ r 2 mentre l’altezza, che è anche mediana in quanto il
6
2
4
2
3
triangolo, essendo equilatero e anche isoscele, è pari a r ; pertanto il volume è
2
1 3
3
3
VCONO = ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ r = π ⋅ r 3
3 4
2
8
Dunque la probabilità sarà
3
π ⋅r3
VCUBO − VCONO
V CONO
3
p=
= 1−
= 1 − 8 3 = 1 − π ≅ 0,85
VCUBO
VCUBO
64
8r
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