13 Gruppi topologici

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Gruppi topologici
Ricordiamo gli assiomi di gruppo: un gruppo è un insieme G, munito di operazione binaria (di
solito indicata con la moltiplicazione) G × G → G che sia associativa, in cui esista l’elemento
neutro 1 ∈ G, e per cui ogni g ∈ G abbia un inverso g −1 (cioè un elemento g −1 tale che
gg −1 = g −1 g = 1.
(13.1) Definizione. Un gruppo topologico è sia un gruppo sia uno spazio topologico di
Hausdorff, con in più le seguenti proprietà di continuità:
(i) Il prodotto G × G → G, definito da (g, h) 7→ gh è una funzione continua.
(ii) L’inversione G → G definita da g 7→ g −1 è una funzione continua.
(13.2) Esempio. I campi Q e R (visti come gruppi additivi) sono gruppi topologici rispetto
alla somma. I gruppi moltiplicativi Qr{0}, Rr{0} sono gruppi topologici rispetto al prodotto.
(13.3) Nota. Ogni gruppo, munito della topologia discreta, può essere visto come gruppo
topologico. Per esempio, l’anello degli interi Z (in cui si considera solo la struttura di somma)
è un gruppo discreto infinito.
(13.4) Sia G un gruppo topologico. Allora: Se H ⊂ G è un sottogruppo di G allora (con la
topologia indotta da G) è un gruppo topologico.
Dimostrazione. Se H ⊂ G è un sottogruppo, allora la moltiplicazione e l’inversa sono mappe
ottenute per restrizione:
m : H × H ⊂ G → G, i : H ⊂ G → H,
e quindi sono continue. Questo dimostra (13.4) (insieme al fatto che un sottospazio di uno
spazio di Hausdorff è di Hausdorff).
q.e.d.
(13.5) Siano dati N spazi topologici X1 , X2 , X3 , . . . XN . Consideriamo il prodotto X = X1 ×
X2 × · · · × XN e le proiezioni sulle componenti p1 : X → X1 , p2 : X → X2 , . . . , pN : X → XN .
Allora una funzione f : Y → X1 × X2 × · · · × XN è continua se e solo se lo sono tutte le
composizioni pi ◦ f : Y → Xi . (Di solito si scrive, per semplificare, fi = pi ◦ f )
Dimostrazione. Sappiamo per (7.2) che le proiezioni pi sono continue, per cui le composizioni
pi ◦ f sono continue se f è continua. Viceversa, supponiamo che le composizioni pi ◦ f siano
continue e dimostriamo che f è continua. Sia A = A1 × A2 × · · · × AN un intorno (nella
base canonica di intorni del prodotto X) aperto in X, e consideriamo la sua controimmagine
f −1 (A). Essa si può scrivere come
f −1 (A) = {y ∈ Y : f (y) ∈ A}
= {y ∈ Y : p1 (f (y)) ∈ A1 ∧ p2 (f (y)) ∈ A2 ∧ · · · ∧ pN (f (y)) ∈ AN
=
=
N
\
i=1
N
\
{y ∈ Y : pi (f (y)) ∈ Ai }
(pi ◦ f )−1 Ai
i=1
che è intersezione di aperti, e quindi aperto.
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(13.6) Lo spazio euclideo Rn è gruppo topologico rispetto alla somma
(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ).
Dimostrazione. È una conseguenza del fatto che la somma è una funzione continua (come
anche il prodotto), e del lemma (13.5).
q.e.d.
(13.7) Sia GL(n) = GL(n, R) il gruppo (chiamato gruppo lineare) di tutte le matrici invertibili n × n a coefficienti reali (gruppo rispetto alla moltiplicazione di matrici), munito
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della topologia metrica – indotta dalla inclusione GL(n) ⊂ Rn . Allora GL(n) è un gruppo
topologico.
Dimostrazione. Osserviamo che lo spazio di tutte le matrici n × n è isomorfo (come spazio
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vettoriale, per esempio) a Rn , per cui in questa lezione denoteremo con il simbolo Rn lo
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spazio delle matrici n × n. L’inclusione GL(n) ⊂ Rn è indotta dall’inclusione di GL(n) nello
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spazio di tutte le matrici n × n. Dal momento che Rn è metrico, GL(n) è di Hausdorff.
Dobbiamo mostrare che la moltiplicazione di matrici e l’inversione inducono funzioni continue
m : GL(n) × GL(n) → GL(n) e i : GL(n) → GL(n). Osserviamo che, dato che GL(n) ha la
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topologia indotta da Rn , le funzioni m e i sono continue se e solo se lo sono le corrispondenti
2
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funzioni m : GL(n) × GL(n) → Rn e i : GL(n) → Rn , e quindi, per (13.5) se tutte le
composizioni con le proiezioni pi sono continue (cioè, se ogni componente è continua). Ma il
prodotto di matrici (righe per colonne) si scrive come
N
X
ai,k bk,j ),
((ai,j ), (bi,j )) 7→ (
k=1
cioè è un polinomio nei coefficienti delle matrici (ai,j ) e (bi,j ). Dal momento che ogni polinomio
è funzione continua, la moltiplicazione è continua. Analogamente, il determinante di una
matrice è espressione polinomiale dei suoi coefficienti ed è sempre diverso da zero in GL(n),
ed anche i cofattori (che compaiono nella definizione di matrice inversa) si esprimono come
polinomi dei coefficienti, per cui la funzione di inversione i è continua.
q.e.d.
(13.8) Il gruppo lineare GL(n, R) non è compatto.
Dimostrazione. Nella dimostrazione di (13.7) abbiamo usato il fatto che la funzione determi2
nante det : Rn → R è continua. Per definizione si ha
GL(n, R) = {M : det(M ) 6= 0},
cioè GL(n, R) è la controimmagine del sottospazio aperto R r {0} ⊂ R, ed è quindi un aperto.
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Per il teorema (10.8) un sottoinsieme di Rn è compatto se e solo se chiuso e limitato, e quindi
GL(n, R) non è compatto.
q.e.d.
(13.9) Sia O(n) il gruppo ortogonale, costituito da tutte le matrici ortogonali n × n a coefficienti reali, e SO(n) il gruppo speciale ortogonale, costituito da tutte le matrici di O(n) con
determinante +1. Allora O(n) e SO(n) sono gruppi topologici compatti.
Dimostrazione. Ricordiamo che O(n) è formato da tutte le matrici A (invertibili) di GL(n)
tali che AAt = At A = In (dove At indica la trasposta di A e In la matrice identica n × n).
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Dato che O(n) ⊂ GL(n) ⊂ Rn , per (10.8) dobbiamo mostrare che è chiuso e limitato. La
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moltiplicazione di matrici è continua, e chiaramente l’operazione di trasposizione induce un
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omeomorfismo Rn → Rn , per cui la funzione
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f : Rn → Rn
definita da
A 7→ AAt
si può scrivere come composizione di funzioni continue. Gli insiemi costituiti da singoli punti
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di Rn sono tutti chiusi, ed in particolare l’insieme {In } ⊂ Rn è chiuso. Dunque f −1 (In ) è un
2
sottospazio chiuso di Rn ; ma
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f −1 (In ) = {A ∈ Rn : f (A) = In }
2
= {A ∈ Rn : AAt = In }
= O(n)
e dunque O(n) è chiuso. Ora, si indichino con a:,1 , a:,2 , . . . a:,n i vettori colonna di A ∈ O(n).
La condizione AAt = In si può riscrivere come
(
1 se i = j
a:,i · a:,j =
0 se i 6= j
dove v·w indica il prodotto scalare standard in Rn , e dunque, considerando la prima equazione,
si ha per ogni i
a:,i · a:,i == a21,i + a22,i + · · · + a2n,i = 1,
e quindi ai,j ≤ 1 per ogni i, j = 1, . . . , n, Ne segue che
X
a2i,j ≤ n,
i,j
2
e dunque O(n) è limitato nella metrica euclidea di Rn .
Non rimane che dimostrare che SO(n) è compatto. Ma, dato che si può scrivere come la
controimmagine di 1 mediante la funzione (continua) determinante det : O(n) → R, esso è un
sottospazio chiuso di O(n). Allora segue da (9.10) che esso è compatto.
q.e.d.
(13.10) (Classi laterali) SO(2) ≈ S 1 . O(2) = SO(2) ∪ SO(2) ≈ S 1 ∪ S 1 .
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Gruppi di trasformazioni
(14.1) Definizione. Sia G un gruppo e X un insieme. Si dice che G agisce (da sinistra) su
X se esiste una funzione φ : G × X → X, denotata da (g, x) 7→ g · x = gx, per cui
(i) ∀x ∈ X, 1 · x = x (1 ∈ G è l’elemento neutro).
(ii) ∀x ∈ X, ∀g, h ∈ G, g · (h · x) = (gh) · x.
L’insieme X si dice anche G-insieme.
(14.2) Definizione. Se G agisce su X, allora per ogni x ∈ X si definiscono:
(i) lo stabilizzatore di x: Gx = {g ∈ G : g · x = x}.
(ii) L’orbita di x: G · x = {gx : g ∈ G}.
(14.3) Sia G un gruppo e X un insieme su cui G agisce. Allora la relazione x ∼ y ⇐⇒
∃g ∈ G : gx = y è una relazione di equivalenza, che partiziona X in classi di equivalenza. Le
classi di equivalenza sono le orbite di G in X.
Dimostrazione. Per mostrare che la relazione è di equivalenza, bisogna mostrare che è riflessiva,
simmetrica e transitiva. Dato che 1x = x, si ha che x ∼ x, per cui è riflessiva. Inoltre, se
gx = y (cioè x ∼ y) allora g −1 (gx) = g −1 y, e quindi x = g −1 y, cioè y ∼ x. Quindi è simmetrica.
Infine, è transitiva: se x ∼ y e y ∼ z, si ha che esistono g1 e g2 per cui g1 x = y e g2 y = z.
Quindi (g1 g2 )x = g2 (g1 x) = g2 y = z, cioè x ∼ z. Ora, è facile vedere che due punti stanno
nella stessa classe di equivalenza se e solo se appertengono alla medesima orbita.
q.e.d.
(14.4) Definizione. L’insieme di tutte le orbite (classi di equivalenza) di X secondo per
l’azione di un gruppo G su X si indica con X/G e si chiama spazio delle orbite.
(14.5) Definizione. L’azione di G su X si dice fedele se per ogni g ∈ G, g 6= 1 ∈ G, la mappa
indotta g : X → X (da x 7→ g · x) non è l’identità 1X : X → X.
(14.6) Definizione. L’azione di G su X viene detta transitiva se per ogni x, y ∈ X esiste
g ∈ G per cui g · x = y. In questo caso si dice che X è uno spazio omogeneo.
(14.7) L’azione è transitiva se e solo se esiste solo una G-orbita in X.
Dimostrazione. Sia x ∈ X un punto fissato. Allora per ogni y esiste g ∈ G per cui g · x = y,
cioè ogni y in X sta nella stessa G-orbita di x, che quindi è unica. Viceversa, supponiamo
esista una sola orbita: allora esiste x ∈ X per cui {g · x|g ∈ G} = X, e quindi per ogni y ∈ X
esiste g ∈ G tale che g · x = y.
q.e.d.
(14.8) Nota. Se G è un gruppo, G agisce su se stesso X = G semplicemente per moltiplicazione a sinistra. L’azione è transitiva e fedele. Se H è un sottogruppo di G, anche H agisce su
G per moltiplicazione da sinistra. Le orbite sono i laterali (sinistri) di H in G. La notazione
G/H quindi è consistente: da un lato indica l’insieme (algebrico) dei laterali sinistri di H in
G, dall’altro l’insieme delle orbite dell’azione di H su G.
(14.9) Definizione. Se G è un gruppo topologico, allora si dice che G agisce su uno spazio
topologico X se esiste una funzione φ : G × X → X che induca una azione di G su X (come
nella definizione (14.1)) con l’ulteriore proprietà che la funzione
G×X →X
è continua. Allora X si chiama G-spazio.
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(14.10) Esempio. È facile vedere che R2 agisce su R2 come gruppo (additivo) di traslazioni
(x, y) · (u, v) = (x + u, y + v).
(14.11) Esempio. I gruppi GL(n, R), O(n) e SO(n) agiscono su Rn in modo canonico. Come
visto sopra, si può vedere facilmente che l’azione è continua, cioè che agiscono come gruppi
topologici su Rn .
(14.12) Definizione. Se G è un gruppo topologico che agisce su uno spazio topologico X, lo
spazio delle orbite X/G è uno spazio topologico con la topologia quoziente.
(14.13) Esempio. Sia G = Z (con la topologia discreta) e X = R. Allora G agisce su R
mediante la somma (g, t) 7→ g+t per ogni g ∈ Z e ogni t ∈ R. Lo spazio delle orbite è uguale allo
spazio R/ ∼ dell’esempio (8.1). Mostriamo che è omeomorfo a S 1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 +y 2 = 1}.
Sia f : R → R2 la funzione definita da
f (t) = (cos(2πt), sin(2πt)).
Si vede subito che induce una funzione f (t) : R → S 1 ⊂ R2 , e che è continua (le funzioni
trigonometriche sono continue, poi si usa (13.5)). Dal momento che
f (g + t) = (cos(2πt + 2gπ), sin(2πt + 2gπ))
= (cos(2πt), sin(2πt))
= f (t),
la funzione f induce una funzione sullo spazio delle orbite f¯: R/Z → S 1 . La funzione indotta
f¯ è continua: infatti, se U ⊂ S 1 è un aperto di S 1 , la sua controimmagine f¯−1 (U ) in R/Z è
continua se e soltanto se (per definizione di topologia quoziente) il sottoinsieme
p−1 f¯−1 (U ) ⊂ R
è aperto in R, dove p indica la proiezione sul quoziente p : R → R/Z. Ma
p−1 f¯−1 (U ) = {t ∈ R : f¯ (p(t)) ∈ U }
= {t ∈ R : f (t) ∈ U }
= f −1 (U ),
che è aperto, visto che f è continua.
Ora, la funzione indotta f¯: R/Z → S 1 è iniettiva: se f¯(t1 ) = f¯(t2 ) si ha che cos(2πt1 ) =
cos(2πt2 ) e sin(2πt1 ) = sin(2πt2 ), e quindi t2 = 2kπ + t1 per un certo k ∈ Z, cioè esiste g ∈ Z
tale che g · t1 = t2 : i due punti t1 e t2 appartengono alla stessa G-orbita. È facile vedere che
f¯ è suriettiva. Osserviamo che l’inclusione [0, 1] ⊂ R è una funzione continua, e quindi la
composizione [0, 1] → R → R/Z è anch’essa una funzione continua, e suriettiva. Quindi la sua
immagine R/Z, per (9.12), è un compatto. Ora, f¯ è una funzione continua e biunivoca da un
compatto ad uno spazio di Hausdorff (S 1 ), e quindi un omeomorfismo per (9.14).
(14.14) Esempio. Sia G = Z2 ⊂ R2 il reticolo degli interi (h, k) ∈ R2 . Allora R2 /G è
omeomorfo a S 1 × S 1 . Sappiamo dall’esempio precedente che R/Z ≈ S 1 . Per prima cosa
mostriamo che la funzione
f : R2 /Z2 → R/Z × R/Z ≈ S 1 × S 1
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definita da
(x, y) + Z2 7→ (x + Z, y + Z)
è ben posta. Se (x0 , y 0 )+Z2 = (x, y)+Z2 ∈ R2 /Z2 , allora per definizione x0 −x ∈ Z e y 0 −y ∈ Z,
e quindi x + Z = x0 + Z e y + Z = y 0 + Z. È iniettiva: se (x + Z, y + Z) = (x0 + Z, y 0 + Z),
allora x − x0 ∈ Z e y − y 0 ∈ Z, e quindi (x0 , y 0 ) + Z2 = (x, y) + Z2 ∈ R2 /Z2 . Analogamente si
può mostrare che è suriettiva.
Dimostriamo che è continua: denotiamo con P : R2 → R2 /Z2 la proiezione sul quoziente
e con p × p la mappa p × p : R × R → R/Z × R/Z (che è continua). Se U ⊂ R/Z × R/Z è
un aperto, allora (p × p)−1 (U ) è aperto in R × R, e quindi è aperto in R2 (che è identificato
con R × R tramite la mappa f˜: R2 → R × R che induce f ). Ma il sottoinsieme di R2 dato
da f˜−1 (p × p)−1 (U ) coincide con P −1 (f −1 (U )), che quindi è aperto. Ora, per definizione di
topologia quoziente f −1 (U ) è aperto se e solo se P −1 (U ) è aperto in R2 , e quindi f −1 (U ) è
aperto. Di nuovo, una funzione biunivoca da uno spazio compatto ad uno spazio di Hausdorff
è un omeomorfismo.
(14.15) Esempio. Si consideri l’azione di SO(2) sulla circonferenza unitaria S 1 . Ogni elemento di SO(2) agisce ruotando la circonferenza su se stessa: ogni punto ha stabilizzatore
banale e l’azione è transitiva e fedele. Fissiamo e0 = (1, 0) ∈ S 1 . L’orbita di e0 è tutto S 1 , e
quindi c’è una funzione continua
f : SO(2) → S 1
definita da f (g) = g · e0 . L’azione è transitiva, e quindi f è suriettiva. Inoltre lo stabilizzatore
è banale, e quindi f è iniettiva. Dato che SO(2) è compatto e S 1 di Hausdorff, f è un
omeomorfismo tra SO(2) e S 1 .
(14.16) Esempio. Consideriamo ora l’azione di SO(3) su S 2 (la sfera di dimensione 2, centro
nell’origine e raggio 1, contenuta in R3 ). L’azione è ancora transitiva (perché?), fedele, ma ogni
punto ha uno stabilizzatore non banale (cosa sono le rotazioni di R3 che fissano un punto?).
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