Esercizi per Geometria . (a) Sia X l`insieme [0,1) e sia S 1 = {z ∈ C

Esercizi per Geometria 
. (a) Sia X l’insieme [0, 1) e sia S 1 = {z ∈ C : |z| = 1} ⊂ C con la topologia sottospazio. Definiamo la
mappa (di insiemi) exp : X → S 1 come exp(t ) = e2πi t . Si determini la topologia meno fine A
su X che renda exp continua
(b) In generale, siano X un insieme qualsiasi, (Y, B) uno spazio topologico con f : X → Y una
biiezione di insiemi, A la topologia meno fine su X che renda f continua. Si dimostri che f è
un omeomorfismo.
. (a) Sia B = {(−∞, a) : a ∈ R} ⊂ R. Si dimostri che B è una base per una topologia su R, detta delle
semirette sinistre aperte.
(b) Per ciascuno dei seguenti sottoinsiemi di R, dotati della topologia indotta da quella definita
al punto precedente, si stabilisca se le seguenti proprietà sono vere o false:
I. (−∞, a) è compatto;
II. (−∞, a] è compatto;
III. (−∞, a) ∩ Q è compatto.
. Nel piano euclideo si considerino i due sottoinsiemi
©
ª
E := (x, y) ∈ R2 : x 2 + y 2 ≤ 1 ,
©
ª
F := (x, y) ∈ E : y razionale .
(a) Dimostrare che F ha interno vuoto.
(b) Determinare la chiusura di F.
(c) Determinare la frontiera di F.
. Dato un campo F e un intero n > 0, consideriamo l’anello dei polinomi F[X 1 , . . . , X n ]. Per ogni
polinomio f ∈ F[X 1 , . . . , X n ] consideriamo il sottoinsieme di Fn :
Z( f ) = {(a 1 , . . . , a n ) ∈ Fn : f (a 1 , . . . , a n ) = 0}
©
ª
(a) Si dimostri che l’insieme Z( f ) : f ∈ F[X 1 , . . . , X n ] forma l’insieme dei chiusi di una topologia,
detta di Zariski, su Fn .
(b) Si mostri che se n = 1 la topologia di Zariski su F coincide con la topologia discreta.
(c) La topologia di Zariski è T? è T? è T?
(d) Determinare la chiusura di un qualsiasi aperto non vuoto su C2 dotato della topologia di
Zariski.
. Dati due spazi topologici X ed Y, siano p X : X × Y → X e p Y : X × Y → Y le due proiezioni. Si dimostri
che la topologia prodotto è la topologia più debole fra quelle che rendono p X e p Y continue.
. Dati due spazi topologici X ed Y, sia Z uno spazio topologico qualsiasi.
(a) Si dimostri che, date due funzioni continue f X : Z → X ed f Y : Z → Y esiste un’unica funzione
continua f : Z → X × Y tale che p X ◦ f = f X e p Y ◦ f = f Y .
(b) Siano Q uno spazio topologico, q X : Q → X e q Y : Q → Y due funzioni continue tali che, per
ogni scelta di uno spazio topologico Z e di due funzioni continue f X : Z → X ed f Y : Z → Y
esista un’unica funzione continua f : Z → Q tale che q X ◦ f = f X e q Y ◦ f = f Y . Si dimostri che
Q è omeomorfo al prodotto X × Y.
(c) Si dimostri che X × Y ' Y × X.