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2006-apr-27
Geometria e Topologia I (U1-4)
Esercizi: foglio 8
(8.1) Sia G un gruppo e H ⊂ G un sottogruppo. L’insieme G/H è definito come l’insieme
di tutti i laterali, cioè di tutti gli insiemi del tipo {gh : h ∈ H} per qualche g (fissato) in G.
Equivalentemente, sia ∼H la relazione in G definita da: x ∼H y ⇐⇒ x−1 y ∈ H. Dimostrare
che la relazione ∼H è di equivalenza, e che le classi di equivalenza sono proprio i laterali di H
in G.
(8.2) Dimostrare che GL(n, R) non è limitato.
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(8.3) Si scriva la funzione GL(n) → GL(n) ⊂ Rn definita da A 7→ AAt (dove At indica la
trasposta di A) come composizione di funzioni continue.
(8.4) Sia G un gruppo topologico e H ⊂ G un sottogruppo. Dimostrare che la chiusura H di
H in G è anch’esso un sottogruppo.
(8.5) Dimostrare che Z è un sottogruppo topologico (rispetto alla somma) di R.
(8.6) È vero che Q è un sottogruppo topologico (rispetto alla somma) di R?
(8.7) Dimostrare che GL(n) e O(n) non sono connessi. (Suggerimento: utilizzare il teorema
(11.7 ) con la mappa determinante)
*(8.8) Dimostrare che se S ⊂ R è un sottogruppo discreto (nel senso che ha la topologia
discreta), allora è isomorfo a Z (cioè è un gruppo ciclico infinito).
(8.9) Sia nZ ⊂ Z il sottogruppo (additivo) di tutti i multipli di un intero n ∈ N. L’azione da
sinistra g · x = g + x fa agire G = nZ su Z. L’azione è fedele? È transitiva? Cosa è l’insieme
delle classi di equivalenza?
(8.10) Mostrare che il quoziente R2 /Z2 è compatto.
*(8.11) Trovare un gruppo G che agisca sulla striscia X = {(x, y) : y 2 ≤ 1} ⊂ R2 tale che
X/G sia omeomorfo al cilindro S 1 × [0, 1].
*(8.12) Trovare un gruppo G che agisca sulla striscia X = {(x, y) : y 2 ≤ 1} ⊂ R2 tale che
X/G sia omeomorfo al nastro di Möbius.
*(8.13) Si consideri S 2 con l’azione antipodale di G = Z2 (gruppo di due elementi) data da
g · x = −x se g 6= 1. Che cosa è S 2 /G? È compatto? È connesso?
(8.14) Trovare un’azione sul toro che abbia come spazio quoziente un cilindro.
(8.15) Dimostrare che lo stabilizzatore di un punto x ∈ X rispetto ad un’azione di un gruppo
topologico G è un sottogruppo chiuso di G.
(8.16) Si consideri il gruppo G generato da una rotazione nel piano di angolo θ, che agisce
sulla circonferenza S 1 = {(x, y) : x2 + y 2 = 1} ⊂ R2 . Studiare, al variare di θ, la topologia
dello spazio quoziente S 1 /G.
(8.17) Siano r1 e r2 riflessioni lungo due rette passanti per l’origine in R2 . Mostrare che la
composizione r1 r2 è una rotazione.
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*(8.18) Sia G = Q e X = R, con azione data da g · x = g + x per ogni g ∈ Q e x ∈ R.
Dimostrare che è un’azione di gruppo topologico. È transitiva? Lo spazio quoziente X/G è di
Hausdorff?
(8.19) Si consideri l’azione di GL(1) = R r {0} su R data dalla moltiplicazione g · x = gx.
Quali sono le orbite?
(8.20) Sia G = R (gruppo additivo) e X = R2 , con azione data da g · (x, y) = (g + x, g + y)
per ogni g ∈ G e ogni (x, y) ∈ X. Che cosa è lo spazio delle orbite?
(8.21) Consideriamo la stessa azione dell’esercizio precedente. Che cosa è lo spazio delle
orbite per l’azione di Z ⊂ G = R su X? È compatto? È connesso? È Hausdorff?
(8.22) Quanti elementi ha il gruppo di simmetrie G di un quadrato Q in R2 ? Che cosa è
(cioè, descriverlo esplicitamente) lo spazio quoziente Q/G.
(8.23) Sia X uno spazio su cui un gruppo topologico X agisca in modo transitivo. Dimostrare
che lo spazio è “omogeneo”, cioè per ogni coppia di punti c’è un omeomorfismo f : X → X che
manda x in y (cioè un “cambio di coordinate” che manda x in y). Rispetto a quale gruppo R
è omogeneo? E Rn ?
(8.24) Trovare un gruppo topologico che agisca in modo transitivo su O(n). Più in generale,
se G è un gruppo topologico e H ⊂ G un sottogruppo, determinare un gruppo che agisce
transitivamente sullo spazio quoziente G/H.
*(8.25) Dimostrare che se G è un gruppo topologico che agisce su uno spazio X, allora la
proiezione sullo spazio delle orbite X → X/G è una mappa aperta. Se G è finito, è anche
chiusa. (Suggerimento: se U ⊂ X è un aperto, allora p(U ) è aperto (chiuso) se e solo se
GU = {g · x : g ∈ G, u ∈ U } è aperto (chiuso) in X.)
(8.26) Dimostrare che se G (gruppo topologico) agisce su X, allora per ogni g ∈ G la mappa
x 7→ g · x è un omeomorfismo.
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