NOTA AGGIUNTIVA SULLA REGOLA
AUREA PER I NUMERI PRIMI DI MERSENNE
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A.
Francesco Di Noto
Abstract
In this paper we show other connections between golden
section and Mersenne Numbers
Rassunto
Nel recente lavoro “I numeri primi di Mersenne – Regola
Aurea Rif.1) , lo concludevamo così :
“Ora non rimane che comprendere meglio come,
attraverso questa regola aurea o ciclo di Fibonacci,
un numero primo ad esponente di 2, come dalla nota
definizione
,
determini la primalità anche
del numero finale noto come numero primo di
1
Mersenne. “
°°°°°°°°°°°°°°
Abbiamo fatto qualche tentativo con i numeri primi
di Fibonacci come esponenti di 2, ma non funziona
con tutti ma solo con quelli iniziali: 3, 5,13 e 89. Con
610 abbiamo invece n = 607, seppure molto vicino;
ma 610 non è numero primo di Fibonacci, ma solo
numero di Fibonacci. Anche altri numeri n (7, 19, 31,
61…sono vicini a numeri primi di Fibonacci (8, 21,
34, 55…
Aggiungiamo la prima parte della Tabella di
Wikipedia, con in rosso gli esponenti n e i relativi
numeri Mn:
2
Lista numeri primi di Mersenne[modifica | modifica wikitesto]
# n
Mn
Cifre in Mn Data scoperta Scopritore
1 2
1 Antichità
Ignoto
3
2 3
Ignoto
7
1 Antichità
3 5
2 Antichità
Ignoto
31
4 7
127
3 Antichità
Ignoto
5 13
4 1456
Ignoto
8191
6 17
131071
6 1588
Cataldi
7 19
524287
6 1588
Cataldi
8 31
2147483647
10 1772
Eulero
9 61 2305843009213693951
19 1883
Pervushin
10 89 618970019…449562111
27 1911
Powers
11 107 162259276…010288127
33 1914
Powers
12 127 170141183…884105727
39 1876
Lucas
13 521 686479766…115057151
157 30 gennaio 1952 Robinson
183 30 gennaio 1952 Robinson
14 607 531137992…031728127
…………………………………………. “
Una cosa, questa frequente vicinanza tra numeri n e
numeri di Fibonacci,che si potrebbe ulteriormente
approfondire.
Un altro tentativo eventualmente utile potrebbe
essere il seguente:
3
In rosso la proiezione per i prossimi npM
Tabella 1
N° npM
a
47°
48°
49°
50°
51°
52°
53°
54°
…
Milioni di cifre
(interi
approssimati
b
13 circa
17
22 (ultimo
scoperto
28
36
46
58
74
…
Numeri di
Fibonacci o loro
medie
c
13
17
21
27,5
34
44,5
55
72
…
Vediamo ora i rapporti successivi b/c
4
Tabella 2
N° npM
a
47°
48°
49°
50°
51°
52°
53°
54°
…
Milioni di
cifre
(interi
approssimati
b
13 circa
17
22 (ultimo
scoperto
28
36
46
58
74
…
Numeri di
Rapporti
Fibonacci o successivi
loro medie
b/c
c
13
17
21
1
1
1,0476
27,5
34
44,5
55
72
…
1,0181
1,0588
1,0337
1,0545
1,0277
Media aritmetica da 47° a 49° = 3,0476/3 = 1, 0158
Media aritmetica dal 50° al 54° = 5,1928/5 = 1,0384
16
Media generale 8,2404 /8 = 1,03053 ≈ √1,618032…=
1,0353 ≈ 1,0384 rapporto successivo
5
medio, poiché 1,03053 ^ 16 = 1,61796 ≈ 1,618032 =
Ф.
Vediamo ora le stime del numero di cifre con questa
media aritmetica
Tabella 3
n
Numeri
reali di
cifre
Stime
( c*1,0324)
b
a
47?[3]
48?[3]
12.978.189
49?[3]
22.338.618
21 630 000
17.425.170
50°
28 325 000
51°
35002000
53°
45 835 000
54°
56 650 000
55°
74 160 000
Numeri di Differenze
Fibonaci (+ reali
10^6)
Differenze
stime
c
d
13 000 000
17 000 000
21 000 000
21 000 000 *
1,0300
27 500 000*
1,0300
34 000 000
*1,030
44 500 000
*1,030
55 000 000
*1.030
72 000 000
*1,030
6
Percentuali
di errore sul
valore reale
e
Percentuali
stime %
f
-21811 -0,1680
425170 2,43
5,99
1338618 3,17
708618
825000
2,91%
1 020 000
2,86%
1 335 000
2,9126
1650000
2,9126
2 160 000
2,9126
…
…
…
…
…
2,91 è circa la percentuale reale della percentuale
reale di errore, vedi Rif.1 per il 49° numero di
Mersenne da noi previsto nel 2014, vedi Rif. 2, e che
potrebbe ripetersi per i prossimi numeri di Mersenne
Il numero n esponente si trova con buona precisione
con la formula: numero di cifre c, moltiplicato per
3,321 , e quindi n ≈ c*3,321, con 3,321≈
1,618032^2,5 ≈ 3,33018, probabilmente come limite
superiore per tutti i futuri numeri primi di Mersenne
come da Rif. 1 ( Numeri di Mersenne-Regola aurea)
al quale rimandiamo
Possiamo concludere che la primalità di 2^n -1 ,
è legata approssimativamente al rapporto successivo
7
medio 1,030 e quindi al prodotto numero puro di
Fibonacci F*10^6*1,030 numero di cifre stimato,c
e il numero n stimato con la formula
n ≈ c *3,321 con 3,321 probabilmente tendente a
3,330 come limite superiore.
Non è ancora una stima molto precisa, ma attendibile
per previsioni approssimative dei prossimi numeri di
Mersenne, e ancora ci sfugge tuttavia una spiegazione
o formula deterministica che lega rigorosamente la
primalità di n alla primalità di 2^n -1 per i numeri
primi di Mersenne. Intanto, è già un primo passo …
Tabella 4 per la stima di n’ successivo con la formula
n’ ≈ n*1,030 a partire dal 47° numero di Mersenne
(in verde le stime per i futuri numeri primi di
8
Mersenne, dal 50° al 52°)
TABELLA 4
n valore
reale
a
Numeri puri
di Fibonacci
(o loro medie
*10^6
b
4 3 112 609 44 500 000
Stima
*1,030
57 885 161 55 000 000
56 650 000
74 207 281 72 000 000
74 160 000
91 670 000? 89 000 000
91 670 000
119 995 000 116 500 000
119 995 000
148 320 000 144 000 000
148 320 000
…
…
Differenza
%
c
45 835 000
…
47?[3] 43.112.609
48?[3] 57.885.161
49?[3] 74.207.281
9
-1377391
-3,21
2 885 161
4,98%
2 207 284
2,97%
2670000
2,9126% ?
3495000
2,9126% ?
4 320 000
2,9126 ?
…
La percentuale di errore è quindi prossima al 3%
E forse anche decrescente ad ogni numero primo di
Mersenne successivo
TABELLA 5
n valore
reale
a
n’≈
n*1,2720
stima
(intero)
b
43 112 609 54839238
57 885 161 73629924
Differenza
%
(decrescente?)
3 045 923
5,26 %
577357
0,77 %
74 207 281 94 391 661?
Qui ora abbiamo due stime del prossimo numero n per il
10
prossimo 50° numero di Mersenne:
quella della Tabella 4 precedente, 91 670 000?
e questa della Tabella 5, 94 391 661
Probabilmente, sarà tra queste due stime.
Ma vediamo ora quale stima è migliore, verificandola con i
due metodi (Tabella 4 e Tabella 5)
TABELLA 6
Valore
reale di n
a
Stima
Tabella 4
b
4 3 112 609
57 885 161
74 207 281
91 670 000?
119 995 000
148 320 000
45 835 000
56 650 000
74 160 000
…
91 670 000
119 995 000
148 320 000
…
Stima
Tabella 5
c
54839238
73629924
94 391 661?
?
?
Differenza Differenza
a-b
a-c
1 235 161
47 281
?
?
?
3 045 923
577 357
?
?
?
Come vediamo , la stima migliore è quella della Tabella 4
poiché la differenza tra valore reale e valore stimato è più
11
piccola, con i numeri puri di Fibonacci, o loro medie, con
la formula n’ ≈ F*10^6*1,030 almeno per i pochi ultimi
numeri di Mersenne considerati.
Concludiamo aggiungendo l’intervallo di numeri primi che
comprende la stima migliore di n’ per il prossimo e 50*
numero primo di Mersenne, da 91 670 000 a 91 680 000
entro il quale si potrebbe trovare n’ attorno a 91670000
91669999 91670027 91670039 91670057 91670063 91670081 91670093 91670107
91670147 91670153 91670167 91670177 91670197 91670213 91670237 91670279
91670287 91670297 91670321 91670323 91670333 91670339 91670347 91670353
91670389 91670393 91670413 91670419 91670461 91670489 91670519 91670521
91670531 91670533 91670543 91670567 91670587 91670591 91670603 91670609
91670651 91670659 91670669 91670701 91670707 91670729 91670737 91670753
91670767 91670771 91670779 91670819 91670833 91670879 91670897 91670951
91670959 91670963 91670981 91670989 91671053 91671101 91671119 91671161
91671187 91671193 91671241 91671263 91671269 91671299 91671323 91671329
91671331 91671347 91671379 91671403 91671421 91671431 91671439 91671451
91671457 91671467 91671469 91671493 91671511 91671527 91671529 91671551
91671553 91671563 91671623 91671653 91671661 91671683 91671707 91671731
12
91671733 91671739 91671763 91671773 91671793 91671799 91671809 91671817
91671823 91671841 91671851 91671883 91671889 91671911 91671913 91671917
91671919 91671947 91671953 91671967 91671971 91672019 91672027 91672079
91672099 91672111 91672117 91672127 91672183 91672201 91672213 91672223
91672237 91672247 91672261 91672271 91672291 91672309 91672331 91672367
91672409 91672423 91672429 91672439 91672453 91672459 91672481 91672499
91672501 91672541 91672547 91672561 91672577 91672579 91672589 91672601
91672613 91672631 91672639 91672657 91672661 91672681 91672723 91672747
91672807 91672811 91672837 91672901 91672927 91672957 91672979 91673003
91673069 91673083 91673111 91673117 91673123 91673143 91673149 91673167
91673173 91673177 91673209 91673221 91673227 91673237 91673261 91673273
91673279 91673287 91673303 91673311 91673341 91673369 91673431 91673441
91673447 91673467 91673497 91673507 91673513 91673521 91673539 91673557
91673563 91673579 91673627 91673629 91673683 91673693 91673711 91673717
91673719 91673737 91673779 91673783 91673797 91673821 91673831 91673833
91673839 91673863 91673867 91673873 91673887 91673899 91673903 91673921
91673951 91673957 91673969 91673983 91673987 91674001 91674007 91674019
91674029 91674053 91674059 91674071 91674097 91674101 91674103 91674109
91674169 91674179 91674211 91674229 91674241 91674263 91674269 91674281
91674311 91674329 91674371 91674383 91674391 91674431 91674433 91674503
91674511 91674547 91674551 91674571 91674587 91674589 91674593 91674607
91674617 91674673 91674689 91674691 91674697 91674707 91674733 91674743
91674799 91674833 91674853 91674859 91674881 91674889 91674899 91674907
91674917 91674953 91674977 91675007 91675021 91675027 91675039 91675049
91675063 91675093 91675099 91675117 91675123 91675141 91675187 91675189
13
91675231 91675249 91675261 91675267 91675273 91675279 91675289 91675327
91675349 91675391 91675411 91675421 91675433 91675453 91675477 91675483
91675501 91675511 91675537 91675547 91675553 91675561 91675609 91675667
91675687 91675691 91675693 91675729 91675733 91675739 91675783 91675789
91675807 91675811 91675813 91675823 91675841 91675847 91675853 91675889
91675967 91676009 91676017 91676023 91676051 91676063 91676069 91676071
91676089 91676099 91676111 91676113 91676119 91676131 91676161 91676203
91676231 91676243 91676267 91676293 91676297 91676323 91676327 91676329
91676357 91676363 91676399 91676411 91676441 91676443 91676467 91676471
91676503 91676509 91676513 91676527 91676537 91676581 91676609 91676617
91676621 91676633 91676657 91676671 91676677 91676693 91676707 91676719
91676747 91676749 91676759 91676771 91676773 91676777 91676789 91676807
91676857 91676863 91676867 91676899 91676929 91676947 91676983 91676987
91676999 91677007 91677029 91677037 91677049 91677077 91677097 91677127
91677139 91677163 91677169 91677191 91677197 91677203 91677211 91677217
91677221 91677233 91677281 91677301 91677317 91677343 91677347 91677349
91677361 91677389 91677407 91677427 91677431 91677437 91677457 91677461
91677463 91677473 91677491 91677511 91677539 91677541 91677559 91677569
91677581 91677587 91677623 91677629 91677637 91677661 91677673 91677689
91677713 91677727 91677739 91677769 91677779 91677847 91677851 91677877
91677913 91677941 91677947 91677953 91677967 91677979 91678007 91678031
91678033 91678039 91678049 91678057 91678073 91678117 91678121 91678141
91678151 91678163 91678201 91678219 91678241 91678259 91678261 91678333
91678339 91678373 91678387 91678453 91678459 91678463 91678469 91678511
91678519 91678523 91678571 91678589 91678627 91678649 91678651 91678661
14
91678681 91678723 91678733 91678771 91678787 91678793 91678799 91678801
91678823 91678849 91678879 91678901 91678903 91678927 91678957 91678973
91679033 91679039 91679057 91679069 91679083 91679089 91679099 91679111
91679117 91679143 91679149 91679153 91679177 91679191 91679201 91679207
91679213 91679221 91679233 91679251 91679261 91679267 91679339 91679359
91679381 91679429 91679461 91679473 91679477 91679491 91679501 91679509
91679519 91679543 91679561 91679591 91679593 91679597 91679611 91679629
91679639 91679641 91679659 91679669 91679671 91679677 91679699 91679723
91679729 91679743 91679779 91679837 91679851 91679869 91679873 91679881
91679893 91679899 91679947 91679971 91680007 91680013 91680037 91680067
E , per prudenza , anche l’intervallo che potrebbe
comprendere la stima maggiore
94 391 661
…
94391009 94391023
94391071 94391083 94391111 94391113 94391119 94391137 94391153 94391159
94391177 94391179 94391207 94391237 94391279 94391359 94391387 94391393
94391399 94391417 94391419 94391503 94391509 94391513 94391527 94391567
94391581 94391603 94391611 94391617 94391629 94391653 94391669 94391719
94391729 94391743 94391777 94391783 94391789 94391851 94391893 94391909
94391953 94391971 94391987 94392029 94392031 94392037 94392047 94392049
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Riferimenti
Tutti sul nostro sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
1 ) “NUMERI DI MERSENNE
(Regola aurea sulla loro successione
quasi regolare lungo la retta numerica)
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco
Roggero
Abstract
In this paper we show as Fibonacci numbers and
golden section are connected with Mersenne prime
numbers and permit some previsions . Golden rule for
their statistic distribution. Indeed the numbers 3,321 ≈
1,618 ^2,5 and 1,2720 ≈ √1,618 are very important in
this our rule.
Riassunto
In questo lavoro mostreremo come la sezione aurea e
quindi anche i numeri di Fibonacci permettono di
stabilire una buona ma non ancora perfetta regolarita
nella distribuzione dei numeri primi di Mersenne
lungo la retta numerica. Esponenti n tali che 2^n -1
siano numeri primi di Mersenne, e loro numeri di
cifre, sono regolati infatti dai valori dalla formula
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1,618032 ^2,5 = 3,3301, o se si preferisce, 1,2720^5
≈ 3,3299, ma per gli ultimi 5 numeri primi di Mersenne
vale l’approssimazione 3,321 , che potrebbe anche tendere
a 3,3301 per numeri primi di Mersenne con miliardi e
miliardi di cifre.
1,2720 = √1,618… consente invece, partendo da un
numero primo di Mersenne gia noto, di stimare il
successivo, e con 1,2720^k, di prevedere anche i
successivi, diminuendo pero la precisione.
Nelle tabelle successive sara esposto quanto sopra.
Il problema di stimare rapidamente il prossimo numero
primo di Mersenne viene cosi in gran parte eliminato, ora
rimane solo il problema di dimostrare come un certo
esponente n di 2 , cosi connesso ai numeri di Fibonacci,
determina, sia pure rarissimamente, la primalita del numero
finale, mentre gli esponenti non connessi a Fibonacci non
hanno tale capacita matematica
2) “NUOVO NUMERO PRIMO DI MERSENNE
(NOSTRA PREVISIONE ATTENDIBILE
e nuova previsione per il 50° numero primo di Mersenne) Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A.
Francesco Di Noto
Abstract
In this paper we see confirmed our prevision about number
of digits , 21 688 216, of next Mersenne prime numbers (22
338 618 real value).
The next 50 - th Mersenne prime numbers could
17
have more of 28 00 000 digits.
Riassunto
Confermata la nostra previsione del nuovo numero primo di
Mersenne: 21 688 216 milioni di cifre contro i 22 338 618
di cifre reali del nuovo numero recentemente scoperto
(gennaio 2016), con una differenza di 650 402 = 2,91% del
nuovo valore Ma a condizione che sia valida la relazione tra
numeri di Mersenne e numeri di Fibonacci, che si verifica
spesso ma non sempre)
3) Wikipedia, “Numero primo di Mersenne”
Caltanissetta 1.5.2016
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