capitolo
2
L’insieme dei numeri naturali e l’insieme degli interi Qualche questione sui numeri primi
Numeri primi gemelli
Due numeri primi si dicono gemelli se la loro differenza è uguale a 2. Per esempio, sono gemelli i numeri 17 e 19 e così 41 e 43. Non si sa se i numeri gemelli sono infiniti, certamente sono molto rari.
Al crescere di n i numeri primi diventano sempre più rari e la loro distribuzione è del tutto
irregolare, però vi sono alcune proposizioni
che assicurano l’esistenza di numeri primi in
certi intervalli. Una di queste è la seguente di
Bertrand- C̆ebys̆ev:
C̆ebys̆ev Pafnutij L’vovic, matematico
russo (Kaluga 1821 - Pietroburgo 1894).
Pubblicò ricerche fondamentali di teoria delle funzioni, teoria dei numeri, algebra, calcolo delle probabilità.
Tra un numero naturale superiore a 1 e il suo doppio c’è sempre almeno un numero
primo.
Per esempio, tra 8 e 16 vi sono i numeri primi 11 e 13.
Congettura di Goldbach
In matematica una congettura è una proposizione
verificata vera in alcuni casi ma della quale non
si sia riusciti a dimostrare la falsità in alcun caso
e che pertanto si suppone vera in ogni caso.
Celebre è la congettura di Goldbach:
Goldbach Christian, matematico tedesco (1690 - 1764), vissuto in Russia.
Amico di Eulero e dei Bernoulli, si occupò della teoria delle serie e delle
equazioni differenziali.
Ogni numero pari > 2 è somma di due numeri primi.
Per esempio:
16 = 13 + 3
22 = 19 + 2
46 = 41 + 5
84 = 79 + 5
100 = 97 + 3
Un’altra congettura
Ogni numero dispari ≥ 5 è somma di tre numeri primi.
Per esempio:
27 = 19 + 5 + 3
37 = 29 + 5 + 3
77 = 67 + 3 + 7
33 = 3 + 11 + 19
Numeri di Mersenne
I numeri Mk = 2 k – 1 si dicono numeri di
Mersenne.
I numeri di Mersenne possono essere primi solo se k è primo. Per k < 20 000 si sono trovati 24
numeri primi di Marsenne:
k=
k=
k=
k=
2
3
5
7
M2 =
M3 =
M5 =
M7 =
3
7
31
127
Mersenne Marin, teologo e scienziato
(La Soultière 1588 - Parigi 1648). In
contatto con i più noti scienziati del suo
tempo (R. Descartes, P. Fermat, Ch.
Huygens, E. Torricelli) si occupò di
astronomia, fisica, matematica, musica, filosofia.
k = 13, 17, 19, 31, 61…
Se k = 11, 23, 29 il relativo numero di Mersenne non è primo.
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© 2010 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista
