I numeri di Fibonacci

I numeri di Fibonacci
Nel suo Liber abaci (1202) Fibonacci risolve il famoso problema dei
conigli:
Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno, a partire da
un’unica coppia, se ogni mese ciascuna dà alla luce una nuova coppia,
che diventa produttiva a partire dal secondo mese?
Il numero complessivo delle coppie di conigli esistenti allo scadere di
ogni mese è dato dalla successione numerica:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...
Dal terzo termine in poi, ogni termine è la somma dei due termini
precedenti. Detto un l’n-esimo termine della successione, si ha che
u1=u2=1, e per n3,
un = un-1 + un-2.
I termini di questa successione sono detti numeri di Fibonacci, e
presentano sorprendenti proprietà aritmetiche, oltre a giocare un
ruolo fondamentale nell’arte ed in alcuni fenomeni naturali.
È certo curioso il fatto che i numeri di Fibonacci sono leggibili nel
triangolo aritmetico: sono le somme dei numeri che si trovano sulle
diagonali discendenti da destra verso sinistra:
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 7 35 35 7 5 1
Interessante è anche la formula di Binet:
n
1  5 
1  5 

 

 2 
 2 




un 
5
n
In essa compare il numero
 = (1+5)/2  1,6180,
detto, fin dall’antichità, numero aureo1. Il valore del rapporto
un+1/un, al crescere di n, si avvicina sempre più . Per convincersene,
è sufficiente far eseguire, ad una calcolatrice, i quozienti:
2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89,
233/144, e così via.
Il numero aureo è anche uguale al valore della frazione continua
1
1 +
1
1 +
1 + ..
Quesito aperto: Quanti numeri di Fibonacci sono primi? Ne esistono
infiniti? A tutt’oggi nessuno è riuscito a dare una risposta.
I numeri di Fibonacci in botanica: la fillotassi
I numeri di Fibonacci in musica
I numeri di Fibonacci nell’arte: la sezione aurea
1
Spesso questo nome viene attribuito anche al numero φ = 1/ = (5-1)/2  0,6180.