9a Esercitazione: soluzioni

9a Esercitazione: soluzioni
Monica Bonacina ([email protected])
Corso di Microeconomia A-K, a.a. 2010-2011
Definizioni. Si definiscano sinteticamente i termini anche con l’ausilio, qualora
necessario, di formule e grafici.
Def. 1. Modello di Bertrand.
Mercato in cui la strategia di ciascuna impresa consiste nella scelata del prezzo
al quale vendere il proprio prodotto.
Def. 2. Strategia "colpo su colpo".
Strategia che prevede la cooperazione dei giocatori nel primo periodo (alla prima
mossa) e, nei periodi successivi, l’adozione del medesimo comportamento assunto dal
rivale nel periodo precedente.
Def. 3. Leader.
Impresa che "fa la prima mossa" e sceglie la propria strategia ottima incorporando le informazioni sul comportamento del/i rivale/i.
Def. 4. Libera entrata.
Situazione di mercato in cui non esistono ostacoli all’ingresso di nuovi venditori.
Def. 5. Follower.
Impresa che sceglie la propria strategia ottima tenendo conto della scelta - già
effettuata - dall’impresa leader.
Def. 6. Gioco.
Situazione di interazione nella quale il comportamento strategico è una parte rilevante del processo decisionale.
Def. 7. Accordo tacito.
Si ha un accordo tacito quando le imprese di un’industria raggiungono un’intesa
comune su come devono comportarsi nel mercato, senza discuterne esplicitamente tra
di loro.
1
Vero/Falso. Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione (anche grafica se opportuno) e si argomenti compiutamente la
risposta.
Vero/Falso 1. Maggiore è il numero di imprese operanti in un mercato, più sarà
facile (per le stesse) trovare e sostenere un accordo collusivo.
FALSO. Maggiore è il numero dei giocatore maggiore è la difficoltà di trovare un
accordo e maggiore è il beneficio che ciascun operatore può ottenere deviando unilateralmente dalla strategia pattuita; dunque minore sarà la probabilità di sostenere un
accordo collusivo.
Vero/Falso 2. Nel modello di Bertrand il prezzo di equilibrio per ogni impresa è
sempre pari al suo costo marginale.
FALSO (in generale). In un duopolio asimmetrico, l’impresa meno efficiente
sceglierà un prezzo pari al suo costo marginale ma quella più efficiente adotterà una
strategia di undercutting e sceglierà un prezzo lievemente inferiore al costo marginale
dell’impresa rivale in modo a escluderla dal mercato ed ottenere profitti positivi.
Vero/Falso 3. Se un gioco simultaneo ammette un solo equilibrio di Nash, tale
equilibrio è sempre Pareto-efficiente.
FALSO. In corrispondenza di un equilibrio di Nash tutti giocatori scelgono la
loro risposta ottima alla strategia degli altri giocatori. Non è detto che tale comportamento, quand’anche porti ad un unico equilibrio, implichi un esito Pareto-efficiente
(esempio: dilemma del prigioniero).
Vero/Falso 4. Due imprese A e B competono alla Bertrand ed hanno, rispettivamente, funzioni di costo totale T CA (XA ) = 10XA e T CB (XB ) = 5XB . In equilibrio,
solo B rimarrà sul mercato e venderà il bene al prezzo di monopolio che è pari a 15.
FALSO. I costi marginali delle due imprese sono M CA = 10 > M CB = 5 quindi
l’impresa A sceglierà un prezzo pA = M CA = 10 mentre l’impresa B, conscia della
sua maggiore efficienza, sceglierà pB = M CA − ε = 10 − ε > M CB = 5 (dove ε è
un numero piccolo e positivo, ad esempio 0.01). Solo B resterà sul mercato (perchè
offre un prodotto omogeneo all’impresa rivale ad un prezzo inferiore) ed il prezzo di
equilibrio sarà pB = M CA − ε < 15.
Vero/Falso 5. Due imprese A e B competono alla Bertrand ed hanno, rispettivamente, costi medi pari a ACA = 8 e ACB = 4. In equilibrio, B produrrà il doppio di
A.
FALSO. I costi marginali delle due imprese sono M CA = 8 > M CB = 4 quindi
l’impresa A sceglierà un prezzo pA = M CA = 8 mentre l’impresa B, conscia della sua
maggiore efficienza, sceglierà pB = M CA − ε = 8 − ε > M CB (dove ε è un numero
piccolo e positivo, ad esempio 0.01). Solo B resterà sul mercato (perchè offre un
prodotto omogeneo all’impresa rivale ad un prezzo inferiore) servendo tutti i clienti
(qA = 0).
2
Vero/Falso 6. Due imprese che competono alla Stackelberg e hanno costi marginali
uguali e costanti producono, in equilibrio, la stessa quantità
FALSO. Se il gioco fosse simultaneo (alla Cournot) i duopolisti produrrebbero
la stessa quantità; ma potendo fare la prima mossa il leader sceglierà un livello di
output superiore a quello nell’equilibrio di Cournot e così facendo disincentiverà la
produzione del follower che quindi produrrà meno di quanto farebbe nell’equilibrio di
Cournot.
Vero/Falso 7. Gli incentivi alla collusione sono più forti in presenza di concorrenza
in prezzo di quanto non lo siano con concorrenza in quantità.
INCERTO. Una deviazione unilaterale dall’accordo garantisce profitti maggiori
in caso di concorrenza in prezzo (per via della possibilità di escludere i rivali dal mercato praticando un prezzo lievemente inferiore a quello concordato); d’altra parte il
ritorno all’equilibrio di Bertrand-Nash rappresenta una punizione più severa (profitti
nulli) di quanto non sia il ritorno ad un equilibrio di Cournot-Nash (profitti positivi).
Vero/Falso 8. Potendo fare la prima mossa uno Stackelberg leader ridurrà il proprio volume di produzione al fine di sostenere il prezzo di mercato ed ottenere maggiori profitti.
FALSO. Rispetto all’equilibrio simultaneo uno Stackelberg leader produrrà di più
per disincentivare l’ingresso di concorrenti e garantirsi una quota maggiore di mercato.
Vero/Falso 9. La concorrenza in prezzo porta sempre ad una massimizzazione dei
volumi di vendite.
FALSO (in generale). I volumi di vendite sono massimi quando il prezzo a
cui è venduta l’ultima unità di output è pari al costo di produrre tale unità (p=MC).
Tale condizione non è verificata in un duopolio asimmetrico in quanto l’impresa più
efficiente troverà ottimale praticare un prezzo (lievemente inferiore al costo marginale
dell’impresa rivale) superiore al proprio costo marginale.
Esercizi. Si risolvano i seguenti esercizi.
Esercizio 1. Sul mercato dei fagioli operano 3 imprese che competono alla Bertrand;
ciascuna di esse è caratterizzata dal costo totale TCi = 6qi , dove qi è la quantità
prodotta dall’impresa i (i=1,2,3). La curva di domanda di mercato è Q = 20−(1/2)p,
dove Q è la quantità totale scambiata. (1) Individuate l’equilibrio di mercato, rappresentando correttamente le curve di domanda ed offerta di mercato. (2) Calcolate
il profitto ottenuto da ciascuna impresa in tale equilibrio, il surplus totale dei produttori e dei consumatori e il surplus sociale. (3) Supponete che il prezzo di un
bene sostituto dei fagioli aumenti. Come vi aspettate che si modifichi l’equilibrio di
mercato dei fagioli (prezzo, quantità, surplus sociale)? Non occorre fare calcoli, ma
basta usare un grafico.
Soluzioni. (1) Se le imprese sono simmetriche e competono alla Bertrand, cioè
decidendo il prezzo per sottrarsi clienti a vicenda sino a quando c’è spazio per fare
profitti, fisseranno il prezzo al livello del loro costo marginale. Data la funzione di
costo totale, il costo marginale di ciascuna è 6 (anche il costo medio è 6). La funzione
3
di offerta della singola impresa è
p = M Ci se p ≥ min (ACi )
da cui, sostituendo otteniamo
p=6
in corrispondenza di un prezzo pari a 6 ciascuna impresa è disposta ad offrire tutta
la capacità a sua disposizione; dunque la curva di offerta di mercato è orizzontale di
altezza 6. La curva di domanda (inversa) è
Q = 20 − (1/2)p → p = 40 − 2Q
con intercetta verticale 40, inclinazione -2 e intercetta orizzontale 20. Si veda il
grafico sotto.
p
40
domanda
Equilibrio di mercato
offerta
MC=
6
-2
20
Q
L’equilibrio di mercato, ottenuto come intersezione tra curva di domanda e di offerta
di mercato è
p∗ = 6; Q∗ = 17
(2) Il profitto ottenuto dalle imprese è, come sempre nel caso Bertrand con costo
marginale uguale e costante, pari a zero. Il surplus dei produttori che, in assenza di
costi fissi equivale alla somma dei profitti delle singole imprese, è anch’esso pari a
zero. Infine il surplus dei consumatori è
SC =
40−6
2
× 17 = 289
Il surplus sociale (somma di surplus dei produttori e dei consumatori) è quindi
anch’esso pari a 289.
(3) Se il prezzo di un bene sostituto dei fagioli aumenta, la domanda di quel
bene da parte dei consumatori si riduce, mentre quella di fagioli aumenta (a parità
di prezzo dei fagioli) dunque la curva di domanda di fagioli si sposta verso destra.
Stante la forma della curva di offerta di fagioli, ne consegue un aumento (il prezzo di
equilibrio nel mercato dei fagioli resta pari a 6) della quantità di fagioli scambiata e
del surplus sociale.
Esercizio 2. Alfa e Beta sono gli unici produttori di mozzarella di bufala. I costi
totali di produzione di ciascuna impresa sono T Ci = 20qi , dove qi è la quantità
prodotta dall’impresa i (i=α, β). La domanda di mozzarelle di bufala è Q = 100 − p,
dove Q è la quantità totale scambiata. Le imprese competono tra loro sul prezzo.
(1) Calcolate l’equilibrio di mercato specificando prezzo praticato, quantità vendute
4
e profitti della singola impresa. (2) L’impresa Alfa è costretta (per un’improvvisa
epidemia negli allevamenti di bufale) ad apportare modifiche al processo produttivo
ed i suoi costi totali divengono: T Cα0 = 30qα (i costi totali dell’impresa rivale restano
T Cβ = 20qβ ). Si calcoli il nuovo equilibrio di mercato specificando prezzo praticato,
quantità vendute e profitti della singola impresa. (3) Confrontate l’equilibrio al punto
(2) con quello che si avrebbe se Beta si comportasse da monopolista. Dite come mai
Beta sceglie di praticare un prezzo inferiore a quello di monopolio.
Soluzione. (1) In caso di concorrenza alla Bertrand tra imprese aventi la medesima struttura di costo, ciascuna sceglierà di praticare un prezzo pari al proprio costo
marginale
pi = M Ci = 20
e si spartiranno il mercato in parti uguali. Dalla curva di domanda si ottiene che in
corrispondenza di un prezzo pari a 20 verranno vendute
Q∗ = 100 − 20 = 80
unità; quindi ciascun duopolista venderà 40 unità (qi∗ = Q∗ /2 = 40) ed otterrà un
profitto pari a
π ∗i = 20 × qi∗ − T C(qi∗ ) = 0
(2) A causa delle modifiche al processo produttivo, l’impresa Alfa diventa meno
efficiente di Beta. In presenza di concorrenza alla Bertrand tra duopolisti asimmetrici
(ovvero con costi marginali diversi), il duopolista meno efficiente sceglierà di praticare
un prezzo pari al suo costo marginale (p0α = M Cα0 = 30) mentre quello più efficiente
sceglierà
p0β = p0α − ε = 30 − ε < p0α
dove ε è un numero piccolo e positivo, in modo da sottrarre tutti i clienti all’impresa
rivale ed ottenere dei profitti positivi. Dato che l’impresa Beta pratica un prezzo
inferiore a quello scelto dall’impresa Alfa tutti i consumatori acquisteranno il bene
da Beta e, sostituendo nella curva di domanda si ottiene il livello di produzione in
corrispondenza del nuovo equilibrio
Q0 = 100 − (30 − ε) = 7 + ε ∼ 70
I profitti di Beta sono
π0β = p0β Q0 − T C(Q0 ) ∼ 700 > 0
(i profitti di Alfa sono nulli perchè nessuno vuole acquistare il bene da Alfa).
(3) L’equilibrio di monopolio per l’impresa Beta si ottiene risolvendo l’equazione
M R = M C ovvero
100 − 2Q = 20 Qm = 40
e, per sostituzione nella curva di domanda inversa
pm = 100 − 40 = 60
Pur essendo più efficiente di Alfa, Beta non pratica il prezzo di monopolio perchè
in corrispondenza di tale prezzo (pm = 60) l’impresa Alfa potrebbe agire strategicamente, sottrarre tutti i clienti a Beta scegliendo un prezzo
p00α = pm − ε > M Cα
ed ottenere profitti positivi.
5
Esercizio 3. Nell’isola di Soledonia esiste un’unica spiaggia comunale. Il sindaco
deve decidere quante licenze per stabilimenti balneari distribuire e per quale somma.
La domanda di ombrelloni da spiaggia è X = 2000 − p, dove X è il numero di
ombrelloni complessivamente domandato e p il prezzo a cui vengono offerti. Sono al
vaglio due proposte. (1) Il partito al Governo propone di vendere due licenze. I due
destinatari delle licenze, stabilimento A e stabilimento B, verrebbero a competere tra
loro sulla quantità. I costi di produzione in questo caso sarebbero C(xi ) = 200xi , dove
i=A,B ed xA +xB = X. Dopo aver derivato e rappresentato graficamente le funzioni
di risposta ottima dei due stabilimenti (indicate in ascissa xA ), calcolate l’equilibrio
in termini di quantità offerta, prezzo, profitti e surplus dei consumatori. (2) Il partito
di opposizione propone di distribuire 4 licenze. In questo caso i quattro destinatari
delle licenze (stabilimenti 1, 2, 3 e 4) verrebbero a competere sul prezzo. I costi
di produzione sarebbero analoghi a quanto individuato al punto 1: C(xi ) = 200xi ,
dove i=1,2,3,4. Calcolate l’equilibrio in termini di quantità offerta (in aggregato e
da ciascun oligopolista), prezzo, i profitti ed il surplus dei consumatori. (3) Per
quale somma massima il comune potrebbe vendere ciascuna licenza nei due casi?
Supponendo che l’obiettivo del sindaco sia la massimizzazione del gettito generato
dalla vendita delle licenze balneari, quale delle due proposte accetterà? Argomentate
Soluzione. (1) La funzione di reazione di ciascun duopolista si ottiene ponendo
M Ri = M Ci
sapendo che MRi dipende anche da quanto produce l’altro duopolista, e risolvendo
nella quantità del primo. Consideriamo il duopolista A. I suoi ricavi totali, usando
la funzione di domanda di mercato inversa per esprimere il prezzo, sono
T R(xA ) = (2000 − xA − xB ) xA
da cui un ricavo marginale
M R(xA ) = 2000 − 2xA − xB
Il costo marginale del duopolista è pari a 200; quindi la sua funzione di reazione si
ottiene risolvendo in xA l’equazione
M RA = M CA → xA = 900 − 12 xB
Similmente la funzione di reazione del secondo duopolista è
M RB = M CB → xB = 900 − 12 xA
La rappresentazione grafica, convenendo di misurare in ascissa xA , è la seguente:L’equilibrio
di Cournot è ottenuto risolvendo il sistema delle due funzioni di reazione:
½
xA = 900 − 12 xB
xB = 900 − 12 xA
C
da cui, dopo qualche passaggio xC
A =xB =600; conseguentemente la produzione aggreC
gata è X =1200. Dalla funzione di domanda inversa otteniamo il prezzo di equilibrio:
pC =2000-XC = 800. I profitti di ciascun duopolista sono
C C
C
πC
i = p xi − C(xi ) = 360000
Il surplus dei consumatori è dato dall’area del triangolo che ha per base la quantità
totale prodotta e per altezza la differenza fra l’intercetta della domanda inversa ed il
prezzo di equilibrio (immaginate il grafico), e vale
SC C = 0.5 × 1200 × (2000 − 800) = 720000
6
xB
180
Funz. di reaz ione di A
Equilib rio di N ash-Cournot
90
60
Funz. di reazione di B
−1/2
60 90
180
xA
Figure 1:
(2) Nel caso di concorrenza à la Bertrand con oligopolisti caratterizzati dalla medesima funzione di costo totale (e dunque di costo marginale), avremo un prezzo di
equilibrio
pB = M Ci = 200
dove i=1,2,3,4. Dalla curva di domanda diretta otteniamo la quantità complessiva
prodotta
X B = 2000 − 200 = 1800
La quantità prodotta da ciascun oligopolista è un quarto del totale (perchè ci sono 4
imprese):
B
xB
i = X /4 = 450
ed il profitto di ciascun oligopolista è pari a zero. Il surplus dei consumatori (immaginate di nuovo il grafico, dove ora il prezzo di equilibrio è 200 e la quantità 1800), è
dato da
SC B = 0.5 × 1800 × (2000 − 200) = 1620000
(3) Dal momento che in presenza di concorrenza à la Bertrand i profitti degli
oligopolisti sono nulli, la somma massima che i duo polisti saranno disposti a pagare per una licenza sarà pari a zero. Sarà invece possibile ven-dere per una somma
positiva le licenze in caso di concorrenza à la Cournot (in questo caso la somma massima a cui è possibile vendere ciascuna licenza è pari ai profitti ottenuti da ciascun
duopolista, cioè 360000). Dunque se l’obiettivo del sindaco è la massimizzazione del
gettito generato dalla vendita delle licenze, opterà per la prima proposta.
Esercizio 4. Gianni & Pinotto sono titolari dell’unica impresa produttrice di giocattoli di Playland. La domanda di mercato è Y = 10−p dove Y indica la quantità di
giocattoli e p il prezzo di vendita. I costi marginali (e medi) di produzione sono pari
a 4. (1) Calcolate l’equilibrio di monopolio in termini di quantità prodotta, prezzo
praticato, profitto ottenuto e surplus dei consumatori. Fornite una rappresentazione
grafica delle grandezze di cui sopra. (2) In seguito ad un terribile litigio i due titolari decidono di separarsi dando vita a due imprese identiche, la Gianni’s (G) e la
Pinotto’s (P), caratterizzate da costi marginali di produzione MCG = MCP = 4.
7
Iniziano quindi a competere simultaneamente sulle quantità. Indicate con yG i giocattoli prodotti dalla Gianni’s e con yP quelli della Pinotto’s (Y = yG +yP ). Calcolate
il nuovo equilibrio raggiunto e confrontate i valori ottenuti con quelli individuati al
punto precedente. (3) Supponete ora che l’impresa G diventi uno Stackelberg leader
e che quindi faccia la prima mossa scegliendo il proprio volume di produzione prima
dell’impresa P. Vi aspettate che le due imprese continuino a spartirsi equamente il
mercato? Perché? Argomentate a parole senza fare calcoli
Soluzione. (1) Il monopolista sceglie il livello di output che massimizza il suo
profitto, ovvero tale per cui
MR = MC
I ricavi totali del monopolista, usando la domanda inversa per esprimere il prezzo,
sono
T R(Y ) = (10 − Y )Y
da cui un ricavo marginale
M R = 10 − 2Y
Il costo marginale del monopolista è pari a 4; quindi la condizione MR = MC implica
10 — 2Y = 4. Ne segue un livello di produzione Y∗ =3, un prezzo praticato p∗ = 7,
profitti
π ∗ = p∗ Y ∗ − 4Y ∗ = 7 × 3 − 4 × 3 = 21 − 12 = 9
Il surplus dei consumatori è dato dall’area del triangolo che ha per base la quantità
totale prodotta e per altezza la differenza fra l’intercetta della domanda inversa e il
prezzo di equilibrio (immaginate il grafico), e vale
SC ∗ = 0.5 × 3 × (10 − 7) = 9/2 = 4.5
[rappresentazione grafica in aula].
(2) La funzione di reazione di ciascun duopolista si ottiene ponendo
M Ri = M Ci
sapendo che MRi dipende anche da quanto produce l’altro duopolista, e risolvendo
nella quantità del primo. Consideriamo il duopolista G. I suoi ricavi totali, usando
la funzione di domanda di mercato inversa per esprimere il prezzo, sono
T R(yG ) = (10 − yG − yP )yG
da cui un ricavo marginale
M R(yG ) = 10 − 2yG − yP
Il costo marginale del duopolista è pari a 4; quindi la sua funzione di reazione si
ottiene risolvendo in xG l’equazione
M RG = M CG
da cui
yG = 3 − 12 yP
Similmante la funzione di reazione del secondo duopolista è
M RP = M CP → yP = 3 − 12 yG
8
xP
6
Funz. di reazione di G
Equilibrio di Nash-Cournot
Funz. di reazione di P
−1/2
2
3
6
xG
Figure 2:
La rappresentazione grafica, convenendo di misurare in ascissa yG , è la seguente:
L’equilibrio di Cournot è ottenuto risolvendo il sistema delle due funzioni di
reazione:
½
yG = 3 − 12 yP
yP = 3 − 12 yG
C
da cui, dopo qualche passaggio otteniamo quanto produce ciascun duopolista: yC
G =yP
= 2. La produzione aggregata è
YC =4>Y∗
Il prezzo di equilibrio, usando la domanda inversa, è
pC = 10 − 4 = 6 < p∗
I profitti di ciascun duopolista sono
C C
C
πC
i = p yi − C(yi ) = 4
ed il surplus dei consumatori, calcolato come spiegato anche al punto precedente, è
SC C = 0.5 (10 − 6) × 4 = 8 > SC ∗
(3) Nel caso in cui la Gianni’s diventi uno Stackelberg leader, aumenterà la sua quota
di mercato facendo la prima mossa e scegliendo un livello di produzione superiore a
quello scelto in corrispondenza dell’equilibrio simultaneo di Cournot. La Pinotto’s
reagirà contraendo il suo livello di output e producendo quindi meno di quanto individuato in corrispondenza dell’equilibrio simultaneo di Cournot. In particolare, come
forse si ricorderà a memoria, la Gianni’s sceglierà lo stesso livello di output scelto
S
dal monopolista (yG
= Y ∗ = 3) e la Pinotto’s prenderà questo livello come dato e
produrrà secondo la sua funzione di risposta ottima, quindi produrrà meno che nel
caso di Cournot visto la Gianni produce più (ySP = 3 - (1/2)ySG = 3/2 = 1.5). I
profitti della Gianni’s aumentano mentre quelli della Pinotto’s si riducono per effetto
del vantaggio strategico della Gianni’s.
9
Esercizio 5. Su un mercato operano due sole imprese, l’impresa Saturno (S) e
l’impresa Giove (G). La curva di domanda è Q = 100 − p, dove Q è la quantità
totale scambiata. I costi totali di produzione di ciascuna impresa sono T Ci = 16qi ,
dove qi è la quantità prodotta dall’impresa i (i=S, G). (1) Quanto producono le due
imprese quando competono scegliendo simultaneamente la quantità da produrre? A
quanto ammontano i profitti di ciascuna impresa? (2) Ipotizzate ora che le imprese
competano scegliendo simultaneamente il prezzo di vendita. Quale sarebbe il prezzo
praticato e che profitti otterrebbe ciascun duopolista? (3) A quanto ammonterebbero
i profitti in caso di accordo collusivo? (4) Sulla base dei risultati precedenti in quale
circostanza ritenete che sarebbe più facile l’adozione di un comportamento collusivo?
Argomentate.
Soluzione. (1) L’equilibrio di Cournot si ottiene risolvendo il sistema delle funzioni di reazione dei duopolisti. La funzione di reazione dell’impresa Saturno è ottenuta risolvendo l’equazione
M Rs = M Cs
per qs da cui
100 − 2qs − qg = 16 → qs = 42 − 12 qg
Similmente risolvendo per qg l’equazione
M Rg = M Cg
si ottiene la funzione di reazione di G
100 − 2qg − qs = 16 → qg = 42 − 12 qs
Quindi l’equilibrio di Cournot è
½
qs = 42 − 12 qg
qg = 42 − 12 qs
con una produzione da parte di ciascun duopolista pari a qsC = qgC = 28, una produzione aggregata di 56 unità, un prezzo di equilibrio pari a 44 ed un profitto per
ciascun duopolista di
πC
i = 44 × 28 − 16 × 28 = 784
(2) Nel caso di concorrenza alla Bertrand tra duopolisti simmetrici ciascuna impresa sceglierebbe un prezzo pari al proprio costo marginale. Il prezzo di equilibrio
sarebbe quindi pari a 16. In corrispondenza di tale prezzo si avrebbe una domanda
complessiva
QB = 100 − 16 = 84
Ciascuna impresa servirebbe metà mercato (qsB = qgB = 84/2 = 42) ottenendo un
profitto
πB
i = 16 × 42 − 16 × 42 = 0
(3) Se le imprese decidessero di colludere sceglierebbero un volume di vendite (un
livello di prezzo) tale da massimizzare il profitto congiunto
Π = πs + πg =
= pqs − T C(qs ) + pqg − T C(qg )
= (100 − Q)qs − 16qs + (100 − Q)qg − 16qg =
= (100 − Q)(qs + qg ) − 16(qs + qg ) =
= (100 − Q)Q − 16Q
10
quindi dalla condizione di massimizzazione del profitto si ottiene un livello di produzione
dΠ
m
dQ = 0 → 100 − 2Q − 16 = 0 → Q = 42
e, per sostituzione, un prezzo di equilibrio
pm = 100 − 42 = 58
I profitti complessivi dell’industria in corrispondenza dell’accordo collusivo sarebbero
quindi
Πm = 58 × 42 − 16 × 42 = 1764
Ipotizzando che le imprese si spartiscano equamente il mercato (e quindi i profitti)
l’accordo collusivo garantirebbe a ciascun duopolista un profitto
1 m
πm
i = 2Π =
1764
2
= 882
(4) Dato che nel caso di concorrenza in quantità le imprese accordandosi riescono
ad aumentare i propri profitti di
C
πm
i − π i = 882 − 784 = 98
mentre in caso di concorrenza alla Bertrand l’aumento di profitti conseguente la
formazione del cartello è
B
πm
i − π i = 882 − 0 = 882
mi aspetto che sia più semplice indurre imprese che competono in prezzo ad accordarsi.
Esercizio 6. Nel mercato italiano dei gelati confezionati sono presenti due grandi
imprese, la Salgida (A), la Frammontana (B), che competono scegliendo simultaneamente la quantità da produrre. I costi totali di produzione di ciascuna impresa sono
TC(yi ) = 6yi dove yi è la quantità prodotta dall’impresa i (i=S, F). La domanda
di mercato è Y = 10 − (1/3)p, dove Y = yA + yB . (1) Determinate e fornite una
rappresentazione grafica delle funzioni di reazione delle due imprese. (2) Calcolate
l’equilibrio di mercato. (3) Supponete ora che l’impresa S diventi uno Stackelberg
leader e che quindi scelga il proprio volume di produzione prima dell’impresa F. Vi
aspettate che le due imprese continuino a spartirsi equamente il mercato? Perché?
(Si risponda senza fare calcoli). (4) Usando il grafico al punto (1) individuate come
cambiano i volumi di vendite dei duopolisti quando l’interazione diventa sequenziale.
Soluzione. (1) E’ necessario innanzitutto calcolare le funzioni di risposta ottima
(usiamo BR per indicare tali funzioni) dei duopolisti. Trattandosi di una concorrenza
simultanea in quantità esse risultano date da
BRA → M RA = M CA
(1)
BRB → M RB = M CB
(2)
e
Dal momento che la domanda inversa è p = 30 − 3Y = 30 − 3yA − 3yB , abbiamo che
i ricavi totali delle due imprese sono
2
2
e T RB = P × yB = 30yB − 3yA × yB − 3yB
T RA = 30yA − 3yB × yA − 3yA
11
da cui i seguenti ricavi marginali
M RA = 30 − 3yB − 6yA e M RB = 30 − 3yA − 6yB
Similmente i costi marginali sono
M CA = 6 e M CB = 6
quindi sostituendo nella (??) e nella (2) otteniamo
BRA → 30 − 3yB − 6yA = 6 → yA = 4 − 12 yB
(3)
BRB → 30 − 3yA − 6yB = 6 → yB = 4 − 12 yA
(4)
e
[in aula la rappresentazione grafica]
(2) Mettendo a sistema le BR trovate sopra otteniamo
½
½
½ ∗
BRA
yA = 4 − 12 yB
yA =
→
→
∗
BRB
yB = 4 − 12 yA
yB
=
8
3
8
3
da cui una quantità complessivamente prodotta pari a
∗
∗
+ yB
= 16/3
Y ∗ = yA
un prezzo di equilibrio di
P ∗ = 30 − 3Y ∗ = 14
e profitti per ciascun duopolista pari a
π∗A = π ∗B = T R∗ − T C ∗ =
64
3
(3) Pur avendo una struttura identica di costi, le due imprese non continueranno a
spartirsi equamente il mercato in quanto l’impresa A cercherà di sfruttare il vantaggio
che le deriva dalla possibilità di "fare la prima mossa" e produrrà più dell’impresa B.
(4) Se l’impresa A diventa uno Stackelberg leader, sceglie il proprio livello di
output anticipando la scelta dell’impresa rivale ovvero anticipando il fatto che
BRB → 30 − 3yA − 6yB = 6 → yB = 4 − 12 yA
(5)
dunque inserendo nella funzione di profitto di A la scelta ottima dell’impresa B
contenuta nella BRB , otteniamo
π A = P × yA − 6yA = (30 − 3yA − 3yB ) × yA − 6yA =
£
¡
¢
¤
= 30 − 3yA − 3 4 − 12 yA − 6 × yA =
¤
£
2
= 12 − 32 yA × yA = 12yA − 32 yA
nel momento in cui ad yB sostituisco il valore della risposta ottima di B, ottengo
un profitto per l’impresa A che è funzione esclusivamente di yA . Per trovare quanto
produce l’impresa A, Stackelberg leader, devo semplicemente calcolare la derivata del
profitto risptto a yA e porla uguale a zero
dπ A
dyA
s
= 0 → 12 − 3yA = 0 → yA
=4>
8
3
Sostituendo il valore ottenuto nella funzione di risposta ottima dell’impresa B ottengo
quanto produce l’impresa B
s
s
yB
= 4 − 12 yA
=4−2=2<
12
8
3
Dunque la quantità di bene complessivamente prodotta è
s
s
+ yB
=4+2=6
Y s = yA
ed il prezzo a cui è venduta è
ps = 30 − 3Y s = 30 − 18 = 12
I profitti dello stackelberg leader (ovvero dell’impresa A) sono
π sA = (12 − 6) × 4 = 24
mentre quelli dell’impresa B sono
π sB = (12 − 6) × 2 = 12
Graficamente
qB
4
Funzione di reazione di A
Funzione di reazione di B
2
Equilibrio di Cournot
Equilibrio di Stackelberg
-2
-1/2
2
4
qA
Esercizio 7. L’impresa A, monopolista nel mercato dell’editoria, fronteggia una
curva di domanda di mercato: P = 30 — 2q. I suoi costi di breve periodo sono dati
dalla funzione: TCA = 10qA . (1) Disegnate la funzione di domanda, la curva MR
e la curva MC e calcolate l’equilibrio di monopolio (prezzo quantità e profitti). (2)
Supponete ora che l’esistenza di profitti positivi attragga una nuova impresa, impresa
B, caratterizzata dalla medesima funzione di costo dell’impresa A (la funzione di costo
dell’impresa B è TCB = 10qB ). Supponete che le imprese concorrano in quantità e
che l’impresa A possa scegliere la quantità prodotta prima dell’impresa B. Calcolate
la quantità prodotta, il prezzo ed i profitti dei duopolisti.
Soluzione. (1) L’equilibrio di monopolio è
m
M RA = M CA → 30 − 4qA = 10 → qA
=5
il prezzo di monopolio è Pm = 20 ed i profitti del monopolista sono pari a 50. (In
aula la rappresentazione grafica)
(2) La curva di reazione dell’impresa follower è ottenuta risolvendo rispetto a qB
il seguente sistema
M RB = M CB
13
da cui
30 − 2qA − 4qB = 10 → qB = 5 − 12 qA
L’impresa Leader anticipa il comportamento ottimo dell’impresa follower quando
sceglie il proprio livello di output quindi i ricavi totali dell’impresa Leader sono
£
¡
¢¤
T RA = P qA = (30 − 2qA − 2qB )qA = 30 − 2qA − 2 5 − 12 qA qA = [20 − qA ] qA
da cui un ricavo marginale del Leader pari a 20 − 2qA . Risolvendo M RA = M CA
otteniamo che il leader produrrà, in equilibrio, 5 unità di output (come in monopolio). Sostituendo il livello di produzione del leader nella funzione di reazione del
follower otteniamo la produzione di quest’ultimo in corrispondenza dell’equilibrio di
Stackelberg:
s
qB
= 5 − 12 qA = 5/2
La quantità complessivamente prodotta è quindi
Qs = 5 + 52 ,
il prezzo di equilibrio è
ps = 30 −
15
2
=
45
2
ed i profitti dei duopolisti sono rispettivamente
π sA = 125 e πsB = 125/2
14