FUNZIONI ESPONENZIALI Si dice esponenziale una funzione che si presenta nella forma y=ax dove a è un numero reale, positivo e diverso da 1. Tutte le funzioni esponenziali sono strettamente positive, cioè il loro grafico si trova sempre al di sopra dell’asse x. Inoltre, poiché elevando a zero qualunque numero reale (diverso da 0) si ottiene 1, il grafico di queste funzioni passa sempre per il punto di coordinate (0;1). L’andamento della funzione dipende dalla base a: se 0<a<1 la funzione è strettamente decrescente, se a>1a>1 è invece strettamente crescente. I processi di crescita esponenziale sono comuni in biologia e in campo finanziario. La crescita non è lineare ma dipende dalla base a e dall’esponente della funzione. ESEMPIO: CRESCITA BATTERICA Il numero dei batteri che si moltiplicano dividendosi cresce in modo esponenziale ESEMPIO: CONTAGIATI DA COVID 19 Ogni positivo contagia più persone e quindi la crescita è esponenziale. I logaritmi vennero introdotti per la prima volta nel 1614 da Nepero con la speranza di fornire uno strumento che rendesse più veloci i calcoli degli astronomi. I logaritmi trovarono un ampio utilizzo soprattutto in astronomia, grazie all’utilizzo delle tavole logaritmiche. La prima tavola venne completata nel 1617 da Henry Briggs e successivamente vennero scritte tavole sempre più precise. Su queste tavole veniva elencato il valore di logbx e di bx per ogni numero x di un certo intervallo, con una base b scelta e con una precisione fissata. Per esempio, la tavola di Briggs conteneva il logaritmo in base 10 dei numeri da 1 a 1000 con una precisione di otto cifre decimali. Grazie all’uso di queste tavole era possibile calcolare facilmente il prodotto e il quoziente di due numeri: DEFINIZIONE DI LOGARITMO Il logaritmo è l'operazione inversa all'esponenziale. Viene indicato con la dicitura "log". Quando non c'è nessun pedice si sottintende la base 10, mentre se si trova la sigla "ln" (ovvero logaritmo naturale) si intende "e" (Neperiano) come base. La dicitura completa è quindi c = log b (a), dove "b" è la base e "a" è l'argomento. Il calcolo del logaritmo consiste nel calcolare il numero c ovvero quel numero tale che "b" elevato ad "c" dà come risultato "a". Dati due numeri a,b reali positivi, con a≠1, si definisce logaritmo in base a di b l’esponente a cui elevare a per ottenere b, ovvero c=logab è il numero tale che ac=b. Le condizioni su a e b sono necessarie per l’esistenza e unicità di c, infatti: se a=0 e b=0 esistono infiniti valori di c che soddisfano la relazione; se a=0 e b≠0 non esistono c tali che ac=b; se a=1 e b≠1 non esistono c con tale proprietà, infatti non esistono numeri diversi da 1 che possano essere ottenuti come potenza di 1; a=1 e b=1 esistono infiniti valori di c che soddisfano la relazione; se a<0 la relazione non è definita per ogni c reale. Può essere definito per ogni a reale solo coi numeri razioni esprimibili mediante una frazione con denominatore dispari e di conseguenza anche i numeri interi. Poiché il risultato di un elevamento a potenza è positivo, b deve essere necessariamente positivo. PROPRIETÀ DEI LOGARITMI I logaritmi presentano molte proprietà interessanti che permettono notevolmente di semplificare il calcolo dei logaritmi: loga1=0 loga a=0 loga1/a = -1 a loga ( b )=loga (a b) = b Logaritmo del prodotto: loga (b⋅c) = loga b + loga c Logaritmo del quoziente: loga (b /c)=loga b–loga c Logaritmo di una potenza: loga bn = n loga b Logaritmo di una radice loga b1/n = 1/n loga b Cambiamento di base: loga b=logc b logc a FUNZIONE LOGARITMICA La funzione logaritmica f:(0,+∞)→R è y=logax, del tipo (cioè 2y = x ) con a>0,a≠1. La funzione logaritmica è la funzione inversa della funzione esponenziale: i grafici delle due funzioni sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante (la retta di equazione y=x). La funzione logaritmica presenta alcune proprietà: Ha dominio R+ e codominio R; È una funzione biunivoca, sempre crescente se a>1 sempre decrescente se 0<a<1; Il grafico interseca l’asse x nel punto (0,1). Scala Richter La scala Richter viene utilizzata per misurare l'intensità dei terremoti ed è riportata nella tabella seguente: Effetti del sisma Grado della scala Il sisma può essere registrato solo mediante adeguati apparecchi <3.5 il sisma è percepito solo dalle persone più sensibili 3.5-3.9 La maggior parte della gente lo avverte come un passaggio di un camion 4.0-4.4 Viene avvertito da molti; un pendolo si muove notevolmente 4.5-4.9 Tutti lo avvertono; gli alberi frusciano e suonano le campane delle chiese 5.0-5.4 molte fessurazioni sulle mura 5.5-5.9 crollo parziale o totale di poche case 6.0-6.4 crollo delle case; rischio maremoto 6.5-6.9 distruzione di acquedotti e gasdotti 7.0-7.4 pericolo di morte negli edifici; solo alcune costruzioni rimangono illese; incendi, inondazioni, frane 7.5-7.9 distruzione totale, spostamento delle terre <8 La scala Richter è data dalla funzione logaritmica: dove è l'intensità registrata dai sismografi e terremoto. è l'intensità minima di un
